Главная страница
Навигация по странице:

Коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции. Корреляционная зависимость между случайными величинами x и y



Скачать 39.81 Kb.
Название Коэффициент корреляции. Корреляционная зависимость между случайными величинами x и y
Анкор Коэффициент корреляции.docx
Дата 30.04.2017
Размер 39.81 Kb.
Формат файла docx
Имя файла Коэффициент корреляции.docx
Тип Реферат
#5083

Нижегородский Государственный Педагогический Университет им. Козьмы Минина



Реферат на тему:Коэффициент корреляции. Корреляционная зависимость между случайными величинами x и y

Выполнил: студент 1курса 412 группы Запалацкий Александр

Коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции показывает степень статистической зависимости между двумя числовыми переменными. Он вычисляется следующим образом:

коэффициент корреляции, сorrelation coefficient,

где n – количество наблюдений, x – входная переменная, y – выходная переменная. Значения коэффициента корреляции всегда расположены в диапазоне от -1 до 1 и интерпретируются следующим образом:

  • если коэффициент корреляции близок к 1, то между переменными наблюдается положительная корреляция. Иными словами, отмечается высокая степень связи входной и выходной переменных. В данном случае, если значения входной переменной x будут возрастать, то и выходная переменная также будет увеличиваться;

  • если коэффициент корреляции близок к -1, это означает, что между переменными наблюдается отрицательная корреляция. Иными словами, поведение выходной переменной будет противоположным поведению входной. Если значение x будет возрастать, то y будет уменьшаться, и наоборот;

  • промежуточные значения, близкие к 0, будут указывать на слабую корреляцию между переменными и, соответственно, низкую зависимость. Иными словами, поведение входной переменной x не будет совсем (или почти совсем) влиять на поведение y.

Коэффициент корреляции равен квадратному корню коэффициента детерминации, поэтому может применяться для оценки значимости регрессионных моделей. Очевидно, что если корреляция между переменными высокая, то, зная поведение входной переменной, проще предсказать поведение выходной, и полученное предсказание будет точнее (говорят, что входная переменная хорошо «объясняет» выходную). Однако, чем выше корреляция наблюдается между переменными, тем очевиднее связь между ними, например, взаимозависимость между ростом и весом людей, однако данное соотношение настолько очевидно, что не представляет интереса.

 Корреляционная зависимость между случайными величинами x и y

Пусть у нас имеются n серии значений двух параметров X и Y: (x1;y1),(x2;y2),...,(xn;yn). Подразумевается, что у одного и того же объекта измерены два параметра. Нам надо выяснить есть ли значимая связь между этими параметрами.

Как известно, случайные величины X и Y могут быть либо зависимыми, либо независимыми. Существуют следующие формы зависимости – функциональная и статистическая. В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y=f(x), где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.

Однако, если X и Y случайные величины, то между ними может существовать зависимость иного рода, называемая статистической. Дело в том, что на формирование значений случайных величин X и Y оказывают влияние различные факторы. Под воздействием этих факторов и формируются конкретные значения X и Y. Допустим, что на Х и У влияют одни те же факторы, например Z1, Z2, Z3, тогда X и Y находятся в полном соответствии друг с другом и связаны функционально. Предположим теперь, что на X воздействуют факторы Z1, Z2, Z3, а на только Y и Z1, Z2. Обе величины и X и Y являются случайными, но так как имеются общие факторы Z1 и Z2, оказывающие влияние и на X и на Y, то значения X и Y обязательно будут взаимосвязаны. И связь это уже не будет функциональной: фактор Z3, влияющий лишь на одну из случайных величин, разрушает прямую (функциональную) зависимость между значениями X и Y, принимаемыми в одном и том же испытании. Связь носит вероятностный случайный характер, в численном выражении меняясь, от испытания к испытанию, но эта связь определенно присутствует и называется статистической. При этом каждому значению X может соответствовать не одно значение Y, как при функциональной зависимости, а целое множество значений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Зависимость случайных величин называют статистической, если изменения одной из них приводит к изменению закона распределения другой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные коррреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Примерами коррреляционной зависимости являются: зависимость массы от роста: 
- каждому значению роста (X) соответствует множество значений массы (Y), причем, несмотря на общую тенденцию, справедливую для средних, большему значению роста соответствует и большее значение массы – в отдельных наблюдениях субъект с большим ростом может иметь и меньшую массу. 
- зависимость заболеваемости от воздействия внешних факторов, например, запыленности, уровня радиации, солнечной активности и т.д. 
- количество (X) вводимого объекту препарата и его концентрация в крови (Y). 
- между показателями уровня жизни населения и процентом смертности; 
- между количеством пропущенных студентами лекций и оценкой на экзамене. 
Именно корреляционные зависимости наиболее часто встречаются в природе в силу взаимовлияния и тесного переплетения огромного множества самых различных факторов, определяющих значения изучаемых показателей.

Корреляционную зависимость Y от X можно описать с помощью уравнения вида:

yx=f(x) (1)

где yx - условное среднее величины Y, соответствующее значению x величины X, а f(x) некоторая функция. Уравнение (1) называется выборочным уравнением регрессии Y на X. Функцию f(x) называют выборочной регрессией Y на X, а ее график – выборочной линией регрессии Y на X.

Совершенно аналогично выборочным уравнением регрессии X на Y является уравнение: xy=φ(y)

В зависимости от вида уравнения регрессии и формы соответствующей линии регрессии определяют форму корреляционнной зависимости между рассматриваемыми величинами – линейной, квадратической, показательной, экспоненциальной.

Важнейшим является вопрос выбора вида функции регрессии f(x) [или φ(y)], например линейная или нелинейная (показательная, логарифимическая и т.д.)

На практике вид функции регрессии можно определить, построив на координатной плоскости множество точек, соответствующих всем имеющимся парам наблюдений (x;y).

http://www.testent.ru/matematika/vishmat/lekcia15/1.png
Рис. 1. Линейная регрессия значима. Модель Y=a+bX.

http://www.testent.ru/matematika/vishmat/lekcia15/2.png
Рис. 2. Линейная регрессия незначима. Модель Y=http://www.testent.ru/matematika/vishmat/lekcia15/4.png

http://www.testent.ru/matematika/vishmat/lekcia15/3.png
Рис. 3. Линейная регрессия значима. Нелинейная модель (y=ax2+bx+c)

Например, на рис.1. видна тенденция роста значений Y с ростом X, при этом средние значения Y располагается визуально на прямой. Имеет смысл использовать линейную модель (вид зависимости Y от X принято называть моделью) зависимости Y от X. На рис.2. средние значения Y не зависят от x, следовательно линейная регрессия незначима (функция регрессии постоянна и равна http://www.testent.ru/matematika/vishmat/lekcia15/4.png). На рис. 3. прослеживается тенденция нелинейности модели.
написать администратору сайта