ТАУ. Е. П. Попов Теория линейных систем автоматического регулирования и управления

Скачать 3.13 Mb. Название Е. П. Попов Теория линейных систем автоматического регулирования и управления Анкор ТАУ.doc Дата 13.04.2017 Размер 3.13 Mb. Формат файла Имя файла ТАУ.doc Тип Документы #883 страница 1 из 9

1   2   3   4   5   6   7   8   9 Е.П. Попов Теория линейных систем автоматического регулирования и управления Введение 3 Глава 1. Основные характеристики звеньев автоматических систем 8 § 1.1 Уравнения звеньев и виды основных характеристик 8 § 1.2 Типы позиционных звеньев и их характеристики 15 § 1.3 Типы интегрирующих и дифференцирующих звеньев и их характеристики 22 § 1.4 Другие типы звеньев 27 Глава 2. Основные характеристики систем автоматического управления 29 § 2.1 Передаточные функции и характеристики разомкнутой цепи звеньев 29 § 2.2 Структурные преобразования 34 § 2.3 Передаточные функции и уравнения замкнутой системы 37 § 2.4 Частотные характеристики замкнутой системы 41 Глава 3. Точность и чувствительность систем автоматического управления 45 § 3.1 Процесс управления и требования к нему 45 § 3.2 Постоянные ошибки. Астатические ошибки 48 § 3.3 Точность при гармонических воздействиях 51 § 3.4 Установившаяся ошибка при произвольном воздействии (коэффициенты ошибок) 53 § 3.5 Чувствительность автоматических систем 56 Глава 4. Устойчивость систем автоматического управления 59 § 4.1 Понятие устойчивости линеаризованных систем 59 § 4.2 Алгебраические критерии устойчивости 63 § 4.3 Критерий устойчивости Михайлова. Построение областей устойчивости 67 § 4.4 Частотный критерий устойчивости Найквиста 72 Глава 5. Оценки качества переходного процесса 78 § 5.1 Требования качества и связь с частотными характеристиками 78 § 5.2 Частотные оценки качества 81 § 5.3 Корневые оценки качества 85 § 5.4 Интегральные оценки качества 90 Глава 6. Корректирующие устройства и методы их синтеза 92 § 6.1 Последовательные корректирующие устройства 92 § 6.2 Параллельные корректирующие устройства 96 § 6.3 Корректирующие устройства по внешнему воздействию. Инвариантность 100 § 6.4 Частотный метод синтеза корректирующих устройств 103 § 6.5 Метод корневого годографа 109 Список литературы 114 Введение Теория автоматического управления и регулирования — наука, которая изучает процессы управления, методы их исследования и основы проектирования автоматических систем, работающих по замкнутому циклу, в любой области техники. Иначе говоря, она изучает процессы управления и задачи создания любых систем с обратной связью. Термин «управление» является более общим, чем «регулирование», что видно из дальнейшего. Все системы управления делятся на разомкнутые и замкнутые. На рис. B.1 изображена функциональная схема разомкнутой системы. Источником воздействия может быть либо человек, либо автоматически действующее устрой­ство (например, фотоэлемент в системе автоматической охраны или в системе автоматического включения осве­щения). По разомкнутому принципу работают многие известные всем автоматы. Примером такой системы с человеком может служить также система управления полетом самолета летчиком, когда управляемым объектом является самолет или его двигатель. На рис. В. 2 приведена примерная функциональная схема замкнутой автоматической системы (системы управления с обратной связью). Обратная связь, замыкающая систему, передает результат измерения выходной величины на вход системы. Эта выходная величина представляет собой физический параметр, подлежащий регулированию (х — регулируемая или управляемая величина). Входные величины g(t) и f(t) являются соответственно задающим и возмущающим воздействиями. Задача системы состоит в том, чтобы возможно точнее воспроизводить на выходе х задаваемый закон изменения g(t) и возможно полнее подавлять влияние возмущающего воздействия f(t), а также других внешних и внутренних помех, если они имеются. Для этой цели выходная ве­личина х сравнивается через измеритель у = kx с входной величиной g(t). Получается рассогласование (ошибка) Рассогласование ε служит источником воздействия на систему, причем система работает на уничтожение или сведение к допустимому малому значению величины этого рассогласования (т.