- МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГЛЫХ ВИТКОВ И ШИНОПРОВОДОВ Методические указания к лабораторной работе по курсу ТОЭ-3
- Составители
- ГОЛУБЕВ Александр Николаевич , КАДНИКОВ Сергей Николаевич Редакторы Н.С. Работаева
- Постоянное магнитное поле круглых витков и двухпроводных линий. Основные понятия и формулы Постоянное магнитное поле
- Задание 1. При заданных преподавателем размерах тонкого витка (см.
- 4. Инструкция по работе с программным комплексом ELCUT
- Решить задачу
- Библиографический список Бессонов Л.А.
- Кадников С.Н.
- Калантаров П.Л.
Магн_поле1. Магнитное поле и индуктивность круглых витков и шинопроводов
 Скачать 11.28 Mb.
|
|
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И.Ленина» Кафедра теоретических основ электротехники и электротехнологий МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГЛЫХ ВИТКОВ И ШИНОПРОВОДОВ Методические указания к лабораторной работе по курсу ТОЭ-3 Иваново 2007 Составители: А.Н.ГОЛУБЕВ, С.Н.КАДНИКОВ Редактор М.Г.МАРКОВ Указания включают в себя необходимые сведения по теории и численному эксперименту на ЭВМ в области исследования магнитного поля и расчета индуктивности круглых витков шинопроводов, а также задание к лабораторной работе. Утверждены цикловой методической комиссией ЭЭФ Рецензенткафедра теоретических основ электротехники и электротехнологий ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И.Ленина». МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ИНДУКТИВНОСТЬ КРУГЛЫХ ВИТКОВ И ШИНОПРОВОДОВ Методические указания к лабораторной работе по курсу ТОЭ-3 Составители: ГОЛУБЕВ Александр Николаевич, КАДНИКОВ Сергей Николаевич Редакторы Н.С. РаботаеваЛицензия ИД № 05258 от 04.07.01 г. Подписано в печать Формат 60х84  Печать плоская. Усл. печ. л. 1,39. Тираж 75 экз. Заказ ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И.Ленина» 153003 Иваново, ул. Рабфаковская, 34. Отпечатано в РИО ИГЭУ
и двухпроводных линий. Основные понятия и формулы Постоянное магнитное поле Магнитное поле наряду с электрическим является основой функционирования различных электротехнических устройств трансформаторов, электрических машин, линий электропередачи. Если оно создается неизменными во времени токами, протекающими по неподвижным проводящим телам, то такое поле называется постоянным магнитным полем [1]. Практическая важность постоянного магнитного поля состоит в том, что его распределение вне обмоток электрических машин и аппаратов обычно мало отличается от распределения переменного магнитного поля. Поэтому предварительный анализ поля и расчет индуктивностей при проектировании обычно проводят на постоянном токе. Обмотки трансформаторов и электрических машин состоят из витков различного сечения и конфигурации. Магнитное поле обмотки рассматривается как суперпозиция (сумма) полей отдельных тонких витков, по которым протекает один и тот же ток. Согласно закону БиоСавара отдельный элемент  такого витка, по которому протекает ток I, создает напряженность магнитного поля, определяемую по формуле , (1)где  вектор, направленный из точкиp, в которой расположен элемент  , в точку q, где определяется вектор  ;  - расстояние между точками p и q(рис.1).Суммируя магнитные поля отдельных элементов, можно получить выражение для напряженности магнитного поля тонкого витка:  , (2)где  - контур осевой линии витка.Если виток массивный, т.е. размеры его сечения сопоставимы с радиусом средней (осевой) линии, то применяется формула более общего вида:  , (3)где  - вектор плотности тока в точке p объема витка V. Величина и направление плотности тока при произвольной конфигурации витка могут меняться по объему V, и поэтому величина  не может быть вынесена за знак интеграла. В этом случае при расчете поля по формуле (2) нужно предварительно найти распределение плотности тока  по объему проводника.И  спользуя закон Био-Савара (1) и вытекающие из него формулы (2) и (3), можно рассчитать магнитное поле витков различной формы. Для тонких прямоугольных витков соответствующие элементарные выражения приведены в [2]. В случае круглого тонкого витка (рис.2) магнитное поле может быть выражено через эллиптические интегралы [1] с использованием цилиндрических координат r, z, (- угол вращения вокруг оси z; r - радиус). Поскольку магнитное поле витка не зависит от угла , вектор напряженности  будет содержать только две составляющие - радиальную  и осевую  . Они выражаются формулами ; (4) ; (5) ,где  - радиус осевой окружности витка; К(к), Е(к) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем . (6)Эллиптические интегралы могут быть вычислены следующим образом:  . (7) . (8)Для вычисления интегралов в этих формулах нужно использовать приближенные квадратурные формулы, легко реализуемые на ЭВМ. Кроме того, могут быть использованы аппроксимации многочленами:  , (9) , (10)Относительная точность данных приближенных формул 10-5. На оси витка при  радиальная составляющая напряженности магнитного поля равна нулю. Поскольку при согласно формуле (6) модуль к=0, то в силу формул (7),(8)  ,  . Тогда формулу (5) для можно существенно упростить: . (11)В плоскости витка при  радиальная составляющая  по- прежнему равна нулю, а  будет выражаться формулой , (12)где  .