- Определитель первого порядка.
- Определитель второго порядка.
- Определитель третьего порядка.
- Определитель n-го порядка.
- Алгебраическим дополнением элемента
- Метод Гаусса .В численных методах при вычислении определителей применяют метод Гаусса
- Метод рекуррентных соотношений .Если матрица, определитель которой мы вычисляем, имеет достаточную симметрию, можно использовать метод рекуррентных соотношений
- ЗАДАЧИ 1. Задачи удовлетворительного уровня сложности.
- 2. Задачи повышенного уровня сложности.
СЕМИНАР 6. Семинар 6 Вычисление определителей матриц, свойства определителей
 Скачать 309.5 Kb.
|
|
СЕМИНАР 6 Вычисление определителей матриц, свойства определителей. Вводная информация Определитель матрицы. Понятие определителя матрицы, который обозначается через  или  , имеет смысл только для квадратных матриц. Введем это понятие последовательно, увеличивая размерность матриц.
Пример.  .
Пример.  
Определение. Минором элемента   -матрицы  называется определитель  -го порядка, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы после вычеркивания в ней  -ой строки и  -го столбца. Минор элемента будем обозначать  .Пример. Пусть  , тогда  .Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется произведение  на минор и обозначается  , т.е.  .Пример. Пусть , тогда  .Определение. Определителем  -го порядка (или определителем матрицы ) называется число , равное  . Формула  называется разложением определителя по -ой строке.Пример. Разложим определитель  по второй строке и вычислим его.  .Формула разложения определителя матрицы по -ому столбцу имеет вид  .Пример. Разложим определитель по третьему столбцу и вычислим его.  .Свойства определителей. Перечислим основные свойства определителей.
Пример.    .8. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. 9. Если элементы двух строк (столбцов) определителя с учетом их порядка пропорциональны друг другу, то определитель равен нулю. 10. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число  , то величина определителя не изменится.11. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Вычисление определителя методом разложения его по строке (столбцу) особенно эффективно, когда в этой строке (столбце) имеются нулевые элементы. Поэтому при вычислении определителей большой размерности целесообразно предварительно, используя перечисленные свойства определителей, сформировать такие строки (столбцы). Пример.  /прибавим третий столбец ко второму столбцу/  /вычтем четвертую строку из третьей строки/  /разложим определитель по второму столбцу/  /вычтем вторую строку из первой строки/  /прибавим третий столбец ко второму столбцу/  /разложим определитель по первой строке/  / умножим первую строку на 2 и вычтем ее из второй строки/  /разложим определитель по первому столбцу/  .Метод Гаусса. В численных методах при вычислении определителей применяют метод Гаусса, основанный на приведении определителя с помощью указанных выше преобразований к треугольному виду. Пример. Вычислим методом Гаусса тот же определитель, что и в предыдущем примере. / вычитая первую строку из второй, третьей и четвертой, делаем нулевыми элементы в них, стоящие в первом столбце (перед вычитанием из третьей строки умножим первую строку на 3)/  /поменяем местами третью и четвертую строку/  /умножим вторую строчку на  и вычтем ее из четвертой строки/  / вычтем третью строку из четвертой/  /используя свойства треугольной матрицы, вычисляем определитель/  .Метод рекуррентных соотношений. Если матрица, определитель которой мы вычисляем, имеет достаточную симметрию, можно использовать метод рекуррентных соотношений. Пример. Вычислим методом рекуррентных соотношений определитель -го порядка . Разложим его по последнему столбцу.    /разложим теперь определитель во втором слагаемом по последней строке/  . Замечаем, что мы теперь имеем три определителя одинаковой структуры, но разной размерности. Если мы обозначим первоначальный определитель -го порядка через  , то можно написать рекуррентное соотношение  . Чтобы воспользоваться этим соотношением, вычислим несколько первых определителей:  .Далее, используя рекуррентное соотношение, находим:    . Заметим, что      . Следовательно, можно записать  и т. д. Вычисление первых определителей дает общую формулу  . Чтобы завершить доказательство, проверим справедливость этой формулы методом математической индукции. Предполагая, что эта формула верна для определителя -го порядка, мы должны показать, что определитель  -го порядка равен  . Находим, используя рекуррентное соотношение,  . Полученное выражение доказывает справедливость формулы .ЗАДАЧИ 1. Задачи удовлетворительного уровня сложности. Вычислить определитель второго порядка. 6.1.  . 6.2.  . 6.3.  . 6.4.  . 6.5.  . 6.6.  . 6.7.  . 6.8.  . 6.9.  .6.10.  .Решить уравнения. 6.11.  . 6.12.  . 6.13.  .6.14.  . 6.15.  . 6.16.  .Вычислить определители. 6.17.  . 6.18.  . 6.19.  . 6.20.  .6.21.  . 6.22.  . 6.23.  . 6.24.  . 6.25.  . 6.26.  .Вычислить определители разложением по какой-нибудь строке или столбцу. 6.27.  . 6.28.  . 6.29.  . 6.30.  .6.31.  .Решить уравнения и неравенство. 6.32.  . 6.33.  . 6.34.  .Вычислить определители. 6.35.  . 6.36.  . 6.37.  .6.38.  . 6.39.  . 6.40.  .2. Задачи повышенного уровня сложности. Вычислить определители. 6.41.  . 6.42.  .6.43.  . 6.44.  .Вычислить определители методом рекуррентных соотношений. 6.45.  . 6.46.  .6.47.  .6.48. Не вычисляя определителей, показать, что они делятся на  :а)  ; б)  .Вычислить, используя свойства определителей. 6.49.  . 6.50.  .
|
. Тогда 
.
, тогда 
.
, тогда 
.
слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 
.
.