е. величины ошибки системы ε). В общем случае задающее воздействие g(t) может меняться произвольно. Случаю g(t)=const соответствует собственно автоматическое регулирование по поддержанию постоянного значения регулируемой величины (например, скорости вращения вала двигателя, температуры в некоторой камере, напряжения на клеммах генератора и т.п.). Это типичная система регулирования по заданной настройке регулятора. Такие системы (g = const) называют также системами стабилизации (например, стабилизация крена самолета, углового положения гироплатформы и т. п.). Если g(t) заранее задано во времени (например, g=ct), то заданный закон e(t) называется программой управления. При таком программном автоматическом управлении выходная величина х должна следовать заданному закону изменения во времени. Примером может служить программа задания угла наклона продольной оси ракеты-носителя υ (при запуске спутника), начиная от вертикального положения на старте до горизонтального положения при выходе на круговую орбиту (рис. В.З). Рассогласование (ошибка управления, рис. В.З) будет Оно служит управляющим сигналом для автоматического выдерживания задаваемого закона (t). К системам автоматического управления, работаю­щим по замкнутому циклу, относятся также следящие системы. Пример показан на рис. В.4. В этом случае угол поворота выходного вала следящей системы β(t) должен следовать произвольно задаваемому повороту входного вала α(t) с наименьшей ошибкой ε, причем а управляющее воздействие По принципу следящей системы работают системы наведения (рис. В.5) [11]. В следящей системе наведения антенны радиолокатора на летящую цель рассогласованием служит угловая ошибка φ между его лучом и направлением на цель. Исполнительным устройством является электропривод антенны. Радиолокационный сигнал рассогласования содержит помехи, которые должны в системе отфильтровываться от полезного управляющего сигнала (величины рассогласования). В свою очередь, автопилот наводимой ракеты (рис. В.5) тоже работает по принципу следящей системы, причем рассогласованием для него служит отклонение ракеты от направления луча, а исполнительным устройством является рулевая машина и руль. Другими примерами такого типа систем являются различные системы телеуправления и самонаведения. Примерами следящих систем могут являться также измерительные приборы, работающие по компенсацион­ному принципу, когда рассогласованием служит разность между показанием прибора и входной измеряемой вели­чиной (любой физической природы). В качестве еще одного примера приведем систему автоматического управления курсом самолета (рис. В.6) при помощи автопилота. На рис. В.6 обозначено: 1 — гироскоп (измеритель курсового угла ψ), 2 — усилитель, 3 — привод, 4 — руль, 5—корпус самолета (управляемый объект). Звенья 7, 2, 8 составляют автопилот. Угол поворота руля δ представляет регулирующее воздействие на объект. Рас­согласование формируется в виде электрической величи­ны (рис. В. 6, б) где — заданный курсовой угол. Настройка автопилота на заданный курс производится установкой величины . В данном примере показано, что кроме основной об­ратной связи (измерение регулируемой величины ψ) в системе могут иметься дополнительные местные обрат­ные связи, назначение которых будет изучено позднее. Важно отметить, что в замкнутых системах автома­тического управления и регулирования, как правило, не бывает «спокойного» состояния равновесия. Все время имеются какие-то внешние возмущающие воздействия, порождающие рассогласование, которое заставляет систему работать. Поэтому важнейшим элементом проекти­рования таких систем является исследование динамических процессов, описываемых обычно системой дифференциальных уравнений, отражающих поведение всех звеньев системы. Особенностью, усложняющей расчет динамики систе­мы, является то, что в замкнутой системе все физиче­ские величины, представляющие воздействие одного звена на другое, связаны в единую замкнутую цепь. По­этому приходится уравнения динамики всех звеньев