Главная страница
Навигация по странице:

  • Теоретичні відомості

  • Порядок виконання роботи

  • Контрольні питання

  • Знаходження характеристик затухаючих коливань для фізичного маятника

  • Лабораторна робота 40 Визначення прискорення вільного падіння методом математичного маятника Обладнання



    НазваниеЛабораторна робота 40 Визначення прискорення вільного падіння методом математичного маятника Обладнання
    АнкорLR40_41.doc
    Дата21.12.2017
    Размер392 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаLR40_41.doc
    ТипЛабораторна робота
    #13407

    Лабораторна робота № 40
    Визначення прискорення вільного падіння методом математичного маятника
    Обладнання: математичний маятник, прилад для вимірювання часу.
    Мета роботи: ознайомитись з одним із методів знаходження прискорення вільного падіння, перевірити його значення за допомогою даного методу.
    Теоретичні відомості:
    Математичний маятник це матеріальна точка, підвішена на нерозтяжній та невагомій нитці, яка, під дією сили тяжіння, виконує коливальний рух у вертикальній площині.

    Відхилення маятника від положення рівноваги будемо характеризувати кутом , який утворює нитка із вертикаллю (див. рис. 1).


    Рис. 1.
    При відхиленні матеріальної точки масою від положення рівноваги виникає момент сили тяжіння , який намагається повернути його в стан рівноваги. Проекція моменту сили тяжіння на вісь обертання, яка перпендикулярна площині рисунку і проходить через точку О, дорівнює:

    , тобто: . (1)

    Якщо знехтувати силами опору, то згідно закону динаміки обертального руху, проекція моменту сил тяжіння повинна дорівнювати:
    . (2)
    Прирівнявши проекції моменту сил тяжіння із виразів (1) і (2) отримаємо:
    . (3)
    Якщо позначити через , то рівняння (3) набуває вигляду:
    . (4)
    Рівняння (4) це диференціальне рівняння власних коливань математичного маятника, розв’язком його є функція :
    ; (5)
    де: - максимальний кут відхилення нитки (амплітуда коливань);

    - циклічна частота власних коливань маятника;

    - початкова фаза коливань;

    - кут відхилення нитки від вертикалі в момент часу .
    Період власних коливань математичного маятника, за визначенням буде дорівнювати:

    , тобто: . (6)
    Із виразу (6) знаходимо, що прискорення вільного падіння дорівнює:

    . (7)

    На досліді, в даній лабораторній роботі, ми будемо вимірювати час , за який математичний маятник здійснює рівно - повних коливань. Тоді період власних коливань буде дорівнювати:

    . (8)

    Підставляючи (8) у вираз (7) одержимо формулу для визначення прискорення вільного падіння:

    . (9)

    Надамо формулі (9) такого вигляду:

    . (10)

    Покладаючи можна скористатись методом найменших квадратів для визначення прискорення вільного падіння.
    Порядок виконання роботи


    1. Встановити початкову довжину маятника , яка дорівнює сумі довжини нитки між точкою підвісу і поверхнею кульки радіусу кульки. Виміряти час , за який маятник здійснить рівно - повних коливань.

    2. Послідовно збільшуючи довжину маятника на 10 см виміряти, відповідний кожній довжині маятника час - повних коливань. Результати вимірювань, в системі одиниць виміру СІ, занести в таблицю:






    , м

    , с

    , м

    ,

    Примітка

    1













    ;
    ;
    ;

    2













    3













    4













    5
















    1. За методом найменших квадратів, приймаючи:

    ;

    обчислити середнє значення та інтервал сподівання для прискорення

    вільного падіння.
    Контрольні питання


    1. Що називають математичним маятником ?

    2. Які коливання називають власними або гармонічними ?

    3. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок.

    4. Визначення амплітуди, періоду та частоти коливань.

    5. Визначення циклічної частоти та фази коливань.

    6. Залежність від часу швидкості та прискорення руху при гармонічних коливаннях.

    7. Кінетична та потенціальна енергія гармонічних коливань.


    Лабораторна робота № 41
    Знаходження характеристик затухаючих коливань для фізичного маятника
    Обладнання: фізичний маятник, прилад для вимірювання часу.
    Мета роботи: ознайомитись з методикою визначення характеристик затухаючих коливань на прикладі фізичного маятника.
    Теоретичні відомості
    Фізичним маятником називають тверде тіло, довільної форми (див. рис. 1), підвішене в точці О, що знаходиться на відстані від центру мас тіла С, яке, під дією сили тяжіння виконує коливання у вертикальній площині.


    Рис. 1.
    При відхиленні тіла масою від положення рівноваги на кут від вертикалі виникає момент сили тяжіння , який намагається повернути його в стан рівноваги. Згідно визначенню проекція моменту сили тяжіння на вісь обертання, яка перпендикулярна до площини рисунку і проходить через точку О, дорівнює:
    , тобто, . (1)
    Разом з моментом сили тяжіння на тіло буде діяти момент сили опору, модуль якого прямо пропорційний до кутової швидкості обертання. Проекція моменту сили опору на вісь обертання дорівнює:
    , (2)

    де: - коефіцієнт опору ; - проекція кутової швидкості.

    Основний закон динаміки обертального руху для тіла буде мати вигляд:

    , (3)

    де: - момент інерції тіла; - проекція кутового прискорення.

    Підставляючи вирази (1) і (2) в закон динаміки (3) отримаємо:
    . (4)
    Запровадимо такі позначення:

    ; (5)

    величину називають коефіцієнтом затухання;

    ; (6)

    величина це циклічна частота власних коливань фізичного маятника;

    тоді рівність (4) буде мати вигляд:
    . (7)
    Рівняння (7) називають диференціальним рівнянням затухаючих коливань. Його розв’язком буде функція:
    ;
    де: - циклічна частота затухаючих коливань, яка дорівнює:

    ;

    - амплітуда затухаючих коливань в момент часу , яка дорівнює:

    ; (8)

    - початкова амплітуда коливань; - початкова фаза коливань;

    - початкова амплітуда коливань;

    - залежність від часу кута відхилення тіла.
    Позначимо через відрізок часу, за який амплітуда коливань зменшиться в раз ( - основа натурального логарифму), тоді із залежності амплітуди коливань від часу (8) випливає його зв’язок із коефіцієнтом затухання:
    , (9)
    або : . (10)
    Відрізок часу в літературі зветься часом релаксації. Крім часу релаксації основними характеристиками затухаючих коливань є логарифмічний декремент затухання та добротність коливальної системи .
    Логарифмічний декремент затухання це логарифм натуральний від відношення амплітуд коливань - амплітуди в момент часу та - амплітуди коливань в момент часу , де - період затухаючих коливань, що дорівнює:
    ;
    Логарифмічний декремент затухання, згідно визначенню, дорівнює:
    ;
    Використовуючи формулу (8) можна знайти зв’язок між логарифмічним коефіцієнтом затухання і періодом коливань:
    , тобто: . (11)
    Позначимо через - кількість повних коливань фізичного маятника за час релаксації, згідно визначенню вона дорівнює:
    . (12)
    Підставивши рівність (9) у (12) отримаємо ще один вираз для логарифмічного декременту затухання:
    , тобто: . (13)
    Добротність коливальної системи - безрозмірна фізична величина, яка характеризує відносне зменшення енергії коливань за один період. Згідно визначенню вона дорівнює:
    , (14)
    де: - повна енергія коливань в момент часу . Повна енергія коливань прямо пропорційна квадрату амплітуди коливань, тобто:
    , (15)
    де: - коефіцієнт пропорційності.
    Енергія коливань в момент: буде дорівнювати:
    , (16)
    Підставляючи вирази (15) і (16) у визначення (14) отримаємо:
    . (17)
    Оскільки , то із виразу (17) випливає, що: . (18)
    Якщо , то: . (19)
    Підставивши наближену рівність (19) у вираз (18) одержимо:
    , тобто: . (20)
    Тілом фізичного маятника, в даній лабораторній роботі, буде диск, радіуса та масою , який підвішений в точці, що знаходиться на віддалі від його центру. Момент інерції диску відносно осі, що перпендикулярна до його площини і проходить через точку кріплення, дорівнює:
    . (21)
    Використовуючи знайдене значення моменту інерції тіла можна обчислити власну циклічну частоту коливань фізичного маятника, згідно виразу (6) :
    . (22)
    В даній лабораторній роботі шляхом прямого вимірювання знаходиться час релаксації і відповідна йому кількість коливань . Тоді період затухаючих коливань буде дорівнювати їх відношенню:

    .

    Циклічну частоту затухаючих коливань можна знайти за її визначенням, як:

    ; тобто: . (23)

    Порядок виконання роботи


    1. За допомогою лічильника часу п’ять раз виміряти час релаксації для фізичного маятника і, одночасно, відповідну йому кількість повних коливань . Результати вимірювань, в системі одиниць виміру СІ, занести в таблицю 1:


    Таблиця 1




    , с



    Примітка

    1







    ;

    ;

    ;

    ;

    ;

    ;

    ;

    ;

    2







    3







    4







    5

























    1. Використовуючи методику оцінки точності прямих вимірювань обчислити середні значення, інтервали сподівання та відносні похибки для часу релаксації та кількості коливань.

    2. Обчислити відносні похибки вимірів для радіусу і відстані відповідно.

    3. Обчислити середні значення та інтервали сподівання характеристик затухаючих коливань:

      • середнє значення коефіцієнту затухання , за формулою (10); відповідне йому значення інтервалу сподівання за формулою:

    ;

      • середнє значення логарифмічного декременту затухання , за формулою (13); відповідне йому значення інтервалу сподівання за формулою:

    ;

      • середнє значення добротності коливальної системи , згідно формулі (20); відповідне йому значення інтервалу сподівання за формулою:

    ;

      • середнє значення циклічної частоти затухаючих коливань , згідно формулі (23); відповідне йому значення інтервалу сподівання за формулою:

    ;

    Результати обчислень, в системі одиниць виміру СІ, занести в таблицю 2:
    Таблиця 2
































































    1. Використовуючи формулу (21) обчислити середнє значення моменту інерції диску і відповідне йому значення інтервалу сподівання та відносну похибку вимірювань за формулами:


    .


    1. Використовуючи формулу (22) обчислити середнє значення циклічної частоти вільних коливань фізичного маятника і відповідне йому значення інтервалу сподівання за формулою:


    .
    Контрольні питання


    1. Що називають фізичним маятником ?

    2. Як залежить амплітуда затухаючих коливань від часу ?

    3. Диференціальне рівняння затухаючих коливань.

    4. Циклічна частота і період затухаючих коливань.

    5. Логарифмічний декремент затухання.

    6. Добротність коливальної системи.
    написать администратору сайта