Используя формулу (11) для осевой составляющей напряженности одного витка, можно получить выражение напряженности поля на оси катушки с обмоткой прямоугольного сечения (рис.3) [2]:  . (13)З  акон Био-Савара (1) и следующие из него формулы (2) и (3) можно применять и для расчета плоскопараллельных магнитных полей, создаваемых прямолинейными проводами произвольного сечения. Основой расчета поля в этом случае является выражение для напряженности магнитного поля прямолинейного одиночного провода с током I, которое можно получить из формулы (2):  , (14)где  - радиус провода.Используя эту формулу, можно рассчитать магнитное поле обмотки любого сечения из тонких проводов. При этом надо учитывать, что формула (14) определяет только модуль напряженности, и поэтому при выводе расчетных формул нужно переходить к проекциям вектора напряженности на оси координат. Если требуется определить магнитное поле сплошного массивного провода (шины), то и здесь можно использовать формулу (14). Для этого сечение провода нужно разбить на некоторое количество малых одинаковых площадок (рис.4).  Рис.4. Сечение однофазного шинопровода Поскольку плотность тока по сечению прямолинейного провода постоянна (в отличие от проводника произвольной трехмерной формы), то по каждой из таких площадок будет протекать одинаковый частичный ток. Иными словами, прямолинейный провод большого сечения можно рассматривать как обмотку из тонких проводов, магнитное поле которой будет суммой магнитных полей отдельных проводов, определяемых по формуле (14) (с учетом векторного характера поля). Так можно рассчитать, например, магнитное поле однофазного шинопровода с шинами прямоугольного сечения (рис.4). В частности, напряженность Нуполя на оси у определяется по формуле  (15)Напряженность на оси х  (16)2. Расчет индуктивности Собственные и взаимные индуктивности являются основными интегральными параметрами трансформаторов, реакторов, электрических машин, линий электропередачи. Обычно все эти устройства проектируются так, чтобы свести к минимуму проявление поверхностного эффекта, вызывающего неравномерное распределение тока по сечению проводов. Если эта цель достигнута, то статические индуктивности, определяемые на постоянном токе, будут мало отличаться от индуктивностей, рассчитанных с учетом поверхностного эффекта. Поэтому различные методики расчета статических индуктивностей нашли отражение в учебниках [3], а результаты их применения в справочниках [4]. При выводе расчетных формул для индуктивности удобнее всего исходить из понятия энергии магнитного поля. Для массивного одиночного витка из немагнитного металла объемом V, по которому протекает постоянный ток, выражение для энергии имеет вид  , (17)где  плотность тока в точке р проводника;  - векторный потенциал: , (18)где  - расстояние между точкой интегрирования q и точкой р внутри проводника, в которой определяется потенциал  .Подставляя (18) в (17), получаем выражение для энергии магнитного поля витка:  . (19)Энергия магнитного поля витка может быть также представлена известной формулой теории электрических цепей:  , (20)где I - ток в витке; L - его собственная индуктивность. Приравнивая (19) и (20), находим общую формулу для собственной индуктивности витка:  . (21)Тем же способом можно получить и выражение для взаимной индуктивности двух магнитно-связанных витков:  , (22)где  - токи, протекающие по виткам;  - плотности токов в первом и втором витке, меняющиеся по объему витков.Поскольку на постоянном токе распределение плотности тока по объему витка от величины тока не зависит, величины L и М от величины токов также не зависят и определяются только геометрическими размерами проводников. Формулы (21) и (22) существенно упрощаются в случае тонких витков, поперечные размеры которых (радиусы проводов) значительно меньше их пространственных размеров. В этом случае взаимная индуктивность двух тонких витков с контурами осевых линий  и  подсчитывается по формуле , (23)где  - расстояние между некоторой точкой 1 на контуре и точкой 2 на контуре . По координатам этих точек в формуле (23) производится интегрирование.