Вопрос 1 Основные положения
 Скачать 1.03 Mb.
|
      Вопрос 1Основные положения. Наиболее простой моделью системы многих частиц является идеальный газ. Это газ, по определению, состоящий из точечных материальных частиц с конечной массой, между которыми отсутствуют силы, действующие на расстоянии, и которые сталкиваются между собой по законам соударения шаров. Соударения происходят по законам абсолютно упругого удара. Других способов взаимодействия нет. В реальных системах это справедливо когда энергией взаимодействия можно пренебречь по сравнению с энергией самих частиц.Размер частиц идеального газа, как твердых правильных сфер, намного меньше среднего расстояния между ними, именно поэтому интервал времени между столкновениями много больше времени самого столкновения, значит можно считать, что частицы движутся равномерно и прямолинейно подавляющую долю времени наблюдения.В результате многочисленных столкновений следует оценивать следующие эффекты: 1. Частицы выделенной группы наблюдения после столкновений рассеиваются в пространстве, занимая в конце концов бесконечно большой объем. Поэтому идеальный газ ограничивают или визуально, или стенками. Например, при равновесии стенки можно заменить замкнутой границей, (визуально) выделенной в самом газе, через которую происходит лишь обмен молекул, эквивалентный упругому отражению молекул от стенок. Если стенки материальны, то частицы будут отражаться от них по законам упругого удара, передавая стенке суммарный импульс силы. Следствием этого является давление газа не стенку.Частицы обмениваются энергией, изменяя свои скорости и координаты внутри объема. Тогда, при неизменных внешних параметрах, в газе установится равновесное состояние. Любое отклонение от такого состояния сглаживается благодаря непрерывному хаотическому движению и столкновениям частиц, и за короткое время (время релаксации) газ снова приходит в равновесное состояние по любому макропараметру. Тогда при постоянных внешних параметрах за интервалы времени большие времени релаксации, можно считать состояние газа равновесным. Столкновения частиц приводят не только к установлению в газе одинаковой плотности, но и к равномерному распределению в пространстве направлений движения частиц: сколько частиц движется в одном направлении, столько же в среднем движется в любом другом, в том числе и в противоположном. В результате давление в идеальном газе оказывается изотропным. Отсутствие направленного потока в газе при равновесии указывает, что средние скорости и число частиц, движущихся в разных направлениях, оказывается одинаковым.Известны три метода как три принципиальных подхода к изучению систем многих частиц: динамический, статистический и термодинамический. Динамический метод. Поведение системы, состоящей из сравнительно небольшого числа частиц, можно описать чисто механически. Так, если в некоторый момент времени известны координаты и скорости всех частиц системы и известен закон их взаимодействия, то решая уравнения классической механики, можно найти эти координаты и скорости в любой последующий момент времени. Таким образом можно полностью определить состояние системы. Метод исследования, однозначно определяющий последующее состояние системы по предыдущему, называется динамическим. Для макроскопических систем, состоящих из очень большого числа частиц, такой путь построения теории невозможен. Вся получаемая информация становится необозримой для мысленного восприятия и даже простая ее фиксация превосходит возможности любых технических средств, не говоря уже о технической неосуществимости ее обработки. Более того, информация об отдельных частицах в своей непосредственной форме непригодна для теоретического анализа и бесполезна с практической точки зрения.При нормальных условиях (н.у.) в 1 см3 воздуха содержится примерно 2,7.10 19 молекул. Это значит, что для записи в некоторый момент времени положений и скоростей всех молекул потребовалось бы зафиксировать 6.2,7.10 19 чисел. При скорости фиксации 1 млн. чисел в секунду потребуется около 6 млн. лет. Сама форма информации непригодна для теоретического анализа поведения системы в целом. Это обусловлено тем, что каждая молекула при н.у. испытывает примерно 109 столкновений в секунду. Поэтому, если лишь слегка изменить только направление скорости и только одной молекулы, то через  c, изменятся скорости у 2N других молекул, а следовательно изменится и их положение. С другой стороны, ясно, что если даже у 1 миллиарда частиц изменить направление скорости, то эти изменения будут столь же не существенны для системы частиц в целом, сколь несущественно, например, для человечества в целом возникновение острой зубной боли у одного из людей.