Искусство
Языки
Языкознание
Вычислительная техника
Информатика
Финансы
Экономика
Биология
Сельское хозяйство
Психология
Ветеринария
Медицина
Юриспруденция
Право
Физика
История
Экология
Промышленность
Энергетика
Этика
Связь
Автоматика
Математика
Электротехника
Философия
Религия
Логика
Химия
Социология
Политология
Геология
Лаб.работы ( Механ и Молек. физика). Лабораторная работа 10 обработка результатов экспериментов на примере определения объема цилиндра
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
МЕХАНИКА Лабораторная работа № 1-0 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ НА ПРИМЕРЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА Цель работы: ознакомление с краткой теорией погрешностей и ее применение при обработке результатов измерений Оборудование: цилиндр, микрометр, штангенциркуль. Элементарная обработка результатов физического эксперимента В процессе исследований необходимо осуществлять измерения различных физических величин. Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения осуществляются при помощи измерительных приборов. Примеры: измерение длины линейкой, измерение массы тела на весах, измерение время секундомером, измерение силы электрического тока амперметром и т.д. При косвенных измерениях измеряемая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин. Например, определить скорость тела при равномерном движении можно по формуле v = s/t , измеряя приборами пройденный путь s и время в пути t. В процессе измерения из-за влияния различных случайных факторов результаты измерения оказываются случайными величинами. Основная задача при проведении измерений – указать наиболее точное значение измеряемой величины и ошибку (погрешность) измерения. Ошибки (погрешности) измерения делятся на два типа: систематические и случайные. Систематическая ошибка, как правило, обусловлена: 1) неисправностью измерительных приборов, 2) ошибочностью выбранного метода измерений, 3)упущениями со стороны наблюдателя. Если на измерительном инструменте не указана погрешность измерения, то за величину систематической ошибки принимается половина цены деления шкалы. Случайная ошибка – ошибка, которая изменяется произвольным образом от одного измерения к другому. Случайные ошибки оцениваются методами математической статистики. Рассмотрим некоторые положения теории определения случайной ошибки в измерениях. Прямые измерения Пусть в эксперименте измеряется прибором величина, которую обозначим символом “х”. Осуществляется n – измерений и в таблицу 1 вносятся результаты измерений: Таблица 1
Результаты каждого измерения – х  , х ,…,х – случайные величины.При обработке результатов в качестве наиболее точного значения измеряемой величины принимается среднее арифметическое из n измерений  (1)В каждом измерении присутствует ошибка, которая определяется по формуле: х  =<х> –х. (2)Например, ошибка второго измерения х2= <х> –х2. Абсолютные ошибки также являются случайными величинами. Характеристикой того, как сильно среднее арифметическое значение отличается от истинного, служит доверительный интервал, который определяется формулой  , (3)где ∆Sx называется среднеквадратичной погрешностью и она определяется по формуле  . (4)В формуле (3) t(n) – коэффициент Стьюдента, который можно найти в таблицах для n измерений и надежности .. Надежность – это вероятность, с которой результаты измерений попадают в доверительный интервал ±∆х. При выполнении лабораторных работ рекомендуется принимать надежность =0,95. Окончательный результат записывается в форме х = <х> + х . (5) При значительной величине систематической погрешности случайные и систематические ошибки объединяют по формуле:  , (6)где k - коэффициент Стьюдента для n= ∞; - систематическая погрешность прибора. Часто для оценки погрешности используют также относительную ошибку εх, которая определяется выражением  , или в процентах:  . (7)Косвенные измерения. В математической статистике показано, что результат косвенных измерений некоторой величины <F> и погрешность косвенных измерений F(доверительный интервал), если зависимость имеет вид F=f(x,y,z,…) определяются выражениями:  , (8) , (9)где <x>, <y>, <z>, … - результаты, полученные в прямых измерениях; x, y, z, – доверительные интервалы величин x,y,z,полученных в прямых измерениях. . Результаты косвенных измерений записываются окончательно в виде F = <F> F(10) и относительная ошибка  . (11)Завершается лабораторная работа Выводами, которые пишет сам исследователь. Выполнение лабораторной работы Обработка результатов прямых измерений диаметра цилиндра D. Составим таблицу для 5-и измерений величины D и вычислений доверительного интервала ∆D. Таблица 2
Для n=5 и =0,95 t(n)=2,776(см. в таблице на стенде в лаборатории, в конце данного описания, или в сети Интернет по имени “коэффициент Стьюдента-Фишера”) По формуле (1), (2), (3) и (4) вычисляем параметры, и результаты вносим в таблицу 2. Запишем конечный результат в числовом формате в виде D = <D> + D. Определим относительную ошибку по формуле (7)  .Обработка результатов прямых измерений высоты цилиндра h. Составим таблицу измерений величины h и вычислений доверительного интервала ∆h. Таблица 3