Приближенная формула для собственной индуктивности тонкого витка несколько отличается по своей структуре от формулы (23). В этом случае нужно разделять индуктивность на две части - внешнюю и внутреннюю. Внешняя индуктивность Lвнешн определяется магнитным п  отоком, проходящим внутри контура (рис.5). Внутренняяиндуктивность  определяется магнитным полем внутри проводника. В результате такого разделения получается формула [3] , (24)где  - длина контура осевой линии витка; - контур, внутри которого проходит внешний магнитный поток  (рис.5).При произвольной форме витков вычисление интегралов в формулах (21), (22), (23),(24) нужно проводить на ЭВМ. В некоторых частных случаях из них можно получить готовые аналитические выражения и простые формулы. В частности, для круглого тонкого витка собственная индуктивность  , (25)где К(к), Е(к) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем  ,где  - радиус осевой линии витка; а - эквивалентный радиус его сечения, вычисляемый по формуле (см. рис.2): .Вычисление К(к) и Е(к) в (25) можно проводить по формулам (9) и (10). Если виток очень тонкий и  , формула (25) может быть существенно упрощена: . (26)Эта формула может применяться для расчета индуктивности витков из любого металла (магнитного и немагнитного). При  (медь, алюминий) . (27)Если размеры поперечного сечения витка сравнимы с радиусом его средней осевой окружности, то при расчете индуктивности нужно учитывать, что плотность тока меняется по сечению витка. В частности, в витке прямоугольного сечения, по которому протекает ток I (см. рис.2),  . (28)С учетом этой зависимости можно получить следующую приближенную формулу для расчета индуктивности витка прямоугольного сечения [4]:  . (29)В отличие от плотности тока круглых витков плотность тока по сечению круглых катушек, намотанных из тонкого провода, можно считать постоянной и равной  , где I- ток в катушке; w - число витков;  - площадь ее поперечного сечения.Простые приближенные формулы для расчета индуктивности таких катушек, размеры сечения которых сравнимы с поперечными размерами, получить не удается и поэтому здесь необходимо использовать формулы вида (21), применяя для вычислений ЭВМ. Взаимная индуктивность двух тонких круглых витков, расположенных в параллельных плоскостях на одной оси, определяется по формуле  , (30)где модуль  ,h расстояние между плоскостями, в которых расположены витки. При вычислениях по формуле (30) проще всего применять для расчета К(к) и Е(к) приближенные формулы (9) и (10). Простые расчетные формулы для приближенных вычислений взаимной индуктивности круглых толстых витков и круглых катушек, размеры сечения которых сравнимы с их поперечными размерами и расстоянием между катушками, получить невозможно. Поэтому здесь нужно проводить вычисления с помощью исходных формул вида (22), применяя для их реализации ЭВМ. При использовании ЭВМ определение взаимной индуктивности М двух витков с собственными индуктивностями  и  может быть осуществлено с применением понятия энергии их магнитного поля: . (31)При  формула (31) принимает вид , (32)а при   . (33)Тогда при известных значениях энергий  ,  и   . (34)На практике часто возникает необходимость расчета собственных индуктивностей двухпроводных линий (шинопроводов или токопроводов), а также взаимных индуктивностей между ними. Любую такую линию можно рассматривать как длинный виток, замыкающийся через генератор и нагрузку. Магнитное поле такого витка в основной его части можно считать плоскопараллельным. Плотность постоянного тока по сечению проводов в этом случае будет постоянной. С учетом этого энергию магнитного поля двухпроводной линии длиной с сечением проводов  , по которой протекает ток  , можно записать в виде , (35)где  - площади сечения проводов. Векторный потенциал . (36)Учитывая, что энергия магнитного поля линии выражается формулой (20), с помощью выражений (35), (36) можно получить следующую общую формулу для расчета собственной индуктивности двухпроводной линии с произвольным сечением проводов длиной : (37)При простых формах сечения проводов, например при прямоугольной, которая часто встречается на практике, интегралы в этой формуле могут быть выражены в элементарной форме. Однако формулы при этом получаются настолько громоздкими, что лучше пользоваться приближенными выражениями. В частности, для расчета индуктивности шинопровода с прямоугольным сечением шин (см. рис.4) известна следующая формула [4]:  . (38)Для расчета взаимной индуктивности двух линий с круглыми проводами (рис.6) можно применять формулу [3]  . (39)Данная формула является точной. Ее можно получить из выражения для энергии магнитного поля в системе проводников рис.6. Она может служить для оценочных расчетов взаимной индуктивности шинопроводов с шинами прямоугольного сечения. При этом в качестве  нужно брать расстояния между центрами шин.
