Формула Даламбера. Докажем, что любая функция является решением волнового уравнения
 Скачать 151.5 Kb.
|
|
Докажем, что любая функция  является решением волнового уравнения. (4.14)Сделаем замену переменных  и  Преобразуя производные к новым переменным, находим: Уравнение (4.14) в новых переменных запишется в виде следующего дифференциального уравнения для функции   (4.15)Перепишем уравнение (4.15) в виде  тогда   – произвольная функция η. Интегрируя полученное уравнение по η, рассматривая ξ как параметр, найдём, что  – произвольная функция ξ. Полагая получим, что общим решением волнового уравнения (4.14) является функция   (4.16)где f1, f2 – произвольные функции. Решение представляет собой суперпозицию двух возмущений, распространяющихся соответственно вправо и влево со скоростью v. ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА Рассмотрим задачу с начальными условиями для неограниченной струны – задачу Коши для волнового уравнения:  (1) (2)Общее решение волнового уравнения  (5)Определим в общем решении (5) функции  и  таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (2): (6)Интегрируя второе равенство, получим  (7)где C – произвольная постоянная. Из равенств (6), (7) определяем функции и   Подставив полученные выражения в формулу (5), запишем общее решение:  (8)Формула Даламбера: 
|