Для n=7 и = 0,95 t(n) = 2,447 → см. таблицу в конце описания. По формуле (1), (2), (3) и (4) вычисляем параметры, и результаты вносим в таблицу 2. Запишем конечный результат в числовом формате в виде h = <h> + h. Определим относительную ошибку по формуле (7)  .Определим объем цилиндра V, вычислим доверительный интервал ∆V и относительную ошибку εV.  Объем цилиндра определяется по формуле  .Объем тела, определяемый в эксперименте, является функция трех случайных величин: π, D и h, т.е. V=f(π,D,h), в соответствии с формулой (9), получим  .Для π=3,14 π=0,0016. Результаты косвенных измерений записываются окончательно в виде V = V. И относительная ошибка  .Завершается лабораторная работа Выводами, которые пишет сам исследователь. Коэффициенты Стьюдента (можно поместить в тетрадь в виде распечатки)
Лабораторная работа № 1-1 Исследование распределения результатов физических измерений. Цель работы: определение статистических характеристик распределения результатов измерений, построение гистограмм и получение приближенного вида функции распределения. Оборудование: набор однотипных деталей (например, цилиндров), микрометр, штангенциркуль. Введение 1. Понятие о функциях распределения случайной величины Важная роль в установлении физических закономерностей принадлежит эксперименту, в котором исследователь получает информацию. Эта информация может быть качественной, например, чего-то стало больше, чем было, или количественной, когда описание событий происходит с указанием числовых значений физических величин. Числовое значение получает исследователь по шкале прибора. Очевидно, что отсчет по шкале прибора (результат измерений) и значение физического параметра, который измеряется, - не одно и то же. Физические параметры являются вполне определенными, неслучайными (толщина пластины, разность давлений, масса предмета и т.п.). В процессе измерений из-за влияния различных факторов (колебание почвы, перепады температур, изменение положения экспериментатора относительно шкалы прибора при повторении опыта и т.д.) результаты измерений – случайные величины. Случайной называют такую величину, значение которой изменяется при повторении опытов некоторым заранее не предсказуемым образом. Для случайной величины нельзя заранее сказать, какое конкретное значение она примет в определенных условиях, а можно только указать закон ее распределения. Закон распределения считается заданным, если:
Вероятность попадания в заданную область может быть определена следующим образом:  , (1)где Nm – количество измерений случайной величины, оказавшейся в заданной области; N – общее число измерений. Аналитическим выражением законов распределения случайной величины х являются функции распределения вероятностей – интегральная F (x) и дифференциальная f(x) . Интегральная функция случайной величины хiобладает следующими свойствами:
Если функция F (x) дифференцируемая для всех значений случайной величины, то закон распределения вероятностей может быть выражен с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей.  . (2)Таким образом, значение функции f(x) приближенно равно отношению вероятности попадания случайной величины в интервал( x, x+∆x ) к длине ∆x этого интервала, когда ∆x – бесконечно малая величина. Поэтому дифференциальную функцию называют также функцией плотности распределения вероятностей (или короче – функцией плотности вероятности). Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами:
(z – переменная интегрирования). Интегральная и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими вероятностными характеристиками случайной величины. Однако некоторые основные свойства случайных величин могут быть описаны более просто с помощью определенных числовых параметров. Важную роль среди таковых на практике играют два параметра:
2. Нормальное распределение Одним из важнейших распределений является нормальное распределение. Этот термин ввел К.Пирсон, более старое название – Гаусса закон (распределение Гаусса). Распределение вероятностей случайной величины хiназывается нормальным, если оно имеет плотность вероятности  . (3)Функция f(x) зависит от математического ожидания mx  (4)и от дисперсии 2  . (5)Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением  .К  ривая нормального распределения имеет вид колокола (рис.1), симметрична относительно ординаты, проходящей через точку х = mxи в этой точке у кривой максимум равный  .С уменьшением дисперсии 2 кривая нормального распределения становится все более островершинной (см.рис.1). Изменение mx при постоянной 2 не меняет форму кривой, а вызывает лишь ее смещение по оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой нормального распределения, всегда равна единице. Во многих практических задачах пренебрегают отклонением случайной величины хi от mx, превышающими 3, для которых соответствующая вероятность меньше 0,003 ( так называемое правило трех сигма). Нормальное распределение является хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой. Статистическое описание результатов наблюдений Фундаментальными понятиями статистической теории являются генеральная совокупность и выборка.
