Главная страница
Навигация по странице:

  • 2. Сила, що діє на провідник з струмом в магнітному полі.

  • Задача

  • Закон БіоСавараЛапласа в скалярному і векторному вигляді відповідно



    Скачать 1.27 Mb.
    НазваниеЗакон БіоСавараЛапласа в скалярному і векторному вигляді відповідно
    АнкорPhys_kontr_4.doc
    Дата21.12.2017
    Размер1.27 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаPhys_kontr_4.doc
    ТипЗакон
    #13488
    КатегорияФизика
    страница1 из 4
      1   2   3   4

    1. Електромагнетизм


    1. Магнітне поле електричного струму
    Основні формули

    1. Закон Біо-Савара-Лапласа в скалярному і векторному вигляді відповідно:


    ; , де dB – магнітна індукція поля, яке створюється елементом провідника з струмом; - магнітна проникність; - магнітна постійна, яка дорівнює 4 10-7 Гн/м ; - вектор, який дорівнює довжині dl провідника і співпадає з напрямом струму; - сила струму; - радіус-вектор, проведений від середини елемента провідника до точки, магнітна індукція в якій визначається; - кут між векторами і .

    1. Магнітна індукція В зв’язана з напруженістю Н магнітного поля співвідношенням:

    B= ; .

    1. Магнітна індукція в центрі кругового провідника з струмом

    ; - на осі колового струму, де - радіус кривизни провідника, - відстань від центра площини до точки А.

    1. Магнітна індукція поля, яке створюється нескінченно довгим прямим провідником з струмом

    , де - відстань від осі провідника.

    1. Магнітна індукція поля, яка створюється відрізком провідника



    Позначення зрозумілі з рис.1. Вектор індукції перпендикулярний площині малюнка, направлений до нас і тому зображений точкою. При симетричному положенні точки, в якій визначається магнітна індукція . Звідси

    .

    .

    1. Магнітна індукція поля, яке створюється соленоїдом в середній його частині ( або тороїда на його осі).

    , де n – число витків на одиницю довжини соленоїда;

    I – сила струму в одному витку.

    1. Принцип суперпозиції магнітних полів: магнітна індукція результуючого поля дорівнює векторній сумі магнітних індукцій складових полів, тобто

    .

    В окремому випадку складання двох полів , а абсолютне значення вектора магнітної індукції (його модуль)

    , де - кут між векторами і .

    1. Індукція магнітного поля рухомого заряду

    ; , де - заряд частинки, що рухається, - її швидкість, - відстань від заряду до точки, в якій визначається індукція магнітного поля, - кут між вектором швидкості і радіус-вектором (див.рис.2)

    Приклади розв’язування задач.

    Задача 1. Два паралельних нескінченно довгих провідника, по яких проходить струм в одному напрямку струми величиною I = 60 A , розташовані на відстані d = 10 см один від одного. Визначити магнітну індукцію В точці, яка знаходиться від одного провідника на відстані r1 = 5 см і від другого - на відстані r2 = 12 см.

    Розв’язання

    Дано:

    І = 60 А

    d = 10 см

    r1 =5 см

    r2 =12см

    BA - ?

    Для находження магнітної індукції в даній точці А (рис.3) визначимо напрям векторів індукції і полів, які створюються кожним провідником окремо. Складемо їх геометрично, тобто . Абсолютне значення індукції знайдемо за принципом суперпозиції:

    (1)Значення індукцій B1 і B2 виражаються відповідно через силу струму I і відстанями r1 i r2 від провідників до точки А: , .

    Підставляючи B1 і B2 в формулу (1) і виносячи за знак кореня, отримаємо (2)
    Визначимо . Відмітимо, що . Тому за теоремою косинусів запишемо d2=r12+r22-2r1r2Cos, де d – відстань між провідниками. Звідси



    Підставивши в формулу (2) значення 0, I, r1, r2 і Cos, знайдемо

    B=286мкТл=2,86*10-4Тл.

    Задача 2. Визначити напруженість та індукцію магнітного поля в центрі квадратної рамки із стороною а = 100 см, по якій проходить струм І = 20 А.

    Розв’язання

    Дано:

    І = 60 А

    a = 10 см

    H0 -?

