ТЕР ВЕР теория и практикум. Практикум по теории вероятностей в схемах рекомендовано редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия для студентов

• 
  полностью обеспечивает методическую поддержку раздела «Элементы теории вероятностей»;
  
• 
  может использоваться как самоучитель, с помощью которого студент освоит технологию решения типовых задач;
  
• 
  принесет максимальную пользу, если студент будет читать его, одновременно выполняя предлагаемые задания.
  

• 
  сначала ознакомиться с рубрикой «Краткая теоретическая справка»;
  
• 
  перейти к рубрике «Алгоритм решения задач»;
  
• 
  внимательно прочитать текст задачи в рубрике «Задачи для тренинга»;
  
• 
  приступить к рубрике «Технология решения», где пошагово показано, какие действия выполнять для достижения цели. При возникновении вопросов в процессе выполнения задачи рекомендуется вновь обратиться к рубрике «Краткая теоретическая справка».
  

• 
  Общие правила комбинаторики.
  
• 
  Основные комбинаторные конфигурации:
  

1.1. Общие правила комбинаторики

Правила комбинаторики	Пример
Правило суммы
Если из некоторого конечного множества объект А можно выбрать mспособами, объект В можно выбрать nспособами, то выбор А или В можно осуществить m+n способами	Сколькими способами можно выбрать одну четную или одну нечетную цифру из числа 145 678. Решение: В числе 145 678 три четные цифры и три нечетные. Четные цифры можно выбрать 3 способами, нечетные – тоже 3 способами. Четную илинечетную цифры: 3+3=6 способами.
Если из некоторого конечного множества 1-й объект можно выбрать k1способами, 2-й объект можно выбрать k2способами, ……………………………………………, n-й объект можно выбрать knспособами то выбор или 1-го, или 2-го,…, или n-го объекта (любого из объектов) можно осуществить k1+k2+…+kn способами	Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих, 3 зеленых карандаша? Решение: Красный карандаш можно выбрать 5 способами, синий – 7 способами, зеленый – 3 способами. Красный или синий или зеленый карандаш можно выбрать: 5+7+3=15 способами
Правило произведения
Если из некоторого конечного множества объект А можно выбрать mспособами, объект В можно выбрать способами, то выбор пары А и В в указанном порядке можно осуществить m∙n способами	Сколькими способами можно выбрать одну четную и одну нечетную цифру из числа 145 678. Решение: В числе 145 678 три четные цифры и три нечетные. Четные цифру можно выбрать 3 способами, нечетные – тоже 3 способами. Четную инечетную цифру: 3∙3=9 способами
Если из некоторого конечного множества 1-й объект можно выбрать k1способами, 2-й объект можно выбрать k2способами, ……………………………………………, n-й объект можно выбрать knспособами то выбор и 1-го, и 2-го,…, и n-го объектов (всех n объектов) можно осуществить k1∙k2 ∙…∙kn способами	В столовой имеются 4 первых блюда, 5 вторых и 3 третьих. Сколькими способами можно составить из них полноценный обед? Решение: Первое блюдо можно выбрать 4 способами, второе – 5 способами, третье – 3 способами. Выбор обеда из трех блюд: первое и второе и третье можно выбрать: 4∙5∙3=60 способами

2. 
   Основные комбинаторные конфигурации: размещения, сочетания, перестановки
   

Размещения
Размещением из n элементов по k элементам называют упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n-элементному множеству	Размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или их составом	Число размещений из n элементов по k элементам обозначается и вычисляется по формуле:
Перестановки
Перестановкой из n элементов называют размещение из nэлементов по n	Перестановки отличны друг от друга порядком элементов	Число перестановок из n элементов обозначается и вычисляется по формуле Рn=n!
Сочетания
Сочетанием из n элементов по k элементам называют любой набор из kэлементов, принадлежащих n-элементному множеству	Сочетания отличны друг от друга только составом элементов	Число сочетаний из n элементов по kэлементам обозначается и вычисляется по формуле

1. 
   На 7 сотрудников выделены 5 различных путевок. Сколькими способами их можно распределить среди сотрудников?
   
2. 
   В группе 20 юношей и 20 девушек. Для участия в конкурсе «Студенческая весна» нужно выделить танцевальный дуэт, дуэт певцов и гимнастический дуэт (каждый из которых состоит из юноши и девушки). Сколькими способами это можно сделать, если все участники поют, танцуют и выполняют гимнастические упражнения?
   