Очевидно, что динамический метод эффективен только в применении к системам с небольшим числом степеней свободы. Статистический метод. Для изучения системы многих частиц информация должна иметь обобщенный характер и относиться к совокупности больших количеств частиц. Но тогда должны появляться и иные понятия, относящиеся уже не к отдельным частицам, а к их большим совокупностям. Именно большое число частиц в системе определяет появление новых, по своему характеру статистических, закономерностей во внутренней динамике этих систем. Кроме того, и квантово-механические закономерности по своей природе являются статистическими. Поэтому этот метод можно и надо применять и при небольших количествах частиц. Статистическим методом исследования называют такой метод, при котором предыдущее состояние системы определяет последующее не адекватно, а лишь с некоторой вероятностью. Величина вероятности является количественной оценкой прогноза последующего состояния. Задача сводится к идентификации функции распределения вероятностей по известной классификации видов распределений. Найденная функция распределения позволит вычислить средние значения случайных физических величин. Характер функций распределений зависит от индивидуальных свойств частиц, образующих систему. Термодинамический метод. Модель идеального газа определяется параметрами, характеризующими систему в целом (без рассмотрения внутренней структуры). Теория строится на общих положениях (например, на выполнении закона сохранения энергии) и с их помощью определяются связи между этими параметрами. Этот метод позволяет изучать явления без знания их внутренних механизмов. А статистический метод поможет понять суть явлений. Поэтому эти 2 метода дополняют друг друга и их комбинированное применение очень эффективно. Вопрос 2 Статистический метод Вероятность. Случайные величины непрогнозируемы: сами величины выражены в числах и значения этих чисел нельзя заранее предсказать. Одна случайная величина, как число, не может быть предсказана (предопределена), но совокупность (массив) случайных величин подчиняется закономерностям, которые изучает теория вероятности. Следовательно, чтобы “включить” эти закономерности, надо набрать эту совокупность. Как набирать ее, объясняет математическая статистика. Количественной характеристикой предсказания (прогнозирования) является вероятность, определяемая в форме:  , где NА - число опытов с результатом А, N - число опытов, испытаний, P(A) - вероятность результата А.Метод ансамблей. Был введен в статистическую физику в 1902 г. американским физиком Дж. Гиббсом (1839 - 1903). Этот метод является одним из статистических методов изучения систем частиц газа. Сосуд с заключенными в нем частицами называется статистической системой. Совокупность одинаковых статистических систем называется статистическим ансамблем. Под словом “одинаковых” подразумеваются одинаковые: объем сосудов, число частиц, сами частицы. Статистический ансамбль - собрание большого числа взаимодействующих между собой систем, каждая из которых удовлетворяет тем же условиям, что и рассматриваемая нами система. Ансамбль, не зависящий от времени - это ансамбль, в котором число систем с данными свойствами одно и то же в любое время. Вероятность: вероятность Pr осуществления данного случая в рассматриваемой системе определяется с помощью статистического ансамбля из N таких систем. Если случай r осуществился в Nr системах ансамбля, то Pr = Nr/N (при N??). Случай - исход опыта или результат наблюдения. Статистическая независимость: два случая статистически независимы, если осуществление одного из них не зависит от осуществления или неосуществления другого. Пример. Вместо того, чтобы сконцентрировать внимание на данной системе А, которая нас интересует, рассмотрим набор систем (ансамбль) состоящий из большого числа N “одинаковых” систем. В принципе N можно представить себе сколь угодно большим (N??). Системы предполагаются "одинаковыми" в том смысле, что каждая из них удовлетворяет тем же условиям, которым удовлетворяет система А (т.е. все системы “приготовлены по тому же рецепту”, что и система А и подвергнуты тому же опыту, что и система А). Например: опыт заключается в бросании монеты и имеет две возможности исхода “орел” или ”решка”. Рассмотрим ансамбль, состоящий из очень большого числа одинаковых монет числом N. Другой, более сложный вариант: вместо одного набора из N может рассматривать ансамбль, состоящий из N таких наборов по NА монет в каждом. И над каждым набором производить один и тот же опыт. Если состояние системы не зависит от времени, то с равным успехом можно один и тот же опыт повторить N раз над одной данной системой. При этом, разумеется, нужно быть уверенным, что в начале каждого опыта система находится в одном и том же начальном состоянии. Постулируется, что  и называется эргодической гипотезой и тогда  , и среднее по ансамблю (среднее статистическое) равно среднему по времени. Доказательств этой гипотезы нет, и она является одним из основополагающих допущений статистической физики (Л. Больцман, 1871 г.).В реальности разговор идет не об одной частице, а о системах с N-частицами. Ансамбль систем во времени есть совокупность микросостояний системы. В этом случае эргодическая гипотеза определяет направление эволюции изолированной системы: начиная свое движение из любого состояния, система достигает обязательно состояния сколь угодно близкого к любому другому состоянию, совместимому с законом сохранения энергии. Вопрос 3 Плотность вероятности. Если вероятность зависит от объема пространства (рассматривается пространство координат), то вводится понятие плотности вероятности. Это происходит очень часто, так как любая физическая система объектов характеризуется объемом. Связь между вероятностью  частице i находится и быть обнаруженной в объеме Viи плотностью вероятности  данной частице иметь координаты (x, y, z) в этом объеме определяется в виде  .Функцию плотности вероятности определяют в виде:  ,где x, y, z - координаты исследуемой точки координатного пространства в которую стягивается бесконечно малый объем. Если  , то ясно что указанная i - тая молекула будет определена с надежностью 100%. Тогда условие  или  называется условием нормировки вероятностей.Среднее значение дискретной величины:  . Среди xi могут быть и одинаковые по величине. Перегруппируем правую часть так, чтобы в нее входили разные xj и получим:  , где N = , a Nj число одинаковых (j) членов в сумме i-тых.Так как Nj/N = Pj определяет вероятность того, что x принимает значение xj, то  и называется математическим ожиданием случайной величины с учетом вероятности.Для непрерывно меняющейся величины x:  .Дисперсия. Средний квадрат отклонения от среднего  определяет "разброс" величины x около ее среднего значения <x>. Значение  называют стандартным, среднеквадратичным отклонением от среднего.Функция распределения вероятностей. Вероятность того, что случайная величина x принимает значения меньше некоторого заданного числа x0, т.е. x < x0 задается формулой:  , где F(x0) - функция распределения вероятностей:  Вероятность того, что случайная величина x принимает значение, лежащее в интервале х1< x < x2 выражается формулой:  Макроскопическое и микроскопическое состояние системы. Система - совокупность физических объектов исследования, заключенных в конечной области пространства. Характеризуется физическими или химическими свойствами вещества в ней, а также особенностями своей границы. Граница системы может быть как материальной (стенка сосуда), так и воображаемой, проведенной в пространстве мысленно. Она может быть неподвижной или движущейся, проницаемой или непроницаемой для вещества и энергии. Для транспорта энергии она классифицируется по формам транспортируемой энергии. Если граница системы непроницаема для вещества и энергии, то система называется изолированной. Макроскопическое состояние - состояние газа, характеризуемое макроскопическими параметрами, т.е. давлением, температурой и объемом. Стационарное макроскопическое состояние газа, находящегося в изолированном от внешней среды объеме V, называется равновесным: р, V, T - не зависят от времени (постоянны) и постоянны во всех частях объема. Одно и тоже макроскопическое состояние осуществляется в большом числе систем ансамбля, находящихся в различных микроскопических состояниях. Микроскопические состояния системы. Наиболее полная информация о газе содержится в констатации положений (координат) и скоростей всех его частиц. Состояние газа, характеризуемое положениями и скоростями всех его частиц, называется микроскопическим. Очевидно, что микроскопическое состояние газа характеризуется 6N числами: 3N координатами (xi, yi, zi) всех N-частиц и 3-N проекциями их скоростей (  x, y, z ). Эти числа рассматриваются как случайные при применении статистического метода.Вопрос 4 Фазовое пространство. Фазовая точка. Фазовая ячейка. Учитывая, что вместо скоростей частиц принято пользоваться их импульсами, можно сказать, что микроскопическое состояние можно изобразить в виде точки в 6N-мерном пространстве (3N координат и 3N проекций импульсов частиц). Эта точка называется фазовой, а пространство - фазовым. Пусть известны размеры атомов и молекул:  10-10 м, тогда объем частицы V d3 по порядку величины составит около10-30 м3. Здесь понятие объема частицы означает, что ни его, ни его части никакая другая частица занимать не может. В таком случае объем газа может быть разбит на ячейки объемом d3, которые могут быть заняты отдельными частицами, и в каждой ячейке частица пребывает время  . Тогда микросостояние по пространству характеризуется тем, что все частицы распределены определенным образом по ячейкам, на которые разбит объем газа. Их количество в 1 м3:  1/d3 = 1030, но частиц при н.у. в 1 м3: NL = 2,7.1025 и на одну частицу приходиться 4.104 ячеек. Основная же их часть - "пустая".Квантовая механика дает определение и ячеек импульсов. Причем объем ячеек, который может занимать одна частица, определяется не в пространстве координат или импульсов, а в пространстве координат-импульсов - фазовом пространстве. Объем фазовой ячейки для одной частицы определяется в виде: (  x.y.z)0(px.py.pz) = h3, где h = 6,62.10-34 Дж.с |