Теория устойчивости. Реферат по математическим основам теории систем на тему Теория устойчивости систем Ивлев А. А
 Скачать 3.23 Mb.
|
|
11. Экспоненциальная устойчивость Пусть свободное движение системы S описывается уравнением  (1)где функция  определена, непрерывна и дифференцируем на некотором открытом множестве Полагаем, что  , то есть существует равновесие  , а в области определения  выполняются неравенства:  – решение данной системы при начальных условиях  . Равновесие называется экспоненциально устойчивым, если для любых значений из области ||x0||<, t0>0 можно выбрать такие два положительные числа M и a, что для всех t>t0 справедливо неравенство: . (2)Кривая  будет мажорантой для кривой  .Согласно теореме Красовского, если каждое решение системы (1) удовлетворяет условию (2) экспоненциальной устойчивости положения равновесия , то в области  существует функция Ляпунова  , такая, что ее полная производная по времени  в силу уравнений движения  имеет знак, противоположный знаку V. Функция V удовлетворяет оценкам: , (3)где с1, c2, c3, c4 – вещественные числа,  .Условия теоремы всегда выполняются для линейных стационарных асимптотически устойчивых систем, и в этом случае функция Ляпунова не зависит от t и представляет собой квадратичную форму  ,При t в устойчивой свободно движущейся системе с функцией Ляпунова вида  и, следовательно, функция Ляпунова V также стремится к нулю. Из (3) следует, что .Заменим во втором неравенстве из (3) правую часть  большой величиной  . Неравенство усилится: . (5)Это линейное дифференциальное неравенство, на основе которого можно получить мажоранту и построить мажорирующую модель сравнения.  . (5a)Это уравнение, соответствующее предыдущему неравенству или порожденное неравенством. Решение этого уравнения имеет вид:  . (6)Представим полученное решение в виде равенства:  ,где (t) – неизвестная функция времени, о которой можно сказать лишь то, что она неотрицательна для всех tt0, для которых выполняется (5). Тогда решение:  .Поскольку (t) положительна, получим неравенство  . (7)Если выбрать V0=z0, правая часть этого неравенства становится равной решению (6), и мы получим:  .Заменим в правой части (7) V0 на бόльшую величину  , а в левой V(t) – на меньшую  : . (8)Извлекая из обоих частей квадратный корень, получим линейное относительно  неравенство .Таким образом решение z(t) уравнения (5a), определяемое (6), будет мажорировать: а) функцию Ляпунова V(t), если V(t0)≤z0, что следует из (7) и (6); б) функцию квадрата нормы переменной состояния  , если  , что вытекает из (8) и (6).Поскольку матрица H положительно определенная , то все ее собственные значения вещественны и положительны, и мы можем выразить через них c1 и c2:  (9)где m(H) – наименьшее, а M(H) – наибольшее из собственных значений матрицы H. Далее  .Так как H – симметрична, то  ,Отсюда  , или  (10)При этом в (9)–(10) было использовано свойство симметрических вещественных матриц:  . (11)Наибольшее M(H) и наименьшее m(H) собственные значения матрицы H, если H положительно определена, будут вещественными и положительными. Таким образом для функции , независимо от вида (1) и (3) можно записать: Коэффициент  будет зависеть от вида уравнения.Для линейной стационарной системы  имеем  .Обозначим  , где G – положительно определенная симметрическая матрица. Следовательно, ,то есть в данном случае также является квадратичной формой, и на основании (11) можно записать .Таким образом, для квадратичных функций Ляпунова и для корней квадратных из них в случае стационарной системы все коэффициенты в неравенствах (3) Красовского выражены через собственные значения матриц H и G. 12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления Пусть система S описывается уравнением:  .Требуется найти такое управление u(t), что оно переводит систему из некоторой начальной точки  в начало координат 0n, то есть  .Будем искать управление u(t) в виде  (1)– это главная обратная связь по состояниям. Подставим эту функцию в исходное уравнение. Получим  .Для оценки устойчивости этой линейной системы воспользуемся первым методом Ляпунова. Согласно первому методу Ляпунова, у матрицы  все собственные числа должны быть отрицательны. Зададим некоторые собственные числа 1,…,n<0 для этой матрицы и из ее характеристического полинома найдем числа k1,…,kn, составляющие вектор  . Мы сможем найти вектор в случае, если система S полностью управляема.Таким образом, введя модальное управление вида (1), можно обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы .Методику нахождения модального управления лучше всего пояснить на примере. Пример: требуется найти управление, переводящее систему  в состояние  .Управление будем искать в виде  ;Подставим это управление в исходное уравнение. Получим  . .Найдем характеристический полином этой матрицы:  . (2)Зададим корни характеристического уравнения такими:  . Теперь, если мы подставим их в характеристическое уравнение, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными.Поступим иначе: составим характеристический полином, корнями которого будут  и  : .Однако полином (2) имеет те же самые корни, что и последний полином, следовательно, мы записали одно и то же, то есть  .Два полинома равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной (в данном случае ). Получим систему уравнений:  Отсюда находим, что  . Следовательно, искомое управление будет иметь вид: .13. Асимптотический наблюдатель Люенбергера Рассмотрим систему  (1)Если эта система полностью наблюдаема, то можно построить такое устройство, которое называется асимптотический наблюдатель Люенбергера, на выходе которого получим оценку вектора состояния:  , (2)где  – так называемая невязка между выходом и наблюдением;  – полученная оценка состояния и выхода.Назовем вектором ошибки разность между состоянием системы  и его оценкой  : .Вычтем из первого уравнения системы (1) первое уравнение системы (2). Получим  .Если (A–LCT) – гурвицева матрица, то  , и значит  .Матрица  будет или не будет гурвицевой в зависимости от матрицы L. То есть, мы можем обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы , задавая матрицу L.Пример: найти L для системы  для корней характеристического уравнения  .Решение:  .Составим характеристические полиномы:  Корни этих полиномов должны быть равны, поэтому приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях:  Отсюда получим, что  .Чтобы , необходимо, чтобы у гурвицевой матрицы  главные диагональные миноры были положительными. Проверим это: Значит, .Список литературы
|