си­стемы решать совместно, т. е. иметь дело с дифференциальными уравнениями высокого порядка. Это положе­ние существенно для анализа и синтеза автоматических систем, для исследования устойчивости и качества про­цессов управления. С этим связан целый арсенал мате­матических методов расчета, которые и будут изучаться в данной книге. Исторически, первыми автоматическими регулятора­ми с замкнутым циклом были: регулятор уровня в кот­ле паровой машины И. И. Ползунова (1765 г.) и регу­лятор скорости вала паровой машины Дж. Уатта (1784 г.). Первые исследования динамики замкнутых автоматических систем, устойчивости и качества процес­сов регулирования принадлежат И. А. Вышнеградскому (1876 г.). Выше приводились примеры и схемы автоматических систем с одной задаваемой g(t) и одной регулируемой х величинами. В общем же случае система может иметь много входов и выходов (рис. В. 7). Это многомерные (или многосвязные) системы. Передача воздействий в системе представляет пере­дачу потоков информации о состоянии отдельных эле­ментов системы. Кроме чисто технических автоматических систем аналогичные принципы действия заложены и в биологи­ческих системах, экономических системах и т.п., что изучается соответствующими направлениями кибернети­ки и общей теории систем управления, а также специ­альными дисциплинами. Кроме полностью автоматических систем имеются ав­томатизированные системы управления или полуавтомат­ические, в которых кроме технических средств, в состав системы управления входят люди. Таковы, например, многие автоматизированные системы управления произ­водственными процессами. В простейших случаях в сис­тему управления включается один человек-оператор, на­пример, при полуавтоматическом управлении летатель­ным аппаратом или какой-либо наземной установкой. Таковы и системы дистанционного управления манипу­ляторами в агрессивных средах. Все системы автоматического управления и регули­рования делятся по различным признакам на следую­щие основные классы. 1. По основным видам уравнений динамики процес­сов управления: а) линейные системы; б) нелинейные системы. 2. Каждый из этих основных классов делится на: а) системы с постоянными параметрами (уравнения с постоянными коэффициентами); б) системы с переменными параметрами (уравнения с переменными коэффициентами); в) системы с распределенными параметрами (урав­нения в частных производных); г) системы с запаздыванием (уравнения с запазды­вающим аргументом). 3. По характеру передачи сигналов различают: а) непрерывные системы; б) дискретные системы (импульсные и цифровые); в) релейные системы. 4. По характеру процессов управления: а) детерминированные системы (определенные пара­метры и процессы); б) стохастические системы (случайные параметры и процессы). 5. По характеру функционирования: а) обычные системы; б) адаптивные системы (самонастраивающиеся, са­моорганизующиеся, экстремальные); в) терминальные системы. Последние отличаются тем, что в них ставится зада­ча достижения определенного состояния системы в ко­нечный момент времени. До этого весь процесс управле­ния может идти достаточно произвольно с оптимизацией по каким-либо другим показателям, например по расхо­ду энергии. Приведенные выше примеры относятся к обычным системам. Адаптивные системы имеют, как правило, до­полнительные блоки и контуры для анализа показате­лей качества процесса или внешних условий, по кото­рым необходима адаптация системы. Каждый из этих основных классов систем в свою очередь делится по ряду принципиальных признаков на различные типы и разновидности, не говоря уже о боль­шом разнообразии конструктивного оформления и раз­личной физической природе реальных систем. Задачами линейной теории автоматического управле­ния и регулирования являются: 1) изучение динамических свойств и характеристик различных типов звеньев автоматических систем любой физической природы и конструкции; 2) формирование функциональных и структурных схем автоматического управления и регулирования; 3) построение динамических характеристик этих систем; 4) определение ошибок и показателей точности замк­нутых систем; 5) исследование