- Реферат по математическим основам теории систем на тему Теория устойчивости систем
- Содержание: 1. Устойчивость в смысле Ляпунова
- 2. Свойства устойчивых систем
- 3. Устойчивость тривиального решения
- 4. Устойчивость линейных систем
- 5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами
- 7. Второй метод Ляпунова
Теория устойчивости. Реферат по математическим основам теории систем на тему Теория устойчивости систем Ивлев А. А
 Скачать 3.23 Mb.
|
      МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра Автоматики и управления Реферат по математическим основам теории систем на тему Теория устойчивости систем Выполнил: Ивлев А.А. Группа: ЗИЭФ-326 Проверил: Разнополов О. А. Челябинск 2014 Содержание: 1. Устойчивость в смысле Ляпунова Под устойчивостью системы обычно понимают свойство системы автоматического регулирования (САР) возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения. Полагая, что САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрим устойчивость решения дифференциальных уравнений. Пусть поведение САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений  ,где xi – переменные, характеризующие состояние системы. Запишем систему в векторном виде:  Введем в рассмотрение (n+1)-мерное пространство En+1, координатами в котором будут являться переменные t, x1, x2, …, xn. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по зависимым переменным x1, x2, …, xn в некоторой выпуклой области G пространства En+1. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, то есть для любых начальных значений t0, x10, x20, …, xn0 существует и при том единственное решение xi=si(t, xi0), i=1, 2, …, n, удовлетворяющее начальным условиям si(t0, xi0)=xi0, i=1, 2, …, n. Потребуем бесконечной продолжаемости данного решения, то есть будем считать функции si(t) определенными для t0≤t≤, причем t0 можно считать равным . Рассмотрим некоторое решение xi=si(t) данной системы, определенное на интервале [t0,), причем si(t0)=xi0. Решение si(t), i=1, 2, …, n называется устойчивым по Ляпунову при t , если для любого >0 существует такое >0, зависящее от и t0, что любое решение xi=i(t), для которого при t=t0 выполняется неравенство |i(t0)–si(t0)|<, удовлетворяет неравенству |i(t)–si(t)|<, t0≤t≤ для всех i=1, 2, …, n.  Геометрически это означает, что все решения, которые при t=t0 начинаются в -окрестности точки (x10, x20, …, xn0), никогда не покинут -трубку решения si(t) (рис. 1). Решение si(t), i=1, 2, …, n, называется неустойчивым, если существует >0 такое, что для любого >0 найдется такой момент времени t=t1, что для некоторого значения i=k будет выполняться неравенство |k(t1)–sk(t1)|, несмотря на то, что |i(t0)–si(t0)|< для всех i=1, 2, …, n. Решение si(t) называется асимптотически устойчивым, если:
 .Если H=, то динамическая система называется устойчивой в целом. Если нулевое состояние линейной системы асимптотически устойчиво, то оно асимптотически устойчиво в большом, то есть асимптотическая устойчивость выполняется для всех начальных состояний и не ограничена состояниями, достаточно близкими к нулевому состоянию. Линейная система называется устойчивой (асимптотически устойчивой), если ее начальное состояние устойчиво (асимптотически устойчиво). Нелинейные системы могут иметь асимптотически устойчивое состояние равновесия, не будучи асимптотически устойчивыми в большом, то есть устойчивость справедлива в локальном смысле. 2. Свойства устойчивых систем Система, описываемая векторным дифференциальным уравнением  ,устойчива в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда найдется постоянная M, которая будет зависеть от t, такая, что  где Ф(t,t0) – переходная матрица, то есть  .Линейная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда:
Вектор состояния стационарной системы не может возрастать быстрее, чем некоторая экспонента. Это верно и для нестационарной системы при условии, что матрица A(t) остается ограниченной для всех tt0. 3. Устойчивость тривиального решения Исследование устойчивости любого решения системы ,можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения  .Пусть xi=si(t) – некоторое решение системы. Введем новые переменные yi=xi–si(t), тогда  Очевидно, что gi(0,0,…,0)0, то есть последняя система будет иметь тривиальное решение yi(t) 0. Эта система носит название системы уравнений возмущенного движения. Введем в рассмотрение два пространства: Ex решений системы ,и пространство Ey решений системы  .Каждой интегральной кривой пространства Ex соответствует интегральная кривая пространства Ey, причем кривой xi=si(t) соответствует yi(t)0 (рис. 2). Если решение xi=si(t) устойчиво в пространстве Ex, то решение yi(t)0 устойчиво в пространстве Ey, и наоборот. Поэтому вместо исследования устойчивости решения xi=si(t) можно исследовать устойчивость тривиального решения. Тривиальное решение yi(t)0 будет устойчивым по Ляпунову, если для любого >0 существует такое >0, зависящее от и от t0, что для любого решения yi=i(t), удовлетворяющее при t=t0 неравенству |i(t0)|<, выполняется неравенство |i(t)|< при t0≤t< для всех i=1,2,…,n. Особое значение имеет устойчивость состояния равновесия. Состояние равновесия определяется корнями уравнения fi(x1,x2,…,xn)=0, i=1,2,…,n. 4. Устойчивость линейных систем Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений  где aij(t) и fi(t) – непрерывные функции в полуинтервале t0≤t<. Однородная система, соответствующая данной, имеет вид  .