    B0 - ?Згідно принципу суперпозиції полів, напруженість магнітного поля в центрі квадрата, по якому проходить струм I, буде дорівнювати .

    Всі ці напруженості направлені по одній прямій в один бік (згідно правилу свердлика): з точки О за малюнок. Так як всі вектори колінеарні, то векторну суму можна записати алгебраїчно: .

    Але , так як струм на всіх відрізках контуру однаковий і довжина відрізків однакова, а самі відрізки проводів рівновіддалені від точки, в якій визначається напруженість. Отже, , а так як , то з урахуванням умови задачі, де , а і , отримаємо .

    Знайдемо . Враховуючи зв’язок між В і Н, отримаємо .

    Визначимо .
    Задача 3. Площина колового витка радіусом 30 см з струмом І2 = 3 А паралельна прямому нескінченно довгому провіднику з струмом І1 = 3,14 А. Нормаль до площини витка, проведена з центра витка, перпендикулярна осі прямого струму. Відстань від центра витка до прямого провідника 20 см. Знайти індукцію магнітного поля в центрі витка.

    Розв’язання

    Дано:

    І1 = 3,14 А

    І2 = 3 А

    d = 0,2 м

    r = 0,3 м

    B0 - ?Магнітне поле в центрі витка складається з магнітних полів, які створюються прямим провідником з струмом і коловим витком з струмом. Згідно принципу суперпозиції магнітних полів, магнітне поле в центрі витка дорівнює .

    Де В1 - індукція поля, створеного прямим струмом, а В2 - коловим струмом в даній точці. Використовуючи правило буравчика, визначимо напрям векторів В1 і В2 в точці О. Як видно з малюнка, вектори В1 і В2 взаємно перпендикулярні, отже .

    За законом Біо-Савара-Лапласа:

    ; .

    Таким чином, індукція результуючого поля В0, дорівнює:

    ;

    Проведемо розрахунки і перевірку величин:

    ; .
    Задача 4. Два довгих паралельних провідника з однаково направленими струмами І1 = 4 А; І2 = 6 А знаходяться на відстані r = 5 см один від одного. Знайти напруженість магнітного поля в точці, віддаленій на 2 см від одного і 3 см від іншого провідника.

    Розв’язання

    Дано:

    І1 = 4 А

    І2 = 6 А

    r1 = 2 см

    r2 = 3 см

    r = 5 см

    HА -?Перш за все, необхідно зобразити на малюнку розташування провідників і вказати напрями струмів в них. Нехай провідники розташовані перпендикулярно до площини малюнка і струми направлені від нас. А – точка, в якій, за умовою задачі, треба визначити напруженість магнітного поля. Так як поле створене двома струмами, то необхідно застосувати принцип суперпозиції полів: .

    Число доданків в правій частині визначається числом провідників з струмом в умові задачі

    , (1)

    де H1 – напруженість поля, створеного в точці А провідником з струмом I1;

    H2 - напруженість поля в точці А, створена струмом I2. Запишемо рівняння (1) в скалярній формі. Для цього треба знайти напрям векторів напруженості. Спочатку за правилом буравчика знаходимо напрям силових ліній поля струму I1 та І2. Для струму І1 побудуємо силову лінію радіуса r1, для струму I2 - радіуса r2. Силові лінії повинні проходити через ту точку, в якій визначається напруженість.

    Вектор напруженості повинен бути дотичним до силової лінії в точці А. Як видно з мал.7, вектори H1 i H2 знаходяться в одній площині і напрямлені вздовж однієї прямої в різні боки. Тому рівняння (1) може бути переписане в скалярній формі:

    . (2)

    Тепер визначимо модулі H1 і H2 по формулі напруженості поля прямолінійного струму:

    ; .

    Підставимо ці вирази в формулу (2), отримаємо .

    Проведемо розрахунки:

    .

    Знак “ - “ свідчить про те, що напрям вектора HA співпадає з напрямом вектора H2 .
    Задача 5. Визначити максимальну магнітну індукцію Bmax поля, яке створюється електроном, що рухається прямолінійно із швидкістю , в точці, що знаходиться від траєкторії на відстані d = 1нм.

