Сначала идет умножение а потом сложение

Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий.

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

  • действия выполняются по порядку слева направо,
  • причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Выполните действия 7−3+6 .

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени.

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками, формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Читайте также:  Машина сама поднимает обороты

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.

Рассмотрим решения примеров.

Выполните действия в выражении (3+1)·2+6 2 :3−7 .

В этом выражении содержится степень 6 2 , ее значение нужно вычислить до выполнения остальных действий. Итак, выполняем возведение в степень: 6 2 =36 . Подставляем это значение в исходное выражение, оно примет вид (3+1)·2+36:3−7 .

Дальше все понятно: выполняем действия в скобках, после чего остается выражение без скобок, в котором по порядку слева направо сначала выполняем умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Имеем (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13 .

Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.

С самого начала следует напомнить, чтобы потом не путаться: есть цифры – их 10. От 0 до 9. Есть числа, и они состоят их цифр. Чисел бесконечно много. Точно больше, чем звезд на небе.

Математическое выражение − это записанное с помощью математических символов наставление, какие действия нужно произвести с числами, чтобы получить результат. Не «выйти» на искомый результат, как в статистике, а узнать, сколько их точно было. А вот чего и когда было − уже не входит в сферу интересов арифметики. При этом важно не ошибиться в последовательности действий, что сначала — сложение или умножение? Выражение в школе иногда называют «пример».

Сложение и вычитание

Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.

Самое простое человеческое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.

Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.

Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.

Читайте также:  Система охлаждения двигателя лада веста

Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно семь. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, рыбьих головах – результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.

Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.

Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.

Сложение столбиком −­­­­­­ это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.

Умножение

Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.

Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».

Что сначала — умножение или сложение?

Любое математическое выражение – это фактически запись учетчика «с полей» о результатах каких-либо действий. Допустим, сбора урожая помидоров:

  • 5 взрослых работников собрали по 500 помидоров каждый и выполнили норму.
  • 2 школьников не ходили на уроки математики и помогали взрослым: собрали по 50 помидоров, норму не выполнили, съели 30 помидоров, надкусили и испортили еще 60 помидоров, 70 помидоров было изъято из карманов помощников. Зачем брали с собой их в поле – непонятно.

Все помидоры сдавали учетчику, он укладывал их по кучкам.

Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:

  • 500 + 500 + 500 + 500 + 500 — это кучки взрослых работников;
  • 50 + 50 – это кучки малолетних работников;
  • 70 – изъято из карманов школьников (испорченное и надкусанное в зачет результата не идет).

Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:

500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;

Здесь можно применить группировку: 5 кучек по 500 помидоров − это можно записать через операцию умножения: 5 ∙ 500.

Две кучки по 50 – это тоже можно записать через умножение.

И одна кучка 70 помидоров.

5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?

И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только помидоры. Нельзя сложить 500 помидоров и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки-умножения. Совсем простыми словами — сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 5 кучек по 500 помидоров каждая, то получится 2500 помидоров. А дальше их уже можно складывать с помидорами из других кучек.

2500 + 100 + 70 = 2 670

При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.

Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.

Деление

Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.

Скобки

Большое значение в решении примеров имеют скобки. Скобки в арифметике – математический знак, используемый для регулирования последовательности вычислений в выражении (примере).

Умножение и деление имеют приоритет выше, чем сложение и вычитание. А скобки имеют приоритет выше, чем умножение и деление.

Читайте также:  Поменять лампу ближнего света на аутлендер

Все, что записано в скобках, вычисляется в первую очередь. Если скобки вложенные, то сначала вычисляется выражение во внутренних скобках. И это непреложное правило. Как только выражение в скобках вычислено, скобки пропадают, а на их месте возникает число. Варианты раскрытия скобок с неизвестными здесь не рассматриваются. Так делают до тех пор, пока все они не исчезнут из выражения.