Если какая-либо физическая величина измеряется много раз, то возникает необходимость в статистической обработке результатов измерений этой величины. Порядок выполнения работы и экспериментальный анализ одномерной случайной величины В ходе выполнения работы используется набор(100 … 200 шт.), однотипных объектов, например цилиндров, которые выточил токарь, имея задание изготовить одинаковые по форме и размерам детали. В силу влияния большого количества причин, действующих случайно, совокупность высот цилиндров или их диаметров представляет набор случайных величин. Поэтому проверяем полученный в эксперименте набор случайных величин на соответствие нормальному закону распределения. Выполняя работу необходимо: 1. Получить выборку, измеряя диаметр или высоту каждого цилиндра. В результате получим набор случайных величин в количестве n-штук. Результаты измерений поместить в табл.1 Таблица 1
2. Находят статистические оценки выборки случайной величины:
 ;
.3. По выборке значений di случайной величины определяют ширину кванта(интервала) ∆d. Для этого находят в выборке минимальное dmin и максимальное dmax значения случайной величины и вычисляют по формуле  , где m – число квантов. Рекомендуется принять одно из значений m = (6 ÷ 8) . Числовое значение ∆d можно округлить до последней значащей цифры случайной величины в выборке. Количество интервалов должно быть таким, чтобы в совокупности они перекрыли всю область значений от dmin , до dmax .4. Из выборки подсчитывают количество попаданий ni случайной величины в каждый интервал, и результаты вносят в табл. 2. Отметим, что значение случайной величины, попавшее на границу между соседними интервалами, относят к правому интервалу. Таблица 2
В таблице 2 d1= dmin + ∆d; d2= d1+ ∆d; …….. 5  . Рассчитывают относительную частоту и плотность частоты попадания случайной величины в каждый интервал и результаты вносят в табл.2.6. Строят гистограмму (столбчатую диаграмму) выборки, которая является эмпирическим аналогом функции плотности распределения f(d). Гистограмма представляет собой ступенчатый график, по оси абсцисс которого отложена случайная величина (применительно к таблице 2 это d), а сама ось разбита на отрезки, равные ширине интервала ∆d. По оси ординат откладывают плотность частоты попадания. На рис.2 показан возможный вид гистограммы. 7. Построить кривую распределения Гаусса. Для этого по формуле (3) вычисляют f(d) для произвольного набора (10 ÷ 15) значений диаметра, при этом желательно, чтобы выбранные значения попадали в каждый интервал и по одному значению за пределами dmin и dmax . Результаты вычислений вносят в табл.3. Таблица 3
По результатам в таблице 3 строят кривую нормального распределения, совмещая её с гистограммой (рис.2). 8. Сравнить Гауссову кривую с гистограммой и проанализировать полученные результаты. 9. Дополнительное задание. Построить гистограммы для числа попаданий и для относительной частоты попаданий в интервал. Сравнить все построенные гистограммы Контрольные вопросы. 1. Что такое вариационный ряд? 2. Запишите нормальный закон распределения случайной величины и поясните параметры, входящие в этот закон. 3. Поясните методику построения гистограммы. 4. Как зависит форма и положение кривой Гаусса от математического ожидания и от дисперсии? 5. Как качественно сравнить дисперсии случайной величины для нескольких распределений по виду гистограммы или кривых Гаусса? Список рекомендуемой литературы. 1. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1965. 511 с. 2. Деденко Л.Г. Керженцев В.В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. – М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1977. 112 с. 3. Статистические методы в инженерных исследованиях (лабораторный практикум): Учеб. пособие / Бородюк В.П., Вощанин А.П., Иванов А.З. и др.; Под ред. Г.К.Круга. – М.: Высш.шк. 1983. 216 с. Лабораторная работа № 1-5 ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Цель работы: экспериментальное изучение уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси и ознакомление с динамическим методом определения момента инерции твердого тела. Оборудование: лабораторные установки с маятником Обербека в двух модификациях ( тип установки для выполнения работы указывает преподаватель):
