Задачи по молекулярной физике. Закон Дальтона, где p I парциальниое давление. Термодинамические процессы в идеальном газе постоянной массы

Скачать 1.13 Mb. Название Закон Дальтона, где p I парциальниое давление. Термодинамические процессы в идеальном газе постоянной массы Анкор Задачи по молекулярной физике.doc Дата 12.04.2017 Размер 1.13 Mb. Формат файла Имя файла Задачи по молекулярной физике.doc Тип Закон #466 страница 1 из 3

1   2   3 I. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ. ПРОЦЕССЫ В ГАЗАХ. Уравнение состояния идеального газа (производные формы): , , , , где P – давление, N – число молекул, k – постоянная Больцмана, V – объём, m – масса газа, T – абсолютная температура, - плотность газа, - молярная масса, R – универсальная газовая постоянная, n – концентрация молекул. Закон Дальтона: , где Pi – парциальниое давление. Термодинамические процессы в идеальном газе постоянной массы: а) изотермический, Т = const, б) изобарный, P = const, в) изохорный, V = const, Примеры решения задач. Задача 1. В баллоне объёмом V=20 л находится аргон под давлением P1 = 1,0 МПа и температуре Т1 = 300 К. После того как из баллона было взято Δm = 20,0 г аргона, температура в баллоне понизилась до Т2 = 280 К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне. Дано: Решение: V = 20 л = 2,0·10-2 м3 Для решения задачи воспользуемся уравнением Р1 = 1,0 МПа = 1,0·106 Па состояния идеального газа, применив его к начальному Т1 = 300 К и конечному состояниям газа: Т2 = 280 К Δm = 20,0 г = 2,0·10-2 кг , (1) R = 8.31Дж/моль·К (2) Р2 - ? Из уравнений (1) и (2) выразим m1 и m2 и найдём их разность: Откуда находим: (3) Проверку решения проведем по размерности физических величин. В правую часть вместо символов величин подставим их единицы измерения. В правой части два слагаемых. Первое из них имеет размерность давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых – давление, а второй – безразмерный. Проверим второе слагаемое: Вычисления произведём по формуле (3) с учётом, что для аргона кг/моль. Ответ: Задача 2. В сосуде находится смесь m1=14,0 г азота и m2=16,0 г кислорода при Т=300 К и давлении Р=8,3 кПа. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными. Дано: Решение Для каждого компонента в смеси газов можно записать уравнения состояния. Давление смеси равно (по закону Дальтона). Суммируя (1) и (2) с учётом закона Дальтона, найдём объём газа: (3) Для плотности смеси находим: (4) Проверка размерности: Вычисления: Ответ: кг/м3. Задача 3. Поршневым воздушным насосом откачивают баллон объёмом V=10,0 л. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объём ΔV=0,4 л. Через сколько циклов давление в баллоне уменьшится от Р0­=0,1 МПа до Р=0,1 кПа? Процесс считать изотермическим, газ – идеальным. Дано: Решение V = 10 л = 1,0 10-2 м3 Для изотермического процесса в первом ΔV = 0,4 л = 0,4 10-3 м3 и следующих циклах можно записать: Р0 = 0,1 МПа = 1,0 105 Па , (1) Р = 0,1 кПа = 100 Па , Т = const ----------------------- N - ? . Получаем рекуррентную формулу: , (2) где N – число циклов. Прологарифмировав соотношение (2), получим для числа циклов (3). Правая часть (3) содержит отношения однородных величин и является безмерной. Вычисления: Ответ: N=176 циклов. Задача 4. Найти максимально возможную температуру идеального газа в процессе, для которого зависимость давления от объёма задана уравнением P=P0-αV2 , где P0=0,1 МПа, α=1,0·107 Па‡моль2/м6, V – объём одного моля газа. Дано: Решение P=P0-αV2 P0=0,1 МПа=105 Па Найдём зависимость . Для этого воспользуемся α=1,0·107 Па‡моль2/м6 уравнением состояния для одного моля газа . Т­max - ? Исключая давление, получим: . (1) Из следующих условий находим максимум функции T(V): Получается, что в области положительных значений V и Т зависимость (1) при объёме моля газа имеет максимальную температуру, равную . Проверка размерности: Вычисления: Ответ: =465 К. Задачи для самостоятельного решения. 