Эта система имеет тривиальное решение  Любое решение однородной системы дифференциальных уравнений устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво тривиальное решение. Отсюда следует, что в линейной однородной системе с непрерывными коэффициентами из устойчивости хотя бы одного решения вытекает устойчивость всех остальных решений, и наоборот, если неустойчиво хотя бы одно решение, то все остальные решения также неустойчивы. Однородная система дифференциальных уравнений, все решения которой устойчивы, называется устойчивой системой. Линейная однородная система дифференциальных уравнений устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено для tt0. Линейная однородная система дифференциальных уравнений асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво ее тривиальное решение. Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений устойчива (асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда устойчива (асимптотически устойчива) соответствующая однородная система дифференциальных уравнений. 5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами Рассмотрим устойчивость линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:  ,где A – квадратная матрица постоянных коэффициентов,  – вектор-столбец неизвестных функций.Пусть 1,…,k – различные корни характеристического уравнения det(A–E)=0, а e1,…,ek – максимальные показатели степени элементарных делителей, соответствующих этим корням. Решение исходной системы имеет вид:  ,причем Pi(t) – вектор-столбец, элементами которого являются многочлены от t; степень этих многочленов не превышает ei–1. Для устойчивости линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения системы имели неположительные вещественные части, причем элементарные делители, соответствующие корням характеристического уравнения с нулевой вещественной частью, были бы простыми. Из этой теоремы следует, что линейная система с постоянными коэффициентами будет устойчивой и в случае кратных корней характеристического уравнения, лежащих на мнимой оси плоскости , только этим корням должны соответствовать простые элементарные делители, то есть соответствующая клетка Жордана должна состоять из одного элемента. Рассмотрим устойчивость линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами:  .Характеристическое уравнение:  .Это характеристическое уравнение имеет корень i кратности ei. Для устойчивости линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения имели неположительные вещественные части, причем корни с нулевой вещественной частью должны быть простыми. Для асимптотической устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней характеристического уравнения были отрицательны, то есть характеристические числа матрицы A должны располагаться в левой полуплоскости. 6. Критерии устойчивости линейных систем Критериями устойчивости называются правила, позволяющие исследовать устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения. Математически все формы критериев устойчивости эквивалентны, так как они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости корней. Одним из таких критериев является критерий Гурвица – это алгебраический критерий, позволяющий в аналитической форме связать условия устойчивости с параметрами системы и выделить области устойчивости. Этот критерий заключается в следующем: если характеристическое уравнение n-ой степени имеет вид D(p)=cnpn+cn-1pn-1+…+c1p+c0=0, то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при cn>0 все n определителей Гурвица 1, 2, …, n, составленные по определенной схеме, были положительны. Определители Гурвица составляются с помощью таблицы:  по правилам:
Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение условий:  и т. д.Необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, то есть ci>0, i=1,2,…,n. Пример: исследовать устойчивость решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами:  Характеристическое уравнение этой системы:  Матрица Гурвица имеет вид:  .Определители Гурвица: 1=3>0, 2=9–(1–a2b), 3=2(1–a2b). Таким образом, для положительных главных диагональных миноров матрицы Гурвица требуется, чтобы параметр b удовлетворял неравенствам:  Еще одним критерием, позволяющим исследовать устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения, является критерий Рауса – это алгебраический критерий, позволяющий судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения. Особенно удобен он в тех случаях, когда эти коэффициенты заданы численно, а степень характеристического уравнения высока и использование критерия Гурвица затруднительно. Критерий Рауса заключается в следующем – для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первой графы таблицы Рауса были положительными. Таблица Рауса для характеристического уравнения вида D(p)=cnpn+cn-1pn-1+…+c1p+c0=0 составляется следующим образом:
Для устойчивости системы должно выполняться условие: cn>0, cn-1>0, a13>0, a14>0, …, a1,n+1>0. Пример: задано характеристическое уравнение D(p)=0.104p7+0.33p6+5.5p5+15.5p4+25p3+25p2+19.7p+9.5=0 Определим устойчивость системы. Для этого построим таблицу Рауса:
Все коэффициенты первой графы положительны, следовательно, система устойчива 7. Второй метод Ляпунова Второй, или прямой, метод Ляпунова позволяет исследовать устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений, не производя решения самих уравнений. Мы будем исследовать устойчивость тривиального решения автономных систем дифференциальных уравнений, то есть систем уравнений вида  (1)При этом мы предполагаем, что функции fi(x1,…,xn) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой выпуклой области G: 
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;
3
4
5