Введение Основной закон динамики вращательного движения записывается в виде  , (1)т.е. скорость изменения момента импульса  тела равна моменту внешних сил  , действующих на это тело. Для твердого тела с закрепленной осью вращения, если его момент не изменяется во времени, то формулу (1) можно упростить и записать в виде уравненияM =J, (2) г  де M сумма проекций на ось вращения всех моментов внешних сил, действующих на тело; J момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси вращения; угловое ускорение тела. График зависимости (2) показан на рис. 1 пунктирной линией. Тангенс угла наклона этой линии к оси углового ускорения численно равен моменту инерции J тела.Исследование зависимости (2) осуществляется на установке с маятником Обербека. Исследование можно провести на приборе с автоматическим измерением времени (АИВ) секундомером, встроенным в прибор и на механическом приборе с измерением времени в ручном варианте. В основе обоих приборов заложены одинаковые главные элементы – это крестообразный маятник образованный четырьмя спицами 1, соединенными с втулкой под прямым углом (рис.2). С втулкой соединены также два шкива 2 и 3 разных диаметров и вся эта система элементов жестко насажена на общую ось, закрепленную в подшипниках так, что крестообразный маятник может вращаться относительно горизонтально расположенной оси. На спицах маятника находятся цилиндрические грузы 4 массой m* каждый. Передвигая грузы вдоль спиц можно сбалансировать маятник, а также изменять его момент инерции. На шкив намотана нить 5 (на рис. 2 нить намотана на шкив большего диаметра), которая переброшена через блок 6. К свободному концу нити прикреплена подвижная платформа 7 известной массы, на которую можно устанавливать съемные грузы 8. У  прибора с АИВ, описанная конструкция смонтирована на колонну 9, которая прикреплена к плите 10 основания прибора. На колонне также установлены два кронштейна: нижний неподвижный 11 и верхний подвижный 12. Подвижный кронштейн можно перемещать вдоль колонны и фиксировать его в любом положении, задавая, таким образом, расстояние h между двумя фотоэлектрическими датчиками 13 (световой затвор датчиков 13 обозначен прерывистой линией). На колоне закреплена линейка, по которой можно измерять расстояние h. Установка снабжена тормозным электромагнитом, который после подключения к нему напряжения питания удерживает с помощью фиксированной муфты крестовину маятника вместе с грузами в неподвижном состоянии. Тормозная муфта электромагнита установлена в области размещения втулки.На основании прибора установлен секундомер, у которого имеется индикаторное табло, показывающее время, и кнопки управления: “СЕТЬ” – нажатие кнопки включает напряжение питания секундомера, тормозного электромагнита и лампочки фотоэлектрических датчиков; “СБРОС” – нажатие кнопки обнуляет индикаторы; “ПУСК” – нажатие кнопки включает-выключает электромагнит (нажатие этой кнопки вызывает освобождение электромагнита и генерирование импульса, разрешающего измерение времени). При повторном нажатии кнопки “СЕТЬ” прибор выключается. При движении платформы с грузом перекрывается световой луч верхнего фотодатчика, импульс с которого автоматически запускает отсчет времени электронным секундомером; при перекрытии платформой светового луча нижнего фотодатчика выключается отсчет времени. Грузы, размещенные на подвижной платформе, натягивают нить и создают вращающий момент внешних сил, действующих на маятник M = Tr, (3) где T сила натяжения нити; r радиус шкива. Силу T натяжения нити можно найти из уравнения (в проекциях на вертикальную ось) движения платформы с грузом mg – T = ma, (4) где a ускорение груза, m масса платформы с грузом, g ускорение свободного падения. Выразив отсюда T и подставив в выражение (3) для M, получим M = m (g – a) r. (4) Так как нить практически нерастяжима, то ускорение a связано с угловым ускорением крестовины соотношением = a / r =2a/D, (5) где D – диаметр шкива. Ускорение подвижной платформы a, высота h, которую проходит груз за время t, связаны формулой для равноускоренного движения h = at2 / 2. Выразив отсюда a и подставив его в формулы (5) и (4), получим  (6) (7)По полученным в эксперименте значениям M и , можно исследовать зависимость M=f() и определить момент инерции маятника. При учете трения, действующего в подвижных частях установки, уравнение, описывающее вращательное движение, принимает вид J = M – Mтр, (8) где Mтр – момент силы трения. Экспериментальная зависимость (8) на рис.1 представляет собой прямую линию параллельную пунктирной линии. Из этого графика можно определить момент инерции маятника, который численно равен тангенсу угла наклона линии графика к оси углового ускорения  , (9)где ∆М= М2 – М1 и ∆ = 2 – 1. Значения М1 , М2 , 1 , 2 – моменты сил и угловые ускорения для двух произвольных точек, принадлежащих экспериментальной прямой M=f(). Экстраполируя экспериментальную прямую до пересечения с осью М, определяют момент сил трения как отрезок на оси М, отсекаемый примой M=f() от начала координатной линии. Порядок выполнения работы Результаты измерений и вычислений следует занести в табл. 1, предварительно согласовав с преподавателем количество необходимых или достаточных для исследования серий экспериментов. Таблица 1