1.1. Найти число молекул водорода в объёме 1,55 л при температуре 27°С и давлении 750 мм рт. ст. 1.2. Найти концентрацию и плотность азота при давлении 10-4 мм  рт. Ст. и температуре 15°С. 1.3. Найти массу одной молекулы: азота (N2), аммиака (NH3), ацетиле­на (C2H2),ацетона (CH3COCH3). 1.4. Сколько молекул содержится в 22г водорода? 1.5. Сколько молекул газа находится в колбе объёмом 2 л? Дав­ление газа равно 0,66·105 Па, его температура 17°С. 1.6. Удельный объём газа при нормальных физических условиях (р=760 мм рт. ст., t = 0°С) составляет σ=5,6 м3/кг. Определить молярную мас­су газа. Какой это газ? 1.7. Какое давление оказывает кислород на стенки сосуда объемом 200 л? Масса газа 0,02 кг температура 40°С. 1.8. При какой температуре кислород имеет плотность 1,2 кг/м3? Дав­ление газа 2·105 Па. 1.9. Определить массу метана (СН4), который содержится в баллоне объемом 15 л. Давление газа 106 Па, температура 27°С, масса 1 кг. 1.10. Определить давление, оказываемое азотом на стенки сосуда объ­емом 1 м3. Температуре газа 27°С, его масса 1 кг. 1.11. Баллон ёмкостью 12 л наполнен азотом при давлении 8,1·106 Па и температуре 17°С. Какое количество азота находится в баллоне? 1.12. Температура воздуха в комнате равна 10°С. Объём комнаты 50 м3, давление воздуха 730 мм рт. ст. На сколько изменилась масса воздуха после того, как температура в комнате возросла до 20°С? Считать, что молярная масса воздуха равна 29г/моль. 1.13. 716 мг органического соединения с формулой (С3Н6О)n превраща­ется при 200°С и давлении 750 мм рт. ст. в пар объемом 242,6см3. Найти чис­ло n. 1.14. Найти химическую формулу молекулы некоторого соединения уг­лерода с кислородом, если 1 г этого вещества в газообразном состоянии соз­даёт в сосуде объёмом 1 л давление 0,56·105 Па. Температура газа 27°С. 1.15. Сколько электронов содержится в кислороде, который занимает при давлении 106 Па и температуре 200°С объём 1 л? 1.16. В баллоне объемом 15л находится 96 г неизвестного газа. Давле­ние газа 106 Па, его температура 300К. Определить химическую формулу га­за, если в состав молекулы газа входят атомы водорода и углерода. 1.17. Определить плотность паров ртути при 420°С и давлении 2,3 мм рт. ст. Молярная масса ртути 200 г/моль. 1.18. Определить подъёмную силу воздушного шара радиусом 6 м, за­полненного гелием. Давление гелия и окружающего воздуха равно 740 мм рт. ст., температура 17°С. Молярная масса гелия 4 г/моль, воздуха 29г/моль. 1.19. На сколько градусов надо нагреть воздух внутри воздушного ша­ра, чтобы шар взлетел? Диаметр шара 10 м, масса его оболочки 10 кг. Атмо­сферное давление воздуха 735 мм рт. ст., температура 27 °С, молярная масса воздуха равна 29г/моль. 1.20. На дне цилиндра лежит полый стальной шарик радиусом 2 см и массой 5 г. До какого давления надо сжать воздух в цилиндре, чтобы шарик поднялся? Температура воздуха 20°С. Считать, что для воздуха при больших давлениях справедливо уравнение состояния идеального газа. 1.21. В сосуд, на дне которого лежит твёрдый шар радиусом 5 см, нагне­тают воздух при температуре 27°С. Когда давление в сосуде становится рав­ным 2·105 Па, шар поднимается. Определить массу шара. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль. 1.22. При нагревании на 1°С объём некоторой массы идеального газа увеличился на 1/335 начального объема. Определить начальную температуру, если давление газа было постоянным. 1.23. До какой температуры нужно нагреть запаянный шар объемом 1 л, содержащий 17,5 г водяного пара, чтобы шар разорвался? Стенки шара вы­держивают давление не более 107 Па. 1.24. Цилиндрическая трубка длиной 66см наполовину погружена в ртуть. Верхний конец трубки закрывают пальцем и вынимают трубку из рту­ти. Часть ртути при этом вытекает. Какой длины столбик ртути остался в трубке? Атмосферное давление равно 750 мм рт. ст. 1.25. Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г кислорода при температуре 7°С и давлении 700 мм рт. ст. 1.26. Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделённый от наружного воздуха столбиком ртути длиной 15 см. Когда закрытый конец трубки расположен сверху, длина столбика воздуха равна 30 см, когда трубка расположена так, что открытый конец наверху, длина столбика воздуха равна 20 см. Определить атмосферное давление. 1.27. Закрытый горизонтальный цилиндр разделён поршнем на две час­ти. В одной части находится 8г кислорода, а в другой – некоторое количество гелия. Определить массу гелия, если он занимает 0,67 часть объёма. 1.28. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра име­ется подвижный поршень, который скользит в цилиндре без трения. С одной стороны поршня находится 3 г водорода, а с другой – 17 г азота. Какую часть объёма занимает водород? 1.29. В вертикально расположенном закрытом цилиндрическом сосуде с площадью основания 25 см находится газ, разделённый поршнем массой 1 кг на два равных отсека. Масса газа под поршнем в два раза больше массы газа над, поршнем. Найти давления газа в каждом отсеке. Тре­нием в системе пренебречь, температура в обеих частях сосуда постоянна. 1.30. При нагревании газа при постоянном объёме на 1°С его давление увеличилось на 0,2%. Определить начальную температуру газа. 1.31. В баллоне находится газ при атмосферном давлении 105  Па и тем­пературе 10°С. При открытом вентиле баллон нагрели, а затем вентиль закрыли и баллон остудили до начальной температуры. Давление газа в балло­не после этого стало равно 0,7 атм. На сколько градусов нагрели баллон? 1.32. Сколько молекул воздуха вышло из комнаты объёмом 120 м при увеличении температуры от 15°С до 25°С? Атмосферное давление 750 мм рт. ст. 1.33. Из баллона объемом 10 л вследствие неисправности вентиля выте­кает водород. Начальная температура газа 7°С, давление 5·106 Па. Через не­которое время при температуре 17°С манометр показал такое же давление. Насколько уменьшилась масса газа? 1.34. Определить молярную массу неизвестного газа, свойства которого соответствуют свойствам смеси 64 г кислорода и 8 г гелия. 1.35. Сухой воздух по массе состоит из азота (75,52%), кислорода (23,15%), аргона (1,28%) и углекислого газа (0,05%). Пренебрегая примеся­ми других газов, найти молярную массу сухого воздуха. 1.36. В сосуде объёмом 2 м3 при температуре 100°С и давлении 4·105 Па находится смесь кислорода и 8кг сернистого газа (SO2). Определить парциальные давления газов. 1.37. Плотность смеси азота и водорода при температуре 320 К и давле­нии 2·105 Па равна 0,3 кг/м3. Найдите концентрацию молекул водорода в сме­си. 1.38. В закрытом сосуде емкостью 1 м3 находится 0,9 кг водяного пара и 1,6кг кислорода. Найти давление этой смеси на стенки сосуда при темпера­туре 600°С. Диссоциацией воды пренебречь, 1.39. В сосуде находится 14 г азота и 9 г водорода при температуре 20°С и давлении 105 Па. Найти молярную массу смеси и объём сосуда. 1.40. Найти массу водяных паров в 1 м3 воздуха при 760 мм рт. ст. и тем­пературе 25°С. Относительная влажность воздуха 60%. Давление насыщаю­щего водяного пара при этой температуре равно 3167 Па. 1.41. В баллоне ёмкостью 2 м содержится смесь азота и окиси азота (NO). Определить массу окиси азота. Масса смеси равна 14 кг, температура 300 К, давление 0,6·106 Па. 1.42. Плотность смеси азота и водорода равна 0,3 кг/м3. Какова концен­трация молекул азота в смеси, если концентрация молекул водорода в смеси равна 4,2·1019 см-3? 1.43. Молярная масса смеси кислорода и 8 г гелия равна 18 г/моль. Оп­ределить массу кислорода в смеси. 