Главная страница
Навигация по странице:

математика. Контрольные вопросы. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств
Скачать 326 Kb.
Название Контрольные вопросы. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств
Анкор математика.doc
Дата 22.04.2017
Размер 326 Kb.
Формат файла doc
Имя файла математика.doc
Тип Документы
#1561
страница 1 из 4
  1   2   3   4


Министерство образования Российской Федерации

Вологодский государственный педагогический университет


Методические материалы

к практическим занятиям по математике

для студентов-гуманитариев

Вологда

“Русь”

2008

УДК Печатается по решению Ученого Совета ВГПУ от

В работе приведена подборка задач для практических занятий по математике со студентами гуманитарных факультетов (иностранных языков, исторического, отделения культурологии). Для каждого занятия составлены также контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Приведены примерные варианты контрольных работ.


Составители: и. о. доцента, кандидат технических наук А.Ю. Белянина,

доцент, кандидат физико-математических наук Т.В. Васильева,

ст. преподаватель М. А.Доброва

Рецензент: доцент, кандидат физико-математических наук Н. Г. Чернышева.

Ответственный за выпуск:

профессор, доктор пед. наук В.А. Тестов.
 Вологодский государственный

педагогический университет,

издательство “Русь”, 2008 г.

Выписка из государственного стандарта.

Математика. Аксиоматический метод, основные математические структуры, вероятность и статистика, математические модели.

Выписка из учебного плана:

Факультет иностранных языков: лекции – 34 часа, практические занятия – 16 часов.

Исторический факультет: лекции – 12 часов, практические занятия – 18 часов.
Занятие 1.

Элементы теории множеств.

Контрольные вопросы.
1. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.

  1. Перечислите способы задания множеств.

  2. Назовите несколько подмножеств

а) множества натуральных чисел; б) множества геометрических фигур.

4. Какие множества называются равными? Какие из следующих множеств геометрических фигур на плоскости равны между собой:

A – множество всех квадратов;

B - множество всех прямоугольников;

C - множество всех четырехугольников с прямыми углами;

D - множество всех прямоугольников с равными сторонами;

F - множество всех ромбов с прямыми углами?

5. Перечислите основные операции над множествами. Для каждой операции сформулируйте определение и приведите простые примеры.
Упражнения.
1. Запишите множество A, элементами которого являются натуральные делители числа 24, используя перечисление элементов множеств.

2. Даны множества: A={а, и, о, у, э, ы}, B={111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999}, C={0, 2, 4, 6, 8}. Задайте каждое из них описанием характеристического свойства.

  1. Даны числа: 19; ; 0; -27; 5,4. Какие из них принадлежат множеству: а) целых чисел; б) целых неотрицательных чисел; в) рациональных чисел; г) действительных чисел?

  2. Изобразите на координатной прямой множество Х, если

  1. Х = {xxR, -2  x  7};

  2. Х = {xxZ, -1  x  3};

  3. Х = {xxN, -2  x  3}.

  1. Изобразите на координатной прямой множество решений неравенства: .

  2. Найдите множество решений уравнения, используя формулу для расстояния между двумя точками координатной прямой: а) ; б) .

  3. Дано множество A={72, 56, 513, 117, 324}. Составьте подмножества данного множества, состоящие из чисел, которые:

а) делятся на 4;

б) делятся на 9;

в) делятся на 5;

г) не делятся на 10.

  1. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества P и Qi, если P – множество равнобедренных треугольников,

а) Q1 – множество остроугольных треугольников;

б) Q2 – множество прямоугольных треугольников;

в) Q3 – множество равносторонних треугольников.

Изобразите все четыре множества на одном чертеже.

  1. Пусть A- множество натуральных чисел, запись которых оканчивается 0, B- множество натуральных чисел, кратных 10. Докажите, что множества A и B равны.

  2. Известно, что N множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел. Докажите, что высказывание Z  N  ложно.

11. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества A, B и C, если:

а) А  множество четных целых чисел,

B  множество целых чисел, кратных 4;

b) А  множество четных целых чисел,

В  множество целых чисел, кратных 2;

с) А  множество нечетных целых чисел,

В  множество целых чисел, кратных 3,

С  множество чисел, кратных 5.

  1. Отношения между множествами всех выпуклых четырехугольников, параллелограммов, прямоугольников, ромбов и квадратов изображены на рисунке. Покажите каждое из множеств.