1. При заданных преподавателем размерах тонкого витка  (см. рис.2) и токе витка  рассчитать на ЭВМ распределение напряженности  магнитного поля на оси витка при изменении координаты z в пределах  и в плоскости витка z=0 при изменении радиуса rот 0 до  . Построить соответствующие графики зависимостей  . Рассчитать те же зависимости по формулам (11), (12) и построить на тех же графиках. Дать оценку точности расчета по данным формулам путем сравнения с результатами расчета  на ЭВМ.2. Полагая, что виток на рис.2 имеет квадратное сечение  , рассчитать на ЭВМ зависимость индуктивности витка от его среднего радиуса  при изменении от 3b до 20b (при расчете на ЭВМ использовать понятие энергии). Рассчитать эту же зависимость по приближенной формуле (27). Построить полученные кривые на одном графике и сделать выводы о точности расчета по приближенной формуле (27).3. При заданном преподавателем числе витков w, размерах катушки на рис.3 и токе рассчитать на ЭВМ распределение магнитного поля на оси вращения z при изменении zот 0 до и в плоскости при изменении rот 0 до (при расчете на ЭВМ ток витка, заменяющего катушку, принять равным  ). Построить соответствующие графики зависимостей и объяснить их ход. На графике  построить ту же зависимость по формуле (13). Оценить относительную погрешность расчета поля на ЭВМ, считая формулу (13) точной.4. Рассчитать на ЭВМ распределения силовых линий для катушки на рис.3. Проанализировать полученную картину поля и определить области его наибольшей концентрации (наибольшие значения напряженности). 5. При заданных размерах шинопровода (см. рис.4) и токе  рассчитать на ЭВМ распределение напряженности на оси y при  и на оси х при  и построить графики  . Рассчитать те же зависимости по точным формулам (15), (16) и дать оценку точности расчета напряженности поля на ЭВМ.6. Рассчитать на ЭВМ распределения силовых линий магнитного поля для шинопровода (см. рис.4) с тонкими шинами при  и с прямоугольными шинами при  ;  . Проанализировать и сравнить полученные картины поля. Определить в каждом из вариантов области наибольших значений напряженности поля.7. Рассчитать для двух вариантов п.5 значения индуктивности шинопровода на ЭВМ и по приближенной формуле (38). Оценить точность расчета по приближенной формуле. 8. Для заданных преподавателем размеров двух шинопроводов рассчитать на ЭВМ взаимную индуктивность между ними. Определить ту же индуктивность по приближенной формуле (39) и оценить точность приближенного расчета. 9. Для заданных преподавателем размеров двух круглых витков рассчитать их взаимную индуктивность на ЭВМ, используя формулы (31), (32), (33), (34). Сравнить полученный результат с рассчитанным по приближенной формуле (30) и оценить точность приближенного расчета (данное задание является необязательным и дается преподавателем в качестве дополнительного). 4. Инструкция по работе с программным комплексом ELCUT Программный комплекс ELCUT представляет собой интегрированную диалоговую систему программ, позволяющую решать плоские и осесимметричные задачи электростатики, линейной и нелинейной магнитостатики, магнитного поля переменных токов, т.е. набор задач, предусмотренных программой лабораторного практикума по курсу «Теоретические основы электротехники, часть III». При выполнении настоящей лабораторной работы комплекс ELCUT используется совместно со специально созданной программной надстройкой, обеспечивающей возможность работы с комплексом без его специального изучения и упрощающей ввод исходных данных для расчета поля. На рис. 7 представлена панель главного меню, нажатием на одну из клавиш которой выбирается соответствующая тема исследований.  Рис. 7. Панель главного меню Выполнение лабораторной работы начинается с изучения магнитного поля витка, для чего щелчком по клавише «Магнитное поле и индуктивность витка» указанной панели открывается окно задания параметров витка с током, представленное на рис. 8. Приведенный в данном окне рисунок поясняет геометрический смысл задаваемых параметров.  