С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи

Скачать 198.08 Kb. Название С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи Анкор Matematichesskoe_modelirovanie_1.docx Дата 05.01.2018 Размер 198.08 Kb. Формат файла Имя файла Matematichesskoe_modelirovanie_1.docx Тип Документы #14784

11) С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории заключение. Динамические модели экономики — модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные. 12) Именно на стадии реализации произведенной продукции (предоставленной работы, оказанной услуги) становится возможным оценить эффективность хозяйственной деятельности, то есть рассчитать показатели прибыли и рентабельности. Рентабельность - это показатель, демонстрирующий соотношение полученной промышленной организацией прибыли с определенными величинами, численно характеризующими факторы образования прибыли. К ним относят активы, выручку, себестоимость реализованной продукции и т.д. Прибыль - показатель абсолютный и рассчитывается как разность между доходами и соответствующими расходами, благодаря которым стало возможным получение доходов. Между тем рентабельность - показатель относительный и рассчитывается как отношение прибыли к соответствующим факторам (расходы, выручка, активы), которые способствовали получению данной прибыли. Виды финансовых результатов: ·валовая прибыль; ·прибыль (убыток) от реализации товаров, продукции, работ, услуг; ·прибыль (убыток) от операционных доходов и расходов; ·прибыль (убыток) от внереализационных доходов и расходов; ·прибыль (убыток) отчетного периода; ·прибыль (убыток) до налогообложения; ·чистая прибыль (чистый убыток). 15) Линейное программирование — это частный раздел оптимального программирования. В свою очередь оптимальное (математическое) программирование — раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации. В экономике такие задачи возникают при практической реали- -зации принципаоптимальности в планировании и управлении.Необходимымусловием использования оптимального подхода к планированию и управлению(принципаоптимальности) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).Суть принципаоптимальности состоит в стремлении выбратьтакое планово-управленческое решение X = хп), гдеXj, (у = 1, га) — его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта. 13) Коэффициенты полных затрат-сумма прямых и косвенных затрат продукции одной отрасли на производство единицы продукции другой отрасли. (Е — А)-1У = X, где (Е — А)-1 — матрица К. п. з., У — вектор — столбец конечного продукта, Х — вектор — столбец выпуска продукции.  12) Коэффициенты прямых затрат - отраслевые показатели затрат сырья, материалов, топлива и энергии на производство единицы продукции.  aij = xij / Xj ,где aij — коэффициент прямых затрат продукта i на производство единицы продукта j, xij — общий объём затрат продукта i на производство продукта j, Xj — весь объём производства продукта j. 14) определения оптимального размера производства. где C(x) - функция, учитывающая зависимость себестоимости продукции от мощности предприятия; x - искомая мощность предприятия; p - плотность сырья в зоне расположения предприятия, т.е. количество товарного сырья, приходящегося на квадратный километр площади; t(xp)/x - функция, учитывающая зависимость удельных транспортных расходов от мощности предприятия и плотности сырья; E - нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений в отрасли; K(x)/x - функция, отражающая зависимость удельных капитальных вложений от мощности предприятия.  16) Оптимальным решением или оптимальным планом задачи линейного программирования называется такое ее решение , которое удовлетворяет всем ограничениям системы , условию и при этом дает максимум (минимум) целевой функции общий вид задачи линейного программирования   Допустимое решение – это совокупность чисел (план) X = (x1, x2, ... , xn), удовлетворяющих ограничениям задачи. Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение.  18) Неограниченность целевой функции Если в ведущем столбце нет ни одного строго положительного элемента, то задача не имеет оптимального решения, а целевая функция неограниченна снизу (в задаче на минимум) или неограниченна сверху (в задаче на максимум).  Традиционная экономическая интерпретация двойственной задачи ЛП базируется на модели простейшей задачи производственного планирования 20)  Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем: если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции; если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1; если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства; если некоторая переменная xj не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательнымпеременными: x3= x3+- x3-, где x3+, x3-≥ 0. 19)Канонической формой задачи линейного программированияназывается задача вида 21) геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений. 22)Симплексный метод-Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение, либо установить, что оптимальное решение отсутствует. Основное содержание симплексного метода заключается в следующем: Указать способ нахождения оптимального опорного решения Указать способ перехода от одного опорного решения к другому, на котором значение целевой функции будет ближе к оптимальному, т.е. указать способ улучшения опорного решения Задать критерии, которые позволяют своевременно прекратить перебор опорных решений на оптимальном решении или следать заключение об отсутствии оптимального решения. Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования Для того, чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее: Привести задачу к каноническому виду Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений) Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения 23) Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое решение, для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам, линейно независимы. Методы нахождения начального опорного плана Как и при решении задачи линейного программирования, симплексным методом, определение оптимального плана транспортной задачи начинают с нахождения какого-нибудь ее опорного плана. Для определения опорного плана существует несколько методов:          Метод северно-западного угла. При составлении первоначального опорного плана методом северо-западного угла стоимость перевозки единицы не учитывается, поэтому построенный план далек от оптимального, получение которого связано с большим объемом вычислительных работ. Обычно рассмотренный метод используется при вычислениях с помощью ЭВМ.          Метод минимального элемента. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисели,затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.       Метод аппроксимации Фогеля. При определении опорного плана транспортной задачи методом аппроксимации Фогеля находят разность по всем столбцам и по всем строкам между двумя записанными в них минимальными тарифами. Эти разности записывают в специально отведенных для этого строке и столбце в таблице условий задачи. Среди указанных разностей выбирают минимальную. В строке (или в столбце), которой данная разность соответствует, определяют минимальная стоимость. Если минимальная стоимость одинакова для нескольких клеток столбца (строки), то для заполнения выбирают ту клетку, которая расположена в столбце (строке), соответствующем наибольшей разности между двумя минимальными стоимостями, находящимися в данном столбце (строке). 24)Этапы оперативно-календарного планирования Задачей оперативно-производственного планирования является организация равномерной, ритмичной и слаженной работы всех производственных подразделений предприятия для обеспечения своевременного выпуска продукции в установленном объеме и номенклатуре при наиболее эффективном использовании всех производственных ресурсов. Оперативно-производственное планирование (ООП) заключается в разработке конкретных производственных заданий на короткие промежутки времени (месяц, декаду, сутки, смену, час) как для предприятия в целом, так и для его подразделений, и в оперативном регулировании хода производства по данным оперативного учета и контроля. 25) Исходными данными основной задачи производственного планирования         трудоемкость выполняемых работ;         сроки поставки товаров на рынок и другие показатели социально-экономических планов предприятия. 26) Основными задачами народнохозяйственного планирования были следующие: обеспечение прогрессивных пропорций в развитии общественного производства, устойчивого сбалансированного роста и рационального размещения народнохозяйственного комплекса; ориентация всех звеньев экономики на достижение высоких конечных народнохозяйственных результатов с наименьшими затратами; всемерное развитие прогрессивных форм организации общественного производства; ускорение внедрения достижений научно-технического прогресса; улучшение использования производственных фондов, материальных и трудовых ресурсов, увеличение прибыли и рентабельности субъектов хозяйствования. 29)Первая теорема двойственности  Чтобы прямая задача  max x Z(X) и двойственная задача  min y f(Y) имели оптимальные решения X* и Y* необходимо и достаточно, чтобы существовали допустимые решения для каждой из них (рис. 3.5).  Рис. 3.5. Пара двойственных задач Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая его имеет. Причем экстремальные значения их целевых функций равны:Z(X*) = f(Y*), в других случаях Z(X) ≤ f(Y).  Установим экономический смысл первой теоремы двойственности (для задачи об оптимальном использовании ресурсов).  если сj - цена реализации единицы выпускаемой продукции j;  хj - объем выпускаемой продукции j;  bi - объем имеющихся ресурсов i;  yi - цена ресурса i,  то допустимый план производства X* и вектор оценок ресурсов Y* оказываются оптимальными тогда, когда доход от реализации всех видов продукции будет равен затратам на все виды ресурсов, используемых в производстве:  30) Вторая теорема двойственности  Чтобы допустимые решения X* и Y* пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнить условия:  Установим экономический смысл второй теоремы.  Из условия (3.26): если хj* ≠ 0, то - плата за ресурсы, предназначенные для изготовления продукции j, в оптимальном плане равна цене этой продукции. Иначе, если плата за ресурсы, расходуемые на единицу продукции, выше цены этой продукции: , то в оптимальном плане объем j-й продукции должен быть равен нулю: хj* = 0.  Из условия (3.27): если хj* ≠ 0, то - ресурс i-го вида в производстве используется полностью, без остатка, он дефицитен. Оценка yi характеризует степень дефицитности ресурса. Иначе,  если 1-й ресурс не дефицитен, остается от производства продуктов , то оценка дефицитности i-го ресурса уi* = 0.  Между переменными прямой и двойственной задач можно установить взаимно-однозначное соответствие. Если решением прямой задачи будет вектор X = (х1,...., хn, хn+1,...., хn+m), то переменные х1,...., хn характеризуют объемы производства соответствующей продукции, а переменные xn+1,...,xn+m → xn+i, i = 1,m - остатки ресурсов i-го вида. Решением двойственной задачи является вектор  Y = (y1, ..., ym, ym+1,..., ym+n).  Переменные y1, ..., ym характеризуют степень дефицитности соответствующих ресурсов в объеме bi единиц, а переменные ym+1,..., ym+n → ym+j, j = l,n - штраф за выпуск продукции j-гo вида.  Для оптимальных решений пары двойственных задач условия второй теоремы (3.26)-(3.27) можно записать в виде  xj* · ym+j = 0, j = l,...,n;  yi* · xn+i = 0, i = l,...,m;  31) Третья теорема двойственности или теорема об оценках. