Главная страница
Навигация по странице:

  • Решение

  • IPR_1-1 вариант 5. Практическая работа 11 векторное исчисление. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра



    Скачать 166.76 Kb.
    НазваниеПрактическая работа 11 векторное исчисление. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра
    АнкорIPR_1-1 вариант 5.docx
    Дата04.03.2018
    Размер166.76 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаIPR_1-1 вариант 5.docx
    ТипПрактическая работа
    #17390
    КатегорияМатематика
    страница1 из 4
      1   2   3   4


    Министерство образования Республики Беларусь

     

    Учреждение образования 
    «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

     

    Факультет непрерывного и дистанционного обучения

     

    Кафедра высшей математики

     

     

    МАТЕМАТИКА, ЧАСТЬ 1

     

    ИНДИВИДУАЛЬНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1-1

    «ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

     

     

    Вариант : 5

     

     

     

     

     

    Минск 2017

    Задача 1

    Даны два вектора http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_a.png и http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_b.png, выраженные в виде линейной комбинации векторов http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_e1.png и http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_e2.png. Найдите: а) http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_modulj_a.png и http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_modulj_b.png; б) скалярное произведение http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_a_s_b.png; в) угол между векторами http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_a.png и http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_b.png; г) длину третьей стороны и площадь треугольника, построенного на векторах http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_a.png и http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_b.png.

    - 2; = - 2 + 5;

    = 2; = 3; = arc )

    Решение

    а) http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_modulj_a.png и http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_modulj_b.png






    б) скалярное произведение http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_a_s_b.png;

    – 2=114.

    в) угол между векторами http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_a.png и http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_b.png





    г) длину третьей стороны и площадь треугольника, построенного на векторах http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_a.png и http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_01_vektor_b.png



    Найдем векторное произведение векторов





    Найдем модуль вектора:




    Задача 2

    Дана точка М – вершина треугольной пирамиды и три вектора http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_02_a_b_c.png, образующие её боковые рёбра. Найдите: а) уравнение плоскости основания пирамиды; б) угол между гранью, образованной векторами http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_02_a_b.png, и плоскостью основания; в) угол между ребром, образованным вектором http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_02_c.png, и плоскостью основания; г) уравнение высоты, опущенной из вершины М на основание; д) объём пирамиды.

    М(-4;1;3),  (2;2;5), b(-1;3;-2), (3;1;1)
    Решение

    а) уравнение плоскости основания пирамиды;

    Для составления уравнения плоскости используем формулу:

    , где - координаты точки a, - координаты точки b,- координаты точки c.



    б) угол между гранью, образованной векторами http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_02_a_b.png, и плоскостью основания;

    Косинус угла между плоскостью A1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью A2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):

    Уравнение плоскости ABM:

    , где - координаты точки a, - координаты точки b,- координаты точки c.



    -x + 4y + z-11 = 0
    Уравнение плоскости ABC: -11x - 19y + 2z + 50 = 0
    γ = arccos(-0.67) = 132.071o

    в) угол между ребром, образованным вектором http://learning.bsuir.by/sites/math_1_2016-17/_layouts/15/lms2/scorm/splmsgetresourcesashxsplms/b4cfd7a1aa154549a0fcd05d87078f44/image/wf_zd_02_c.png, и плоскостью основания;

    Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sin%20\gamma%20%20%20=%20\frac%7b|al%20%2b%20bm%20%2b%20cn|%7d%7b\sqrt%7ba%5e%7b2%7d%20%2b%20b%5e%7b2%7d%20%2b%20c%5e%7b2%7d%7d\sqrt%7bl%5e%7b2%7d%20%2b%20m%5e%7b2%7d%20%2b%20n%5e%7b2%7d%7d%7d
    Уравнение плоскости ABC: -11x - 19y + 2z + 50 = 0
    Уравнение прямой CM:
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7bx%20-%203%7d%7b-7%7d%20=%20\frac%7by%20-%201%7d%7b0%7d%20=%20\frac%7bz%20-%201%7d%7b2%7d

    γ = arcsin(0.505) = 30.332o

    г) уравнение высоты, опущенной из вершины М на основание;

    Прямая, проходящая через точку M(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
    Уравнение плоскости ABC: -11x - 19y + 2z + 50 = 0


    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7bx%20-%20x_%7b0%7d%7d%7ba%7d%20=%20\frac%7by%20-%20y_%7b0%7d%7d%7bb%7d%20=%20\frac%7bz%20-%20z_%7b0%7d%7d%7bc%7d
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\frac%7bx%20-%20(-4)%7d%7b-11%7d%20=%20\frac%7by%20-%201%7d%7b-19%7d%20=%20\frac%7bz%20-%203%7d%7b2%7d
    д) объём пирамиды

    Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=v%20=%20\frac%7b1%7d%7b6%7d

    X1

    Y1

    Z1

    X2

    Y2

    Z2

    X3

    Y3

    Z3













    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=v%20=%20\frac%7b1%7d%7b6%7d

    -3

    1

    -7

    1

    -1

    -4

    -6

    -1

    -2










    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20=%20\frac%7b81%7d%7b6%7d%20=%2013.5


    Находим определитель матрицы

    ∆ = (-3) • ((-1) • (-2)-(-1) • (-4))-1 • (1 • (-2)-(-1) • (-7))+(-6) • (1 • (-4)-(-1) • (-7)) = 81

    Задача 3

    Найдите координаты точки M', симметричной точке M(2;1;0) относительно прямой   = =

    Решение

    Находим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точку М.Так как плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взять направляющий вектор прямой:



    Тогда уравнение искомой плоскости:







    Найдем точку М0 пересечения прямой и плоскости. Запишем параметрические уравнения прямой.





    Подставляем в уравнение плоскости:









    Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:



    Получаем М0(2; -0,5;-1,5)

    Так как М0 является серединой отрезка ММ', то






    Получаем М'(2; -2; -3)
      1   2   3   4
    написать администратору сайта