3. 
   Сколькими способами из 20 членов правления фирмы можно отобрать трех для замещения вакансий зам. директора по строительству, по снабжению, по кадрам?
   
4. 
   Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
   

1. 
   В урне находятся 7 белых, 5 красных и 8 синих шаров. Сколькими способами из них можно выбрать 6 шаров так, чтобы среди них было 3 белых, 1 красный и 2 синих?
   
2. 
   Из колоды в 36 карт нужно выбрать 6 карт так, чтобы среди них оказалось 4 карты черной масти и 2 карты красной масти. Сколькими способами это можно сделать?
   
3. 
   Сколькими способами из имеющихся в магазине 12 бордовых, 15 красных и 10 розовых роз можно составить букет из 7 цветов так, чтобы в него входили 3 красных, 2 розовые и 2 бордовые розы?
   
4. 
   Личный состав отделения милиции состоит из 10 сержантов, 7 лейтенантов и 5 капитанов. Из них нужно составить группу, в состав которой войдут 4 сержанта, 3 лейтенанта и 1 капитан. Сколькими способами это можно сделать?
   

1. 
   В комнате имеется 8 стульев. Сколькими способами можно разместить на них: а) 8 гостей; б) 4 гостя?
   
2. 
   Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений Д. Лондона, располагая тома в произвольном порядке?
   
3. 
   Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «Ученик»?
   
4. 
   В фирменном поезде «Кострома – Москва» 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить бригаду проводников из 15 человек, если один – бригадир, а остальные должны быть по одному проводнику в вагоне?
   
5. 
   В семье шесть человек, за обеденным столом – шесть стульев. В семье решили ужинать каждый вечер так, чтобы, хотя бы один занял новое место. Сколько дней члены семьи могут сидеть по-разному?
   

1. 
   На оружейном складе имеются 10 винтовок с оптическим прицелом, 15 винтовок без оптического прицела и 12 карабинов. Сколькими способами можно выбрать 9 единиц оружия так, чтобы среди выбранных было две винтовки с оптическим прицелом, 4 винтовки без оптического прицела и 3 карабина?
   
2. 
   Сколькими способами можно выбрать одну гласную и две согласных буквы из слова «СТУДЕНТ»?
   
3. 
   Компания имеет 4 отдела: по производству, снабжению, менеджмента и маркетинга. Количество людей в каждом из отделов 30,8,5 и 4 соответственно. Каждый отдел собирается послать по два представителя на ежегодную встречу с директором. Сколько различных групп для встречи можно составить из числа работников компании?
   
4. 
   В лаборатории работает 20 человек, из них 55% женщин; 6 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если женщин и мужчин должно быть поровну?
   
5. 
   Сколькими способами из урны, содержащей 30 белых и 10 черных шаров, можно извлечь 40% всех шаров так, чтобы 2 из них были черными?
   
6. 
   Замок у сейфа открывается, если набрана правильная комбинация из четырех цифр от 0 до 9. Преступник пытается открыть сейф и набирает шифр наудачу. Найдите наибольшее возможное число безуспешных попыток.
   
7. 
   Абонент забыл две последние цифры номера телефона и набирает их наудачу. Каково наибольшее число безуспешных попыток абонента?
   
8. 
   Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 6 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля:
   

9. 
   Сколько можно составить танцевальных пар, если в клубе занимаются 10 юношей и 10 девушек одной возрастной категории?
   
10. 
    В столовой имеются четыре первых блюда, пять вторых и три третьих. Сколькими способами можно составить их них полноценный обед?
    
11. 
    Директор корпорации рассматривает заявления о приеме на работу 10 выпускников вуза. На одном из предприятий корпорации имеются три различных вакансии. Сколькими способами директор может заполнить эти вакансии?
    
12. 
    Из 14 членов легкоатлетической секции нужно выбрать 4 участников для забега в эстафете 100 м, 200 м, 500 м и 1000 м (каждый участник пробегает один этап). Сколькими способами это можно сделать?
    
13. 
    Восемь запечатанных конвертов с предложением цены поступили в агентство утренней почтой. Сколько существует различных способов очередности вскрытия конвертов с предложением цены?
    

• 
  Основные понятия теории
  

• 
  Классификация событий
  
• 
  Действия над событиями
  
• 
  Определение вероятности
  
• 
  Основные теоремы вероятностей
  
• 
  Формула полной вероятности
  
• 
  Формула Байеса
  
• 
  Повторные независимые испытания