А D

F

Рис. 1

  1. Установите, в каком отношении находятся множества А и В, если А = {a, b, c, d}, а множество В:

а) {k, l, m}; b) {b, c, o, f, k}; с) {b, d}.
Задания для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по теме Множества. Операции над множествами. Попытайтесь ответить на контрольные вопросы к занятию 2.

II. Решите задачи:
1. Для каждого из слов “сосна“, “осколок“, “насос“, “колосс“, “сокол“ составьте множество его различных букв. Имеются ли среди полученных множеств равные?

2. Найдите все подмножества множества М = . Сколько подмножеств получилось?

3. В каких отношениях находятся множества решений неравенств:

а) ; б) ?

4. А – множество двузначных чисел, В – множество четных натуральных чисел, С – множество чисел, кратных числу 4. В каком из случаев изображены данные множества? Приведите примеры множеств для двух других случаев.

а) б) в)


5. Задайте множество D, элементами которого являются натуральные числа, меньшие семи.

Занятие 2.

Контрольные вопросы.
1. Дайте определения: а) пересечения множеств; б) объединения множеств; в) разности двух множеств; г) дополнения множества А до множества В; д) декартова произведения множеств. Как называются соответствующие операции над множествами?

2. Как с помощью кругов Эйлера изобразить а) пересечение множеств; б) объединение множеств; в) разность двух множеств; г) дополнение множества А до множества В?

3. Назовите основные свойства операций пересечения и объединения множеств.

4. Каков порядок действий в формулах, содержащих несколько теоретико-множественных операций, если формулы

а) не содержат скобок; б) содержат скобки?

6. Как изображается на координатной плоскости декартово произведение двух числовых множеств? Приведите примеры.

Упражнения.
1. Множество A- множество натуральных чисел, кратных 3, множество B-множество натуральных чисел кратных 7. Задайте множества выясните, какие из чисел 42, 15, 70, 26, 0 им принадлежат?

2. Множество A- множество натуральных чисел, кратных 3, множество B-множество натуральных чисел кратных 7. Задайте описанием характеристического свойства разность множеств A и B и назовите несколько чисел, принадлежащих этому множеству.

3. Найдите пересечение и объединение множества C={14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и множества D, если

а) D={12, 14, 18, 20, 22, 24};

б) D={14, 16, 18, 20};

в) D={3, 4, 5, 6};

г) D=C.

  1. Найдите пересечение и объединение множеств:

а) и ;

б) и ;

в) и .

  1. Даны множества: A- тупоугольных треугольников, B- прямоугольных треугольников, C- треугольников с углом в 50 градусов. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множество . Задайте это множество описанием характеристического свойства.

  2. Найдите разность множества A={a, b, c, d, e} и множества B, если

а) B={c, d, e, f, k, l};

б) B={a, e, c};

в) B={c, a, d};

г) B={k, l, m};

д)B - пустое множество.

  1. Множество A состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество B из натуральных чисел от 5 до 20. Перечислите элементы множеств: А\B, B\A.

  2. Найдите дополнение множества четных натуральных чисел до множества натуральных чисел; множества целых чисел до множества рациональных.

  3. Множество А  множество двузначных чисел, множество В  множество натуральных чисел, кратных 3, множество С  множество натуральных чисел, кратных 7. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множества а) А(В\C); b) A(B\C).

  4. Множество Е  множество четных чисел, множество F  множество натуральных чисел, кратных 4, множество G  множество натуральных чисел, кратных 7. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множества а) (Е \ F)  G; b) (Е \ F)  G.

  5. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения множеств: A={1, 2, 3, 4} и B={4,5}.

  6. На координатной плоскости постройте фигуру, все точки которой являются элементами декартова произведения множеств A=R и B=[2;5].


Задание для самостоятельной работы.

  1. Повторите теоретический материал по темам Множества. Операции над множествами, Соответствия и отношения. Попытайтесь ответить на контрольные вопросы к занятию 3.


II. Решите задачи:
1. Даны множества А = {8; 5; 3; 2; 0} и В = {5; 1; 4; 2 }. Запишите множества АВ, АВ, А\В, В\А.

  1. Множество А  множество натуральных чисел, кратных 3, множество В  множество натуральных чисел, кратных 5, множество С  множество натуральных чисел, кратных 7. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множества а) А(ВС); b) А(ВС).

3. Перечислите элементы, принадлежащие множеству , если:

а) X={a, b, c}, Y={k,l};

б) X={a, b, c}, Y-пустое множество.

4. Используя цифры 2, 7, 5, 4 запишите все возможные трехзначные числа (цифры в записи числа не повторяются). Сколько кортежей длины 3 получили?

5. На координатной плоскости изобразите декартовы произведения множеств:

а) М = {2; 4; 7; 8} и N = {-1; 0; 4; 5; 6};

b) M = [2;5] и N = {1; 3; 4};

c) M = [3;7] и N = [2; 5].

Занятие 3.

Соответствия и отношения.

Контрольные вопросы.
1. Дайте определение соответствия между множествами X и Y. Приведите примеры соответствий.

2. Назовите способы задания соответствий.

3. Что такое граф соответствия; график соответствия?

4. Дайте определение обратного соответствия.

5. Какое соответствие называется взаимно однозначным?

6. Какие множества называются равномощными? Приведите примеры равномощных множеств.

7. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х. Приведите примеры отношений.

8. В чем состоит свойство

а) рефлексивности;

б) симметричности;

в) антисимметричности;

г) транзитивности;

д) связанности

отношения? Какова особенность графа отношения в каждом из случаев?

9. Дайте определения отношений эквивалентности и порядка. Приведите примеры таких отношений.
Решите задачи.
1. R - соответствие “x больше y” между множествами X={2, 4, 6, 7}, Y={3,5}. Постройте граф данного соответствия и соответствия, обратного данному.

2. Соответствие число х в два раза больше числа y рассматривается между множествами X и Y. Каким будет график, если

а) Х = {2, 4, 6, 8}, Y = N; б) X = [2, 8], Y = R;

в) X = Y = R.

3. Постройте граф и график отношения “больше или равно”, заданного на множестве {0, 1, 2, 3, 4}.

4. Отношение P: “число x кратно y” задано между элементами множеств X={135, 0, 264, 122}, Y={3, 4, 5, 9}. Постройте граф отношения P. Перечислите свойства данного отношения.

5. Дано множество X={2, 3, 4, 5}. Перечислите все элементы декартова произведения XX и выпишите все подмножества этого декартова произведения, которые задают отношения: а) “меньше”, б) “больше”, в) “равно”.

  1. Какими свойствами обладает отношение, граф которого изображен на рисунке?





б


а)


б)



  1. На множестве X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} задано отношение иметь один и тот же остаток при делении на 4”. Является ли оно отношением эквивалентности?


Задачи на повторение

  1. Даны множества: К – множество двузначных чисел, М - множество натуральных чисел, кратных 4, Н – множество натуральных чисел, кратных 8. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множества а) К \ (М  Н), б) К  (М \ Н).

  2. Множество А – множество натуральных чисел, кратных 3, В – множество натуральных чисел, кратных 9, С – множество натуральных чисел, кратных 27. Постройте для данных множеств круги Эйлера и выделите штриховкой множества а) А \ В  C, б) В  C  A.


Задание для самостоятельной работы.

I. Повторите теоретический материал по теме Понятия. Высказывания и высказывательные формы. Конъюнкция и дизъюнкция. Попытайтесь ответить на контрольные вопросы к занятию 4.
II. Решите задачи:

1. Постройте график соответствия Q и укажите его область определения и множество значений, если соответствие задано при помощи таблицы:


X
-4
-3
-3
-3
-2
-2
-2
-1

Y
2
1
2
3
1
2
3
2


2. Постройте график отношения “больше в два раза”, заданного на множестве X, если

а) X={-4, -2, -1, 0, 2, 4};

б) X=[-4; 4].

3. На множестве Х = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} задано отношение R. Перечислите пары чисел, связанных этим отношением, и постройте его граф, если:

а) R - x больше y в 3 раза;

б) R - x больше y на 3.

4. Какими свойствами обладают следующие отношения, заданные на множестве натуральных чисел:

а) меньше;

б) меньше на 2;

в) меньше в 2 раза?

5. Отношение Т - иметь одно и то же число делителей” задано на множестве X = {1,2,4,6,7,8,10,11}. Является ли Т отношением эквивалентности? Отношением порядка?
  1   2   3   4
написать администратору сайта