устойчивости замкнутых систем; 6) оценка качественных показателей процессов уп­равления; 7) определение чувствительности систем к измене­нию параметров и других факторов; 8) изучение различных видов корректирующих уст­ройств, вводимых в системы для повышения точности и улучшения динамических качеств; 9) создание частотных, корневых и других методов синтеза корректирующих устройств и различных мето­дов оптимизации систем по показателям качества; 10) разработка методов анализа и синтеза сложных многомерных и комбинированных систем автоматиче­ского управления. Все это является базой для грамотного построения замкнутых автоматических систем и для инженерных расчетов при анализе существующих и проектировании новых систем автоматического управления. Эти методы широко применяются не только для систем регулирова­ния и управления как таковых, но и во всех случаях анализа и разработки замкнутых динамических конту­ров в любых технических системах, в биотехнических и в экономических системах. Глава 1. Основные характеристики звеньев автоматических систем § 1.1. Уравнения звеньев и виды основных характеристик Чтобы составить уравнения динамики системы автома­тического управления или регулирования, система разби­вается на звенья (см. рис. В.4 и В.6). Затем рассматрива­ется каждое звено системы в отдельности (рис. 1.1). Входная и выходная величины соответствуют физическим величинам, выражающим воздействие предыдуще­го звена на данное звено () и воздействие данного звена на последующее (). Например, в электродвигателе следящей системы (см. рис. В.4) роль величины будет играть на­пряжение в цепи возбуждения, — угловая скорость вала. Для самолета (см. рис. В.6) — угол поворота руля, — отклонение оси самолета по курсу. Звено системы может являться техническим устрой­ством любой физической природы, конструкции и назна­чения. Поэтому составление уравнения динамики каж­дого конкретного звена системы является предметом рас­смотрения соответствующей конкретной области техни­ческих наук (электротехники, теплотехники, динамики полета и т. п.), к которой и следует каждый раз обра­щаться. Допустим, что в результате составления уравнения динамики какого-нибудь конкретного звена получилось линейное дифференциальное уравнение второго порядка В теории автоматического регулирования принято приводить уравнение звена к стандартному виду в символической записи где р обозначает операцию дифференцирования (). Здесь введены постоянные времени, которые в данном случае будут и коэффициент усиления (передаточное число) звена Очевидны следующие размерности этих постоянных: В установившемся состоянии, когда = const и = const. получаем из (1.2) уравнение и соответствующую ему линейную статическую характе­ристику звена (рис. 1.2), причем коэффициент усиления определяет крутизну наклона этой характеристики (=tg α с учетом размерностей и ). Условимся в дальнейшем на статических характеристиках писать крутизну (коэффициент усиления), как показано на рис. 1.2, б, вместо обозначения угла. Линеаризация уравнения звена. В общем случае при составлении уравнения динамики звена системы оно ока­зывается нелинейным Обычно при исследовании процесса регулирования уравнение звена можно линеаризовать (для тех случаев, когда этого сделать нельзя, используются методы теории нелинейных систем). Линеаризация уравнения динамики звена (1.3) основана на том, что в процессе регулиро­вания все величины мало отклоняются от их программ­ных значений — иначе система не выполнила бы своей задачи и не была бы системой регулирования или уп­равления. Допустим, что установившиеся (программные) зна­чения переменных и являются постоянными ,. Тогда можно записать где символом А обозначены отклонения в процессе регу­лирования. Из (1.3) можно записать уравнение звена в устано­вившемся состоянии Разложив левую часть уравнения (1.3) в ряд Тей­лора, получим где нуликом сверху обозначена подстановка ,0,,0,0). Вычитая из данного выражения уравнение (1.4) и отбросив все последующие члены разложения как малые высшего порядка, придем к линейному уравнению дина­мики звена в виде (1.1), если