Математические основы финансового менеджмента

Скачать 115 Kb.

Название	Математические основы финансового менеджмента
Анкор	Математические основы финансового менеджмента.doc
Дата	03.05.2017
Размер	115 Kb.
Формат файла
Имя файла	Математические основы финансового менеджмента.doc
Тип	Документы #6770

Математические основы финансового менеджмента

В основе финансовых вычислений лежит понятие временной ценности денег, которое может быть выражено следующим выражением: «рубль сегодня более ценен, чем в будущем». Данное заключение определяется рядом факторов:

во-первых, денежная единица, находящаяся в распоряжении лица может быть использована как в целях потребления, так и в целях преумножения, тогда как денежная единица, которую ожидается получить в будущем лишена возможности получить дополнительный доход сегодня, а также обладает риском неполучения.

во-вторых, в условиях инфляционной экономики, деньги имеют объективную особенность обесценения и потери покупательной способности, из чего следует, что на одну и ту же денежную единицу в условиях инфляции сегодня можно купить больше, чем в будущем.

В финансовых расчетах временная несопоставимость и плата за отказ от потребления учитываются с помощью операций наращения и дисконтирования.

Одним из важнейших определений, лежащих в основе большинства финансовых расчетов, являются процентные деньги.

Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Величина получаемого дохода (процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).

Капитализация (наращение) долга – это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Коэффициент капитализации (наращения) – величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – период времени, в течение которого начисляются проценты. Период начисления, как правило, совпадает со сроком кредита. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существуют два способа начисления процентов:

Декурсивный способ начисления процентов. Декурсивные проценты (ссудный процент) начисляются в конце каждого интервала начисления исходя из величины предоставляемого капитала.
Антисипативный (предварительный) способ начисления процентов. Антисипативные проценты (учетная ставка) начисляются в начале каждого интервала начисления исходя из наращенной суммы.

При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут быть либо простыми, если применяются в течение всего периода начисления к первоначальной денежной сумме, либо сложными, если по прошествии каждого интервала начисления применяются к наращенной сумме.

Простые ставки ссудных процентов обычно применяются в краткосрочных финансовых операциях (не более года), когда интервал начисления совпадает с периодом начисления, либо когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Сложные ставки ссудных процентов применяются как правило в длительных финансовых операциях (более года), когда подразумевается наращение основной суммы.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент. В первом случае используется точное число дней ссуды. Во втором случае берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность месяца принимается равной 30 дней, а продолжительность года принимается 360 дней. Дата выдачи и гашения кредита всегда считается за один день.

Простые ставки ссудных процентов

Определение величины наращенной суммы за некоторый период времени называется компаундингом (compounding).

Формула для определения наращенной суммы:

,

где S – наращенная сумма; P – величина первоначальной денежной суммы; n – продолжительность периода начисления в годах; i – ставка ссудного процента.

Если требуется найти наращенную сумму за период времени не совпадающий с точным количеством лет, то используется модифицированная формула определения наращенной суммы:

,

где l – продолжительность периода начисления в днях, m – продолжительность года в днях.

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину первоначальной денежной суммы (P), которая в будущем должна составить заданную величину наращенной суммы (S). Определение современной величины наращенной суммы (S) называется дисконтированием (discounting).

Формула для определения первоначальной денежной суммы.

Для точного числа лет:

Для периода времени, не совпадающим с точным числом лет

В случае если на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки, то формула для расчета наращенной суммы имеет вид:

Пример 1

Кредит в размере 10.000.000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 20% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для обыкновенного и точного расчета процентов. Год не високосный.

Решение:

1 Для обыкновенных процентов l=284, m=360

S = 10.000.000(1+284/360x0,2)=11.577.777,77

2. Для точных процентов l=284, m=365

S = 10.000.000(1+284/365x0,2)=11.556.164,38
Пример 2

Кредит в размере 20.000.000 выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год 30%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1%. Определить наращенную сумму.

Решение:

Простые учетные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т.е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим (банковским) учетом.

Дисконт – это доход, полученный по учетной ставке, то есть, разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (покупке) векселей и других денежных обязательств.

,

где D_г – сумма процентных денег, выплачиваемая за год (банку); d – годовая учетная ставка; S – сумма, которая должна быть возвращена.

,

где D – общая сумма процентных денег.

Сумма, получаемая заемщиком будет определяться:

,

где P – сумма получаемая заемщиком; l – продолжительность периода начисления в днях, m – продолжительность года в днях.

Наращенная сумма (сумма, которая должна быть возвращена) определяется:

Из формулы можно увидеть, что в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любое значение. Необходимо выполнения условия:

или

Пример 1

Кредит в размере 40.000.000 выдается по простой учетной ставке 25% годовых. Определить срок, на который представляется кредит, если заемщик желает получить 35.000.000 рублей.

Решение:

Пример 2

Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9.000.000 рублей, если сумма в 10.000.000 выдается в ссуду на полгода.

Решение:

Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а капитализируется, то для определения наращенной суммы применяются формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты достаточно широко применяются на практике.

Чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Формула для расчета сложных процентов имеет вид:

,

где S – наращенная сумма; P – величина первоначальной денежной суммы; n – продолжительность периода начисления в годах; i – ставка сложных ссудных процентов; n – количество лет.

Если срок ссуды не является целым числом, то формула для расчет наращенной суммы определяется:

,

где n_а – целое число лет; n_b – оставшаяся дробная часть года.

В случае если уровень сложных процентных ставок различается на разных интервалах начисления, то в конце всего периода начисления наращенная сумма будет определяться:

,

где n₁, n₂,…,n_N – продолжительность интервалов начисления в годах; i₁, i₂,...,i_N – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.

Если все интервалы начисления одинаковы (как обычно бывает на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, то наращенная сумма будет определяться:

Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз в году, в этом случае оговаривается номинальная ставка процентов (j), то есть годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке (j), величина номинальной процентной ставки, применяемой на каждом интервале начисления определяется

.

Если срок ссуды составляет n лет, то наращенная сумма будет определяться:

,

где j – номинальная ставка сложных ссудных процентов; mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться:

,

где l – часть интервала начисления.

Пример 1

Первоначальная сумма долга равна 50.000.000 рублей. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 20% годовых.

Решение:

1 способ начисления.

2 способ начисления.

Пример 2

Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за 5 лет? Определить также для случая начисления процентов по полугодиям.

1.

2. Для случая начисления процентов по полугодиям

Сложные учетные ставки

При антисипативном способе начисления сложных процентов (проценты начисляются в начале каждого интервала), формула наращенной суммы имеет вид:

,

где S – сумма, которая должна быть возвращена; P – сумма получаемая заемщиком; d – величина сложной учетной ставки; n – количество лет.

Для периода начисления, не являющегося целым числом, наращенная сумма будет определяться:

,

где – n_a – целое число лет; n_b – оставшаяся дробная часть года.

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма определяется:

,

где n₁, n₂,…,n_N – продолжительность интервалов начисления в годах; d₁, d₂,...,d_N – годовые учетные ставки, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.

Если проценты начисляются m раз в году, наращенная сумма определяется:

,

где f – номинальная годовая учетная ставка; mn – общее количество интервалов начисления.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться:

,

где mn – целое число интервалов начисления за весь период начисления; l – часть интервала начисления.

Пример

Определить современное значение суммы в 100.000.000 рублей, которая будет выплачена через 2 года при использовании учетной ставки 20% годовых.

Решение