1.44. В объёме 10 л содержится смесь 2 г водорода и 2 г кислорода. В ре­зультате реакции в баллоне образовалась вода. Определить парциальное давление водорода при 17°С, 1.45. В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре Т, когда азот полностью диссоциирован на атомы, давление стало равно Р (дис­социацией водорода пренебречь). При температуре 2Т, когда оба газа полно­стью диссоциированы, давление в сосуде 3Р. Каково отношение масс азота и водорода в смеси? 1.46. При комнатной температуре жидкая четырёхокись азота частично диссоциирует в двуокись азота N2O4 => 2NO2, которая превращается в газ. В сосуде объёмом 250 см находится 0,9 г N2O4 при 27°С и давлении 960 мм рт. ст. Сколько процентов четырёхокиси азота при этом диссоциировано? 1.47. Газ, имеющий молярную массу и, диссоциирует так, что из исход­ной молекулы образуются две молекулы, массы которых одинаковы. Какова степень диссоциации газа (в процентах), если средняя молярная масса обра­зующейся смеси составляет 62,5% молярной массы исходного газа? 1.48. Найти массу воздуха в колодце площадью сечения 2 м2 и глубиной 6 м. Температура воздуха изменяется по высоте по линейному закону от 7°С до 37°С. Молярная масса воздуха 29 г/моль. Атмосферное давление 100 кПа. 1.49. Воздух находится под давлением 0,1 МПа между двумя одинако­выми горизонтальными пластинами. Температура возрастает линейно от 17°С у нижней пластины до 117°С у верхней. Объём газа между пластинами 3 л. Найти массу воздуха между пластинами. 1.50. Газ, молярная масса которого μ, диссоциирует так, что из исход­ной молекулы образуются две одинаковые молекулы. Степень диссоциации газа равна 60%. Определить молярную массу образующейся смеси. 1.51. Давление воздуха внутри бутылки при температуре 17°С равно 0,1 МПа. На сколько градусов нужно нагреть бутылку, чтобы пробка вылете­ла? Без нагревания пробку можно вытянуть, приложив силу силой 15 Н. Площадь поперечно­го сечения пробки 3 см2. 1.52. Сколько качаний нужно сделать поршневым насосом рабочим объёмом 1 л, чтобы повысить давление от атмосферного 0,1 МПа до 0,3 МПа в со­суде объёмом 10 л? 1.53. За какое число качаний поршневым насосом рабочим с объёмом 1 л можно откачать сосуд объёмом 10 л от атмосферного давления 0,1 МПа до 50 кПа? 1.54. Объём идеального газа изменяется по закону V=αp, где a > 0. Во сколько раз изменится давление газа при уменьшении температуры от 327°С до 27°С? 1.55. При расширении идеального газа давление изменяется в некото­ром процессе по закону V=αp, где a > 0. Во сколько раз изменится объём га­за при увеличении температуры от 400 К до 625 К? 1.56. В некотором процессе давление газа изменяется по закону p=αV2, где α > 0. Определить начальную температуру газа, если после уве­личения объёма в 1,2 раза температура газа оказалась равной 200°С. 1.57. Давление газа изменяется по закону, где α > 0. Во сколь­ко раз изменится температура газа при увеличении его объёма в 1,4 раза? 1.58. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, в котором температура изменяется по закону T=T0+αV3 , где Т0=273 К, α=4·109 К/м3, V - объём моля газа. 1.59. Найти максимальную возможную температуру идеального газа в процессе, при котором давление зависит от объёма по закону Р=Р0 – αV3, где Р0=0,1 МПа, α=2·108 Па/м3, V - объём моля газа. 1.60. В левой части цилиндрического сосуда длиной 1 м, разделённого теплонепроницаемым поршнем, находится водород, а в правой — гелий. Объ­ём гелия в 3 раза больше объёма водорода. При нагревании гелия поршень сместился на 5 см. На сколько градусов изменилась температура гелия, если начальные температуры газов были одинаковы? Температура водорода поддерживается постоянной и равной 300 К. II. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ. 1.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов где m0 – масса молекулы, <υ2> - средняя квадратичная скорость поступательного движения молекулы, <�εk> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, n – концентрация молекул, ρ – плотность. 2. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы поступательного и вращательного движения молекулы приходится средняя энергия . Средняя энергия молекулы газа , где i – число степеней свободы молекулы. Скорости молекул газа. - среднеквадратичная скорость, - средняя арифметическая скорость, - наиболее вероятная скорость. Функция распределения Максвелла . Распределение Больцмана , где EП – потенциальная энергия молекулы n – концентрация молекул, имеющих энергию EП, n0 – концентрация молекул, имеющих энергию EП=0. Примеры решения задач. Задача 1. При давлении P=0,1 МПа молекулы идеального газа с количеством степеней свободы молекулы i=5 имеют среднюю энергию <�ε>=Дж. Определить концентрацию молекул газа. Дано: Решение i=5 Воспользуемся основным уравнением P=Па молекулярно-кинетической теории газов. <�ε>=Дж . (1) n - ? Так как средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы , а средняя энергия молекулы, включая кинетическую энергию вращательного движения, , то с учетом закона равномерного распределения энергии по степеням свободы для <�ε> получаем . (2) Использую (1) – (2), находим: . Проверка размерности: . Вычисления: Ответ: . Задача 2. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и тепловую скорости молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность равна . Дано: Решение Для нахождения искомых скоростей воспользуемся формулами их определений. При этом параметры (температуру и массу молекулы, входящие в эти формулы) выразим из уравнения состояния идеального газа . Таким образом, получаем: - наиболее вероятная скорость; - средняя арифметическая скорость; - среднеквадратичная (тепловая) скорость. Проверка размерности: Вычисления: ; ; . Ответ: , , . Задача 3. Найти наиболее вероятную скорость молекул газа, находящегося в состоянии теплового равновесия, при котором скоростям молекул и соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла. Дано: Решение Распределение Максвелла с точностью до постоянного множителя имеет вид: . Учитывая выражения для определения наиболее вероятной скорости , получаем функцию распределения Максвелла в следующем виде: . Из условия задачи находим: . Для υB получим: . Соответствие размерности очевидно. Вычисления: . Ответ: . Задача 4. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в слоях, расстояние между которыми , отличается в раза. Температура . Диаметр частиц , а их плотность на больше плотности окружающей жидкости. Определить по этим данным число Авогадро. Дано: Решение Распределение частиц, взвешенных в жидкости, подчиняется закону Больцмана , (1) Поле тяжести Земли в пределах рассматриваемых изменений высоты можно считать однородным. Если учесть, что частицы гуммигута испытывают действие выталкивающей силы Архимеда , (2) где V – объем частицы, то для потенциальной энергии частицы следует записать: Число частиц на высоте h1 равно , а на высоте h2>h1: . Найдем отношение n1/n2: . (3) Учитывая, что и , из (3) находим . Проверка размерности: . Вычисления: . Ответ: . Задачи для самостоятельного решения. 2.1. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и водорода при одинаковых температурах. 2.2. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна 500 м/с при давление 4·105 Па. Найти плотность газа. 2.3. Найти среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул газа, плотность которого при давлении 2·105  Пa равна 0,8 г/м2 . 2.4. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинок, взвешен­ных в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул воздуха? Масса пылинки 10-8 г. Воздух считать однородным газом с молярной массой 29г/моль. 2.5. Два одинаковых сосуда содержат одинаковое число молекул кисло- рода. Сосуды соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна 400 м/с, во втором — 500 м/с. Какой будет эта ско­рость, если открыть кран, соединяющий сосуды?   1   2   3