опустить значки Δ и по­нимать под х1 и x2 отклонения, причем После этого можно перейти к стандартной записи (1.2). Такому способу линеаризации поддаются те нелиней­ные уравнения, для которых возможно разложение в ряд Тейлора. Линеаризацию уравнений можно производить и гра­фически, если имеется, например, зависимость F(x1) при постоянном x2 = и 1 = 2 = 2 = 0 (рис. 1.3). Прове­дя касательную к заданной кривой F(x1) в точке x10 найдем тангенс угла наклона касательной β, что с учетом масштабов даст значение коэффициента . Аналогично, если задана нелинейная статическая ха­рактеристика звена x2=f(x1), ее можно линеаризовать путем проведения касательной (рис. 1.4), сведя, таким образом к линейной (рис.1.2). Передаточная функция звена. Ее определение дается на базе преобразования Лапласа. Запишем преобразова­ния Лапласа для выходной и входной величин звена: Пусть даны начальные условия Тогда Применив это преобразование к дифференциальному уравнению звена получим где через B(s) обозначен многочлен, включающий в себя все члены с величинами начальных условий. Передаточной функцией звена W(s) называется отно­шение изображений Лапласа выходной и входной вели­чин, т. е. при нулевых начальных условиях. В данном случае со­гласно (1.5) имеем Сравнивая полученное выражение (1.7) с дифферен­циальным уравнением звена (1.2), видим, что формально передаточную функцию звена можно составлять как от­ношение операторных многочленов правой и левой частей уравнения звена. И наоборот, зная передаточную функ­цию (1.7) звена, легко написать его дифференциальное уравнение, имея в виду, что числитель передаточной функции соответствует правой части уравнения (1.2), а знаменатель передаточной функции (1.7) — левой части уравнения (1.2). В общем случае передаточная функция звена имеет вид где N(s) и L(s)—многочлены с коэффициентами 1 в младших членах, причем степень N(s), как правило, ниже степени L(s). Дифференциальное уравнение звена. В общем случае в соответствии с (1.8) уравнение звена можно представить в форме Характеристическое уравнение звена имеет вид так что корни λi характеристического уравнения звена являются полюсами его передаточной функции. Весовая функция звена. Весовой функцией звена k(t) называется оригинал (т. е. обратное преобразование Лапласа) передаточной функции, а именно: где si—все полюса передаточной функции W(s). Иногда вместо k(t) применяют обозначение w(t). В этой фор­муле Res обозначает вычеты (см. теорию функций комплекс­ного переменного). Поскольку при нулевых на­чальных условиях согласно (1.6) то в случае, если Х1 = 1, т. е. если х1 (t) = δ (t) — дельта-функ­ция, будет иметь место ра­венство Известно, что δ-функция представляет собой единичный мгновенный импульс (рис. 1.5), для которого t1 → 0, c1 → ∞, причем площадь t1 c1 = 1. Следовательно, физический смысл весовой функции звена есть реакция звена на единичный мгновенный импульс, поданный на вход звена. Иначе говоря, весовая функция k(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена (рис. 1.5) при подаче на его вход единичного импульса. Поэтому весовую функцию часто называют импульсной переход­ной функцией. Зная весовую функцию звена k (t), можно определить его передаточную функцию: Переходная функция звена. Переходной функцией h(t) называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие (рис. 1.6), т. е. переходный процесс на вы­ходе х2 при единичном скач­ке 1(t) на входе звена х1. Следовательно, здесь имеем откуда Поскольку известно, что (имея в виду обобщенные функции) то можно написать следующее соотношение между весо­вой и переходной функциями звена: Частотные характеристики звена. Частотными харак­теристиками называются формулы и графики, характе­ризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме, т. е. вынужден­ные синусоидальные колебания звена. Если на вход звена подается (рис. 1.7) то на выходе будет (в установившемся режиме) где А—амплитуда (точнее, усиление амплитуды), а φ— фаза (точнее, сдвиг по фазе). Применяется символическая запись синусоидальных колебаний в виде Строго говоря, еjwt = cos ω + j sin ωt, что геометрически