  1. Это как коробочки с конфетами в большом мешке. Сначала нужно раскрыть все коробочки и ссыпать в большой мешок: (25 – 5 ) = 20. Пять конфет из коробочки сразу заслали отличнице Люде, которая приболела и в празднике не участвует. Остальные конфеты − в мешок!
  2. Потом связать конфеты в пучки по 5 штук: 20 : 5 = 4.
  3. Потом добавить в мешок еще 2 пучка конфет, чтобы можно было поделить на троих детей без драки. Признаки деления на 3 в данной статье не рассматриваются.

(20 : 5 + 2) : 3 = (4 +2) : 3 = 6 : 3 = 2

Итого: трем детям по два пучка конфет (по пучку в руку), по 5 конфет в пучке.

Если вычислить первые скобки в выражении и переписать все заново, пример станет короче. Метод не быстрый, с большим расходом бумаги, зато удивительно эффективный. Заодно тренирует внимательность при переписывании. Пример приводится к виду, когда остается только один вопрос, сначала умножение или сложение без скобок. То есть к такому виду, когда скобок уже и нет. Но ответ на этот вопрос уже есть, и нет смысла обсуждать, что идет сначала — умножение или сложение.

«Вишенка на торте»

И напоследок. К математическому выражению не применимы правила русского языка – читать и выполнять слева направо:

Это простенький пример может довести до истерики ребенка или испортить вечер его маме. Потому что именной ей придется объяснять второкласснику, что бывают отрицательные числа. Или рушить авторитет «МарьиВановны», которая сказала, что: «Нужно слева направо и по порядку».

«Совсем вишня»

В Сети гуляет пример, вызывающий затруднения у взрослых дяденек и тетенек. Он не совсем по рассматриваемой теме, что сначала — умножение или сложение. Он вроде как про то, что сначала выполняете действие в скобках.

От перестановки слагаемых сумма не изменяется, от перестановки множителей тоже. Нужно просто записывать выражение так, чтобы не было потом мучительно стыдно.

6 : 2 ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ 3 = 3 ∙ 3 = 9

Математика — это очень просто, даже проще, чем мы можем себе представить. Сложной математику делают сами математики.

Страницы

четверг, 29 марта 2012 г.

Почему умножение первое?

Вот какой интересный вопрос о порядке выполнения математических действий мне задали:

меня зовут Александр. меня подруга замучала вопросом почему умножение делается раньше сложения? например почему 1+2*3=7 а не 9 я просто не знаю как объяснить, просто знаю что 7 и всё!!))))

Традиционный ответ на этот вопрос будет звучать приблизительно так: правила математики гласят — сперва выполняется умножение, потом сложение. Нам нужно просто делать то, чему нас учат наши учителя, соблюдать математические правила и мы получим правильный результат. В математике абстрагирование от конкретных условий приводит к потере смысла выполняемых действий.

Так всё же почему умножение выполняется первое, а только потом сложение? Ответ довольно прост. При умножении двух разных единиц измерения получается новая единица измерения, при сложении единицы измерения не меняются. При умножении мы получаем эту самую новую единицу измерения. Если она такая же, как и у первого слагаемого, тогда мы можем выполнить сложение.

Вот задача, которая хорошо иллюстрирует сказанное. У нас имеется геометрическая фигура площадью 1 квадратный сантиметр. К ней прибавили прямоугольник размером 2 на 3 сантиметра. Какая общая площадь двух фигур? Если вы захотите к одному квадратному сантиметру прибавить два сантиметра стороны прямоугольника, то у вас ничего не получится. Нельзя сложить две величины с разными единицами измерения. Если вы умножите стороны прямоугольника, тогда вы получите его площадь. Площадь с площадью можно сложить и получить результат — 7 квадратных сантиметров составляет общая площадь двух фигур.

По умолчанию, в математике считается, что если между числами записан знак математического действия, значит это действие можно выполнять. Отсутствие единиц измерения превращает математику в бессмысленную детскую игру в числа.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector