ЧМТФ Лабораторная работа 3. Лабораторная работа Численные методы для решения физических задач
 Скачать 3.21 Mb.
|
|
Лабораторная работа 3. Численные методы для решения физических задач. Цель работы: ознакомиться с методами численного решения уравнений, вычисления определенного интеграла, решения систем линейных уравнений с помощью компьютера. Изучить действия с векторами и матрицами с помощью компьютера. Действия с векторами. Работать с векторами в пакете MathCAD нужно с помощью панели инструментов Matrix(кнопка  ). Появится окно, изображенное на рис. 3.1.
При вводе опции ORIGIN:=1 нумерация строк начинается с единицы. По умолчанию нумерация начинается с нуля. Линейная комбинация векторов осуществляется обычным способом алгебраических преобразований. Вычисление модуля вектора, скалярного и векторного произведения векторов осуществляется с помощью соответствующих кнопок панели Matrix(рис. 3.1). На этой панели  - вычисление модуля,  - скалярное произведение,  - векторное произведение.Решение уравнений. Пример 1. Найти корни полинома  .Решим это уравнение с помощью функции polyroots(рис. 3.2). Массив коэффициентов, используемый в этой функции, определим как вектор-столбец из пяти элементов. Обратите внимание, что в уравнении отсутствует переменная х в первой степени. Это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю.
Как видно из проверки, при подстановке в данное уравнение первого вычисленного корня (х1) получается верное равенство, при подстановке других корней верное равенство получается лишь приблизительно, так как корни этого уравнения - числа иррациональные. Пример 2. Найти корни уравнения  .Уравнение произвольного вида решается с помощью функции root. Решение.
4. Определим интервалы изоляции корней по второму графику (рис. 3.3). Первый корень лежит на интервале (0; 1), второй - на участке (1; 2), третий - (2; 3). Уточним корни уравнения с помощью функции root(рис. 3.4).
Ответ: х = -2.19, -1.808, -0.506, 0.506, 1.808, 2.19. Прим е р 3. Найти значение абсциссы и ординаты экстремумов функции  .Решение. Перед нахождением экстремумов нужно определить промежуток оси абсцисс, где они находятся. Для этого строим график данной функции на произвольном отрезке (рис. 3.5). Если на построенном промежутке экстремумов нет, его нужно поменять. Строим график функции на участке [-5; 5].
Как видно из рис. 3.5, минимум функции находится вблизи точки х = 2, а максимум - вблизи точки х = -3. Точки экстремума вычисляются с помощью функций Minimize(минимум) или Maximize(максимум), но перед ними необходимо написать слово Given(рис. 3.6).
Ответ: минимум (1,361; -20,745); максимум (-2,694; 12,597). Решение систем линейных уравнений. Пример 4. Решить систему уравнений
Данную систему можно рассматривать как одно матричное уравнение  , где  ,  . Поэтому уравнение можно решить традиционным матричным способом (рис. 3.7).
Ответ: х1=1, х2=2, х3=-7, х4=1. Вычисление определенных интегралов. Для вычисления определенных интегралов можно использовать опцию  , например  . Для вычисления интеграла в данном случае используется метод Симпсона, результат является приближенным числом.ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ. Задание 1. Вычислить векторные выражения.  ,  ,  ,  ,  ,  .
. Задание 2. Вычислить определители матриц.
Задание 3. Для матриц А и В вычислить следующие выражения. 
Задание 4. Решить следующие полиномиальные уравнения. Сделать проверку для одного из корней каждого уравнения.
Задание 5. Найти значение наименьшего ненулевого корня уравнения. Сделать проверку.
Задание 6. Найти значение абсциссы или ординаты максимума или минимума функции.
Задание 7. Вычисление определенного интеграла.
Задание 8. Решить системы линейных уравнений.
. |
.
. Корни данного уравнения - точки пересечения функции y(х) с осью абсцисс.