    Розв’язання

    Дано:

    v = 10-7

    d = 10-9 м

    Bmax -?Рухомий заряд створює в просторі магнітне поле, індукція якого в будь-якій точці поля прямо пропорційна величині заряду його швидкості і магнітній проникності середовища і обернено пропорційна квадрату відстані даної точки поля від заряду.

    Індукція залежить від кута між векторами і . При інших рівних умовах вона максимальна в точках прямої, що проведена через заряд перпендикулярно до вектора його швидкості . В усіх точках поля, що знаходяться на прямій, яка співпадає з вектором швидкості руху заряду, магнітна індукція дорівнює нулю.

    Числове значення магнітної індукції в точці А поля рухомого заряду дорівнює: . (1)

    Згідно умови задачі кут , отже .

    Тоді .

    Перевіряємо величини .

    2. Сила, що діє на провідник з струмом в магнітному полі.
    Основні формули

    1. Закон Ампера. Сила, що діє па провідник з струмом в магнітному полі.

    , де - кут між векторами I і B; I - сила струму;

    - вектор, який дорівнює по модулю довжині провідника і співпадає з напрямом струму; B - магнітна індукція поля.

    1. Сила взаємодії двох прямих нескінченно довгих паралельних провідників із струмами I1 і I2 ,які знаходяться на відстані d один від одного, розрахована на відрізок провідника довжиною , виражається формулою .

    2. Магнітний момент контуру із струмом , де - вектор, що дорівнює по модулю площі , яку займає контур, і співпадає по напряму з нормаллю до його площини.

    3. Механічний момент, який діє на контур із струмом, розташований в однорідному магнітному полі, .

    Модуль механічного моменту , де - кут між і .

    1. Потенціальна(механічна) енергія контуру з струмом в магнітному полі .

    2. Сила дії на контур із струмом в магнітному полі

    , де - зміна магнітної індукції вздовж осі x, розрахована на одиницю довжини; - кут між і B.
    Приклади розв’язування задач

    Задача 1. В однорідному магнітному полі В = 0,1Тл знаходиться прямий провідник площею поперечного перерізу і ( - густина матеріалу провідника), кінці якого підключені до джерела постійного струму, що знаходиться за полем. Провідник розташований перпендикулярно лініям індукції поля. Визначити струм в провіднику, якщо його вага зрівноважується магнітною силою.

    Розв’язання

    Дано:

    B = 0,1 Тл

    S = 8 мм2

    І -?По закону Ампера сила, що діє на елемент струму, дорівнює .

    Так як за умовою задачі кут , то сила Ампера .

    За умовою задачі , але . Провідник прямолінійний, а поле однорідне, тому магнітна сила, діюча на весь провідник, дорівнює або

    Таким чином, зважаючи на те, що F=P , отримаємо . Звідси

    Знайдемо масу провідника. Так як відома густина матеріалу, то ; . Звідки . Отже, .

    Проведемо розрахунки і перевірку величин:

    ; .
    Задача 2. Контур зі струмом , що має форму прямокутника, розміри якого , розташований в одній площині з прямим нескінченно довгим проводом із струмом . Менші сторони контуру паралельні струму І2 і найближча сторона знаходиться від нього на відстані с = 5 см. Визначити головний вектор магнітних сил, що діють на контур.

    Розв’язання



    Дано:

    I1 = 3 A

    I2 = 10 A

    c = 5см

    F -?

    Головний вектор сил, діючих на контур, дорівнює , тобто . По правилу лівої руки визначимо напрям сил, діючих на кожний елемент контуру. З мал. видно, що і протилежні за напрямом. А сили F1 і F2 відповідно рівні:

    ; .

    Таким чином, головний вектор зовнішніх сил, діючих з боку магнітного поля на контур, дорівнює .

    З малюнка видно, що

    ;

    Проведемо розрахунки і перевірку величин:

    ,

    .
    Задача 3. На дротяний виток радіусом r = 10 см, розміщений між полюсами магніту, діє максимальний механічний момент . Сила струму I в витку дорівнює 2 А. Визначити магнітну індукцію В поля між полюсами магніту. Дією магнітного поля Землі знехтувати.
    Розв’язання

    Дано:

    r = 10см

    Mmax = 6,5‡10-6H

    I = 2A

    B -?Індукцію магнітного поля можна визначити з виразу механічного моменту, який діє на виток із струмом в магнітному полі.