Рис. 8. Окно задания параметров витка с током  Рис. 9. Окно описания задачиПосле задания всех параметров следует щелкнуть по клавише «Начертить». По этой команде происходит автоматический вход в программный комплекс ELCUT и создание в его среде расчетной схемы поля. Расчетная схема поля (рис. 9) иллюстрируется в окне описания задачи. Так как задание численных значений параметров для расчета поля было осуществлено с использованием окна на рис. 8, в окне на рис. 9 ничего изменять не следует. Необходимо отметить, что, поскольку рассчитываемое поле является осесимметричным, в расчетной схеме (см. рис. 9) отображается половина витка, при этом ось вращения z совпадает с нижней горизонтальной линией. Для запуска процесса расчета следует щелкнуть по клавише «=» панели инструментов или выбрать позицию Решить задачу в меню Задача (рис. 9). Задание необходимого масштаба изображения расчетной картины поля осуществляется с использованием клавиш  (крупнее) и  (мельче) на панели инструментов (рис. 10).Для исследования локальных значений поля следует нажать на клавишу  панели инструментов, после чего щелкнуть левой клавишей мыши на картине поля. В результате в окне «Результаты решения задачи» появится колонка «Локальные значения» (рис. 10) с указанием характеристик соответствующей точки поля и ее координат. Рис. 10. Окно «Результаты решения задачи» при исследовании поля витка Для определения магнитной напряженности в заданной точке поля на нее следует навести курсор с изображением иконки (координаты текущего положения курсора отображаются в нижнем правом углу окна) и щелкнуть левой клавишей мыши.Для определения индуктивности витка необходимо: - на панели инструментов нажать клавишу  («добавить контур») и в открывшемся справа меню выбрать позицию «Прямая линия (0°)»;- начертить контур интегрирования, границы которого должны совпадать с границами рассчитываемого поля (начало и конец каждого прямолинейного участка контура фиксируется нажатием левой клавиши мыши; для устранения контура интегрирования следует нажатием правой клавиши мыши вызвать меню); - в столбце «Локальные значения» окна «Результаты решения задачи» (рис. 10) двойным щелчком левой клавиши мыши выделить строку «Мастер индуктивностей» и в появившемся окне выбрать позицию «Исходя из запасенной энергии: L= 2W/i2»; - в появляющихся после поочередного нажатия на клавишу «Далее» окнах выполнить: - в окне «Вычисление энергии» нажать на клавишу «Вычислить»; в окне «Вычисление тока» задать ток I=1 (А); - в окне «Мастер индуктивностей завершен» нажать на клавишу «Готово». В результате в столбце «Локальные значения – Мастер индуктивностей» окна «Результаты решения задачи» появится численное значение определяемой индуктивности (рис. 11). Для исследования магнитного поля шинопровода на панели главного меню (см. рис. 7) необходимо нажать на клавишу «Магнитное поле шинопровода». В результате появится окно задания параметров (размеров и тока) шинопровода (рис. 12). После их определения, как и в случае исследования магнитного поля витка, следует щелкнуть по клавише «Начертить» и в появившемся окне описания задачи, аналогичном приведенному на рис. 9, щелкнуть по клавише «=» панели инструментов или выбрать позицию Решить задачу в меню Задача. В результате появится окно с результатами решения задачи (рис.13). Исследование локальных характеристик магнитного поля шинопровода осуществляется аналогично анализу магнитного поля витка с током.  Рис. 11. Окно «Результаты решения задачи» с вычисленной индуктивностью  Рис. 12. Окно задания параметров шинопровода При расчете взаимной индуктивности двух катушек на панели главного меню (см. рис. 7) необходимо нажать на клавишу «Взаимоиндуктивность двух витков», после чего в появившемся окне задания параметров (рис. 14) определить размеры катушек (круглых витков) и расстояние между ними. Поскольку расчет взаимоиндуктивности катушек (витков) проводится с использованием понятия энергии магнитного поля, в соответствии с формулами (31)-(34) ненулевые значения токов в окне задания параметров (рис. 14) следует задать равными 1 А; при этом остальные действия в рамках комплекса ELCUT аналогичны рассмотренным выше при описании определения индуктивности витка. При расчете взаимной индуктивности двух шинопроводов на панели главного меню (см. рис. 7) необходимо нажать на клавишу «Взаимоиндуктивность двух шинопроводов», после чего в появившемся окне задания параметров (рис. 15) определить геометрические размеры шинопроводов и расстояние между ними. Дальнейшие действия аналогичны рассмотренным при расчете взаимной индуктивности катушек (круглых витков).  Рис. 13. Окно «Результаты решения задачи» при исследовании поля шинопровода  Рис. 14. Окно задания параметров катушек (витков)  Рис. 15. Окно задания параметров шинопроводов Библиографический список
Содержание
|
|||||||||||||||