Лекции Общие понятия математики. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания
 Скачать 0.79 Mb.
|
§ 4. Способы математического доказательстваДоказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных утверждений. В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обосновано и также истинно, как и последние. Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный метод. Доказательство – это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке. Доказательства различают прямые и косвенные. Прямые доказательства. 1) Основываясь на некоторых истинных предложениях и условии теоремы строится цепочка дедуктивных умозаключений, которые приводят к истинному заключению. Пример. Докажем, что вертикальные углы равны. Углы 1 и 2 – смежные, следовательно, 1 + 2 = 180о. Углы 2 и 3 – смежные, следовательно, 2 + 3 = 180о. Имеем: 1 = 180о – 2 3 = 180о – 2 1 = 2.   21 3 4 2) Метод математической индукции. Утверждение справедливо для всякого натурального числа п, если: оно справедливо для п = 1 и из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального п = k следует его справедливость для п = k + 1. (Подробнее будет рассмотрено на старших курсах.) 3) Полная индукция (смотри ранее). Косвенные доказательства. 1) Метод от противного. Пусть требуется доказать теорему А В. Допускают, что ее заключение ложно, а значит, его отрицание  истинно. Присоединив предложение к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых есть и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок. Полученное противоречие доказывает теорему.Пример. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Дано: х с, у с. Доказать, что х у. Доказательство. Пусть прямая х не параллельна прямой у, т.е. прямые пересекаются в некоторой точке А. Следовательно, через точку А проходят две прямые, параллельные прямой с, что невозможно по аксиоме параллельности. 2) Доказательство, основанное на законе контрапозиции: вместо теоремы А В доказывают равносильную ей теорему  . Если она истинна, то исходная теорема тоже истинна.Пример. Если х2 – четное число, то х – четное число. Доказательство. Предположим, что х – нечетное число, т.е. х = 2k + 1 х2 = (2k + 1)2 = = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 – нечетное. Контрольные вопросы
Оглавление Глава 1. Высказывания 2 § 1. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания 2 § 2. Законы алгебры высказываний 4 Глава 2. Элементы теории множеств 6 § 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество 6 § 2. Способы задания множеств 6 § 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств 7 § 4. Операции над множествами 8 § 5. Законы операций над множествами 9 § 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств 10 § 7. Понятие разбиения множества на классы 11 Глава 3. Соответствия 13 §1. Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств 13 В 13 § 2. Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий 13 § 3. Взаимно однозначное соответствие 15 15 15 § 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества 15 § 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций 16 § 6. Виды функций 17 § 7. Обратная функция 20 Глава 4. Отношения на множестве 22 § 1. Понятие отношения. Способы задания отношений 22 § 2. Свойства отношений 23 § 3. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы 25 § 4. Отношение порядка. Упорядоченные множества 26 Глава 5. Предикаты и теоремы 27 § 1. Предикаты и операции над ними 27 § 2. Высказывания с кванторами и их отрицания 28 § 3. Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие 29 § 4. Строение и виды теорем 30 Контрольные вопросы 31 Глава 6. Математические понятия 32 § 1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями 32 § 2. Определение понятия. Требования к определению понятия 33 Глава 7. Математические доказательства 35 § 1. Умозаключения и их виды 35 § 2. Схемы дедуктивных умозаключений 36 § 3. Проверка правильности умозаключений 37 § 4. Способы математического доказательства 40 |