    (1)

    Якщо врахувати, що максимальне значення механічний момент набуває при , а , то формула (1) буде виглядати так:

    Звідси, враховуючи, що , знаходимо

    Провівши розрахунки і перевірку величин, отримаємо:

    .
    Задача 4. Квадратна рамка із стороною зроблена з мідного дроту діаметром d = 0,4 мм. До кінців рамки прикладена напруга U = 1 B. Який обертаючий момент діє на рамку, якщо її розташувати в однорідному магнітному полі напруженістю Н= 100 А/м? Середовище – повітря.

    Розв’язання

    Дано:

    l = 4 см

    d = 0,4 мм

    U = 1 B

    H = 10 А/м

    μ0 = 4π‡10-7Гн/м

    μ = 1

    M -?Згідно визначенню обертаючий момент , де - магнітний момент, що дорівнює , - сила струму в котушці. Так як рамка квадратна, то площа рамки ( - сторона рамки). Силу струму, що проходить через рамку, можна визначити по закону Ома: де R= ; - питомий опір провідника рамки; - довжина контуру рамки. Тоді , .

    Відомо, що між індукцією поля В і напруженістю існує зв’язок . Звідси

    ;

    Провівши розрахунки і перевірку величин, отримаємо:

    ,

    .
    Задача 5. На рис. 10 зображений мідний диск радіусом r = 0,1 м, сила струму, що проходить по радіусу диска І = 6 А, індукція магнітного поля В = 0,1 Тл, площина диска перпендикулярна до напряму магнітного поля. Диск обертається з частотою n=1 об/с. Знайти потужність такого двигуна.

    Розв’язання

    Дано:

    r = 0,1 м

    I = 6 A

    B = 0,1 Тл

    n = 1 об/с

    P -?Так як диск, по якому проходить струм, розташований в магнітному полі, то на нього з боку поля діє сила Ампера , де - довжина радіуса , вздовж якого проходить струм. Кут =0, так як вектор В перпендикулярний площині диска. Тоді . робота при одному оберті диска А= де - площа, яку перетинає радіус за один оберт, тобто площа диска.

    Тоді потужність такого двигуна:



    Перевірка величин:


    Задача 6. Квадратна рамка із стороною довжиною =2см, яка містить n =100 витків тонкого проводу, підвішена на нитці, постійна кручення c якої дорівнює 10 мкНм/град. Площина рамки співпадає з напрямом лінії індукції зовнішнього магнітного поля. Визначити індукцію зовнішнього магнітного поля, якщо при проходженні по рамці струму силою І=1 А, вона повернулась на кут .
    Розв’язання

    Дано:

    а = 4 см

    с = 10-5 Нм/град

    І= 1 А

    α = 60о

    N = 100 витків

    В -?Індукція В зовнішнього поля може бути знайдена з умови рівноваги рамки в полі. Рамка буде у рівновазі, якщо сума механічних моментів діючих на неї, буде дорівнювати нулю . (1)

    В даному випадку на рамку діють два моменти (рис.11);

    - момент сил, з яким зовнішнє магнітне поле діє на рамку із струмом; - момент інших сил, які виникають при закручуванні нитки, на якій підвішена рамка. Значить формула (1) може бути записана у вигляді .

    Виразивши M1 і M2 в цьому рівнянні через величини, від яких залежать моменти сил, отримаємо

    . (2)

    Знак мінус перед моментом M2 ставиться тому, що цей момент протилежний по напряму моменту M1.

    Якщо врахувати, що , деІ - сила струму в рамці, - площа рамки; N – число її витків. Рівняння (2) перепишеться у вигляді

    . Звідки . (3)

    З рис. 11 видно, що , значить, .

    З врахуванням цього рівняння (3) набуде вигляду

    . (4)

    Підставивши дані в формулу (4) і провівши розрахунки, отримаємо

    В = 30 мТл = 310-2 Тл.

    .
      1   2   3   4
    написать администратору сайта