Для этого на двух противоположных спицах крестовины установите грузы m* на выбранном расстоянии R от оси вращения. Закрепив винтом на спице один из грузов на расстоянии R и передвигая второй груз на противоположной спице, добейтесь равновесия маятника и закрепите винтом в этом положении второй груз. Затем таким же образом сбалансируйте грузы на второй паре спиц на таком же расстоянии от оси вращения. Если маятник сбалансирован, то он находится в безразличном равновесии. Внести m* и R в таблицу измерений. 2. Проверить, чтобы при движении платформы сверху вниз она проходила через окно фотоэлектрических датчиков, не задевая их корпусов. 3. Измерить высоту h, диаметр Dи внести результаты в таблицу. ВНИМАНИЕ! Шкивы пластмассовые, имеют тонкие ребра, между которыми размещается нить. Расстояние между ребрами такое, что в них губки штангенциркуля входят вплотную и при неосторожном измерении (при перекосе штангенциркуля) эти ребра можно сломать. 4. Включить сетевой шнур в сеть питания. 5. Нажать клавишу “СЕТЬ”, проверить, светятся ли лампочки индикаторов обоих фотоэлектрических датчиков; на табло секундомера должны высвечиваться нули. 6. Нажать клавишу “ПУСК”. При этом освободится блокировка движения тормозных электромагнитов. 7. Вращая крестовину против часовой стрелки и наматывая нить, перекинутую через блок 6, на шкив 3 или 4, поднять платформу 7 с грузом в верхнее положение, установив дно платформы точно на уровне с чертой на корпусе верхнего фотоэлектрического датчика. Нажать клавишу “ПУСК” еще раз. В этом случае движение груза будет заблокировано тормозным электромагнитом, и груз должен находится в состоянии покоя. 8. Нажать клавишу “ПУСК” повторно. Произойдет разблокировка движения тормозным электромагнитом, груз придет в движение и будет запущен секундомер, измеряющий время движения груза. При прохождении грузом окна нижнего фотоэлектрического датчика, сработает механизм торможения груза и на табло секундомера зафиксируется время движения груза. Занести это время в таблицу измерений. С одним и тем же грузом рекомендуется проводить не менее трех измерений времени движения. 9. Нажать клавишу “СБРОС”. При этом произойдет сброс показаний секундомера (на табло секундомера будет высвечивать нули) и освобождение блокировки движения тормозным электромагнитом. 10. Выполнить пункты 8 – 11 для 5 ÷ 6 разных грузов, постепенно нагружая платформу. Результаты экспериментов внести в таблицу измерений. 11. Вычислить момент силы и угловое ускорение и результаты вычислений внести в таблицу измерений. 12. Построить график зависимости M =f() и проанализировать его. 13. Определить момент инерции маятника Обербека и момент сил трения, действующих на оси. 14. По сведениям о габаритах и массовых характеристиках деталей крестообразного маятника оценить (теоретически) его момент инерции, который можно представить соотношением J = J1 + J2 + J3, (10) где J1 - момент инерции спиц; J2 - момент инерции шкивов с втулкой; J3 - момент инерции грузов на спицах. Грузы на спицах можно рассматривать как точечные массы, а детали шкивов и втулки – как цилиндрические тела. 15. Сравните числовые значения момента инерции маятника, полученные в эксперименте и рассчитанные теоретически. Дополнительные задания 1д. Изучить зависимость момента инерции маятника J от расстояния R до оси вращения грузов m* на спицах при неизменной массе m съемного груза и платформы. Построить график J = f (R2) . По графику определить J0 момент инерции маятника без грузов m* на спицах. 2д. Для одной из серий опытов посчитайте максимальный момент импульса L крестообразного маятника. Для этого воспользуйтесь соотношением L=Jгде - угловая скорость маятника. Контрольные вопросы
Список рекомендуемой литературы
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;
;
,
