Дипломная работа По специальности 230105. 65 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем
 Скачать 493.29 Kb.
|
|
Министерство образования и науки РФ "ФГАОУ ВПО "Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова" Институт математики и информатики Кафедра информационных технологий Гармаев Арсалан Васильевич «Каркасно-пружинная модель твердого тела» Дипломная работа По специальности 230105.65 - «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Научный руководитель: д.т.н. Мордовской С.Д., заведующий КТИ ИМИ Якутск 2012 СодержаниеСодержание 2 1.Исследование и анализ деформации упругих тел. 5 1.Основные понятия, теории и методы построения математической модели деформирования. 5 2.Среда разработки Delphi 15 3.Использованные технологии и алгоритмы 17 2.Реализация рассмотренной модели в виде отдельного программного обеспечения. 18 Заключение 29 Список использованной литературы 30 Приложение 31 Современные тенденции развития информационных технологий все больше предлагают варианты решения традиционных задач механики в виртуальной среде. Математические модели основных задач строительной механики представляют собой краевую задачу для дифференциальных уравнений или одну из задач линейной алгебры, или задачу математического программирования. Построить математическую модель – это значит, применяя определенные соотношения и методы сопротивления материалов, теории упругости и строительной механики, составить функциональную зависимость между выходными входными параметрами решаемой задачи. Необходимым условием успешного решения задачи является правильный выбор математической модели, адекватно отражающей исследуемые динамические процессы. Одной из таких задач, несомненно, является задача построения общей, математической модели расчета деформаций упругих тел. Математическое описание процесса деформирования каркасно-пружинной модели твердого тела в самом общем случае представляется в виде вариационных принципов теории упругости. Эти принципы включают в себя некоторые основные теоремы в форме интегральных равенств, связывающих напряжения, деформации и перемещения во всем объеме деформируемого тела. Вариационные принципы представляют собой теоретическую основу современных численных методов, позволяющих находить эффективное решение задач в тех случаях, когда аналитическое интегрирование уравнений теории упругости не представляется возможным. Целью данной работы является построение программного обеспечения реализующее, в режиме реального времени, моделирование системы деформации упругих тел, в интерактивной среде. В соответствии с целью поставлены следующие задачи:
Объектом исследования выступает деформирование каркасно-пружинной модели твердого тела; предметом исследования является математическая модель расчета деформаций каркасно-пружинной модели твердого тела. Дипломная работа состоит из двух глав. В первой главе рассмотрена общая теория каркасно-пружинной модели твердого тела, дается описание среды разработки, дается характеристика использованных компонентов, технологий и алгоритмов. Во второй главе разрабатывается структура проекта, схема работы программы, а также реализация рассмотренной модели в виде отдельного программного обеспечения.
1.Основные понятия, теории и методы построения математической модели деформирования.Деформация – это изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Деформация физического тела вполне определяется, если известен вектор перемещения каждой его точки. Наиболее простые виды деформации тела в целом:
В большинстве практических случаев наблюдаемая деформация представляет собой совмещение нескольких одновременных простых деформаций. В конечном счёте, однако, любую деформацию можно свести к двум наиболее простым: растяжению (или сжатию) и сдвигу. Тело, или физическое тело в физике — материальный объект, имеющий массу, объем, и отделенный от других тел границей раздела. Тело есть форма существования вещества. Деформация твёрдых тел в связи со структурными особенностями последних изучается физикой твёрдого тела, а движения и напряжения в деформируемых твёрдых телах — теорией упругости и пластичности. У жидкостей и газов, частицы которых легко подвижны, исследование деформации заменяется изучением мгновенного распределения скоростей. Физика твердого тела — раздел физики конденсированного состояния, задачей которого является описание физических свойств твёрдых тел с точки зрения их атомарного строения. Интенсивно развивалась в XX веке после открытия квантовой механики. Развитие стимулировалась широким спектром важных задач прикладного характера, в частности, развитием полупроводниковой техники. Прочность (в физике и материаловедении) — свойство материала сопротивляться разрушению под действием внутренних напряжений, возникающих под воздействием внешних сил. Свойство конструкции выполнять назначение, не разрушаясь в течение заданного времени. Ползучесть материалов (последействие) — изменение с течением времени деформации твёрдого тела под воздействием постоянной нагрузки или механического напряжения. Ползучести в той или иной мере подвержены все твёрдые тела — как кристаллические, так и аморфные. Механическое напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием различных факторов. Механическое напряжение в точке тела определяется как отношение внутренней силы к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения. Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют смещению частиц, ограничивая его в большинстве случаев некоторой малой величиной. Все реальные тела под воздействием сил в той или иной степени меняют свою форму, деформируются. Абсолютно упругое тело является самой простой моделью, в рамках которой учитывается возможность деформации (изменения формы) реальных тел. Все разнообразие деформаций сводится к двум основным типам, которые можно назвать элементарными. Этими элементарными деформациями являются растяжение (и сжатие) и сдвиг. Наглядно представить эти деформации помогает рисунок 1. Здесь показано сечение параллелепипеда, жестко закрепленного на массивном жестком столе. Пусть внешняя сила равномерно распределена по верхней грани параллелепипеда.  Рис. 1 При этом, очевидно, такая же по величине, но обратная по направлению сила действует на параллелепипед со стороны стола. Существует два независимых направления силы по отношению к грани, к которой эта сила приложена: нормальное (на рисунке слева) и тангенциальное (на рисунке справа). В первом случае действие силы приводит к сжатию образца, если сила направлена внутрь тела, и к растяжению в противном случае. Количественной характеристикой растяжения (сжатия) является относительное удлинение  (1)где  − длина параллелепипеда до приложения нагрузки,  − во время действия внешней силы. При растяжении  , при сжатии  . Величину  называют удлинением образца.Во втором случае (см. рисунок 1 справа) действие силы приводит к смещению слоев тела параллельно друг другу вдоль направления действия силы. Сдвиг характеризуется тангенсом угла  . При малых деформациях этот сдвиг мал и можно полагать  .Исследование деформаций тел сводится к установлению зависимости  и от приложенной нагрузки. В качестве меры последней выбирается величина  отношения приложенной внешней силы  к площади грани  , на которую эта сила непосредственно действует:  . Участок кривой соответствует так называемым упругим деформациям. Особенность их в том, что при снятии нагрузки меньшей  (при растяжении) или  (при сжатии) деформации исчезают. Если внешняя сила превысит предел упругости  деформации, станут неупругими. То есть при снятии нагрузки всегда будет иметь место некоторая остаточная деформация. Легко сообразить, что в области неупругих деформаций, нет однозначной зависимости между величиной приложенной нагрузки и величиной деформации. Такую ситуацию весьма затруднительно описать теоретически.Для упруго деформированного тела согласно закону Гука имеет место однозначная зависимость между приложенной нагрузкой и возникающей деформацией, которая в случае малых деформаций линейна:  ,  . (2)где  - модуль Юнга (модуль растяжения),  - модуль сдвига.Модель абсолютно упругого тела предполагает, что подобная линейная зависимость имеет место при любой деформации. Пластические деформации — это необратимые деформации, вызванные изменением напряжений. Деформации ползучести — это необратимые деформации, происходящие с течением времени. Способность веществ пластически деформироваться называется пластичностью. Деформации разделяют на обратимые (упругие) и необратимые (пластические, ползучести). Упругие деформации исчезают после окончания действия приложенных сил, а необратимые — остаются. В основе упругих деформаций лежат обратимые смещения атомов металлов от положения равновесия (другими словами, атомы не выходят за пределы межатомных связей); в основе необратимых — необратимые перемещения атомов на значительные расстояния от исходных положений равновесия (то есть выход за рамки межатомных связей, после снятия нагрузки переориентация в новое равновесное положение). При упругой деформации её величина не зависит от предыстории и полностью определяется механическими напряжениями, что является однозначной функцией от напряжений. Для большинства веществ эту зависимость можно с хорошей точностью считать прямой пропорциональностью. При этом упругая деформация описывается законом Гука. Главная задача теории упругости — выяснить, каковы будут деформации тела, и как они будут меняться со временем при заданных внешних воздействиях. Основной системой уравнений для решения этой задачи являются три уравнения равновесия. Они содержат шесть неизвестных компонент симметричного тензора напряжений. Симметричность тензора напряжений постулируется гипотезой парности касательных напряжений. Для замыкания системы используются так называемые уравнения совместности деформаций. Действительно, если тело в процессе деформации остаётся сплошным, значит, компоненты тензора деформации не могут быть независимыми. Математически это отражает простой факт — шесть компонент деформации, составляющие симметричный тензор деформации, зависят от трёх функций — составляющих перемещения точки твёрдого тела (симметричные соотношения Коши). Шесть уравнений совместности деформаций и уравнения обобщённого закона Гука замыкают задачу теории упругости. Закон Гука — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком). Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности. Наибольшее напряжение, при котором закон Гука справедлив, называется пределом пропорциональности. В словесной форме закон звучит следующим образом: «Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации». Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:  (3)Здесь – сила натяжения стержня; – абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а  – называется коэффициентом упругости (или жёсткости).Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения и длины) явно, записав коэффициент упругости как  (4)Формула (4) показывает величину называется Модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.Если ввести относительное удлинение  (5)и нормальное напряжение в поперечном сечении  (6)то закон Гука в относительных единицах запишется как  (7)В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества. Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме  (8)Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях. Наибольшее напряжение, при котором закон Гука справедлив, называется пределом пропорциональности. Предел пропорциональности (  ) — максимальная величина напряжения, при котором ещё выполняется закон Гука, то есть деформация тела прямо пропорциональна приложенной нагрузке (силе). Следует заметить, что во многих материалах нагружение до предела упругости вызывает обратимые (то есть упругие в общем-то) деформации, но непропорциональные напряжениям. Кроме того эти деформации могут «запаздывать» за ростом нагрузки как при нагружении, так и при разгружении.Если от рассмотрения растяжения стержня перейти к рассмотрению некоторого упругого тела, подверженного действию заданных сил, то следует выбрать некоторую точку  и перейти к рассмотрению ее малой окрестности в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям . Как известно, на гранях параллелепипеда действуют напряжения, которые задаются тензором σ, что приводит к деформациям, которые задаются тензором. В общем случае закон Гука устанавливает связь между компонентами этих тензоров.Тензор деформации  — тензор, который характеризует сжатие (растяжение) и изменение формы в каждой точке тела при деформации. Тензор деформации Коши-Грина в классической сплошной среде (частицы которой являются материальными точками и обладают лишь тремя трансляционными степенями свободы) определяется как (9)Здесь  — вектор, описывающий смещение точки тела: его координаты — разность между координатами близких точек после и до  деформации. Дифференцирование производится по координатам в отсчетной конфигурации (до деформирования). Расстояния до и после деформации связаны через  : +2 (10)(по повторяющимся индексам ведётся суммирование). Тензор напряжений (σ) — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях. Коэффициент Пуассона характеризует упругие свойства материала. При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (то есть продольная длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. Коэффициент Пуассона показывает, во сколько раз изменяется поперечное сечение деформируемого тела при его растяжении или сжатии. Для абсолютно хрупкого материала коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно несжимаемого — 0,5. Для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0,3, для резины он примерно равен 0,5. (Измеряется в относительных единицах: мм/мм, м/м). Математическая формулировка  задачи линейной теории упругости в декартовой системе координат записывается с помощью дифференциальных уравнений в частных производных:
Здесь  – компоненты массовых сил, отнесенные к единичному объему;  -компоненты заданных внешних сил, отнесенные к единице площади поверхности;  – заданные компоненты перемещений ( );  ,  – компоненты тензоров четвертого ранга упругих постоянных; направляющие косинусы единичной внешней нормали к поверхности;  –часть поверхноститела, на которой заданы внешние нагрузки;  – часть поверхноститела, на которой заданы перемещения  +.Имеем пятнадцать уравнений относительно пятнадцати неизвестных, а именно: шесть компонентов тензора напряжений  , шесть компонентовтензора деформаций , три компонента тензораперемещений .Силу, действующую на  точку со стороны точки, соединенной пружиной можно определить по формуле: (11)Где  – жесткость,  – длина пружины в ненапряженном состоянии, соединяющей точки с координатами  ,  , соответственно.Координаты  закрепленных точек фиксированы. Для равновесного положения незакрепленных узлов сумма сил действующих на узел равна нулю  и для всех  незакрепленных точек получаем систему линейных уравнений: (12)Для двумерной задачи число уравнений удваивается: (13) (14)Для фиксированных точек уравнения имеют вид:  (15) (16)Для небольшого количества точек систему уравнений можно решить итерационным методом Гаусса-Зейделя (пределы суммирование опущены):  (17) (18)Метод Гаусса-Зейделя является классическим итерационным методом решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) почти за линейное время.Однако при решении больших СЛАУ (свыше тысячи уравнений) важным фактором является значительное накопление ошибок округления, возникающих в процессе огромного количества арифметических операций. Так, например, при использовании метода Гаусса число умножений примерно равно  , где – порядок системы, – ширина «ленты». В этом случае уже при нескольких сот уравнений рекомендуется применять двойную точность вычислений (16 знаков после запятой), иначе следует считаться с неизбежной погрешностью получаемого решения. |
;
или обратные им соотношения
;
на