изображается вращающимся единичным вектором (рис. 1.8). Проекции последнего на прямоугольные оси дают cos ωt и sin ωt. Поэтому для суждения о вынуж­денных синусоидальных колебаниях звена достаточно формально исследовать реакцию звена на символический сигнал еjwt. Пусть, например, уравнение звена имеет вид Используем символическую запись: Подставив эти величины в уравнение звена, получим откуда Сравнивая это выражение с передаточной функцией данного звена (1.7), видим, что Отсюда находим В общем виде согласно (1.8) имеем Выражение (1.10) представляет амплитудно-фазовую частотную характеристику звена. Иногда W(jw) называ­ют частотной передаточной функцией звена. Выражения же (1.11) называются соответственно амплитудной ча­стотной характеристикой звена и фазовой частотной ха­рактеристикой звена. Графически амплитудно-фазовая частотная характе­ристика (1.10) изображается на комплексной плоскости (рис. 1.9) в полярных координатах (A, φ), как годограф функции W(jw). Можно строить амплитудно-фазовую частотную характеристику и в прямоугольных координа­тах (U, V) (рис. 1.9), выделив в выражении W(jw) веществен­ную и мнимую части: При этом U (ω) называют ве­щественной частотной характери­стикой, a v(ω)—мнимой. Заметим, что угол φ показан на рис. 1.9 как отрицательный (отло­жен по часовой стрелке), посколь­ку чаще всего реакция на выходе звена имеет отставание по фазе по сравнению с входной величиной. При этом частоту со изменяют от 0 до ∞ (сплошная кривая на рис. 1.9) или же от —∞ до +∞, когда добав­ляется еще симметричная к ней пунктирная кривая. Симметрия кривых при ω < 0 и ω > 0 объясняется тем, что передаточная функция W(s) согласно (1.8) есть от­ношение многочленов (дробно-рациональная функция). Поэтому где чертой сверху обозначено комплексно-сопряженное выражение. Графики амплитудной и фазовой частотных характе­ристик (1.11) тоже изображаются графически (рис. 1.10), причем амплитуда являет­ся четной функцией, т. е. А(-ω)==A(ω), а фаза — нечетной функцией, т. е. φ(-ω)= -φ(ω). Логарифмические частот­ные характеристики. В прак­тических применениях чаще всего амплитудную и фазо­вую частотные характеристи­ки изображают в логарифми­ческом масштабе. Впослед­ствии увидим, что такие логарифмические частотные ха­рактеристики очень удобны для инженерных расчетов. При построении логарифмической амплитудной час­тотной характеристики (ЛАХ) по оси ординат откладыва­ют величину единицей измерения для которой является децибел. По оси абсцисс откладывается частота в логарифми­ческом масштабе (рис. 1.11). Равномерной единицей на оси абсцисс является декада — любой отрезок, на кото­ром значение частоты ω увеличивается в десять раз. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс называется час­тотой среза . Начало координат обычно помещают в точке ω = 1, так как lg 1 = 0. Точка же ω = 0 лежит в — ∞. Однако в зависимости от интересующего вас диапазона частот можно начало координат брать в другой точке (ω ==0,1; ω == 10 или др.). Важно иметь в виду, что ось абсцисс (Lm==0) согласно (1.12) соответствует значению А = 1, т. е. прохождению амплитуды сигнала через звено в на­туральную величину. Верхняя полуплоскость ЛАХ соот­ветствует значениям А > 1 (усиление амплитуды), а ниж­няя полуплоскость — значениям А < 1 (ослабление амплитуды). При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФХ) отсчет углов φ идет по оси орди­нат в обычном масштабе в угловых градусах (рис. 1.11). По оси абсцисс откладывается по-прежнему частота ω в логарифмическом масштабе. Между частотными характеристиками и весовой функ­цией существуют соотношения, определяемые из (1.9) подстановкой s = jω, а именно: Эти формулы представляют собой известные преобразо­вания Фурье. Как видим, все рассмотренные виды динамических характеристик звеньев (передаточная функция, диффе­ренциальное уравнение, весовая функция, переходная функция, амплитудно-фазовая частотная характеристика) связаны между собой определенными зависимостями. Поэтому все они эквивалентны друг другу в определении динамических свойств звена системы управления.   1   2   3   4   5   6   7   8   9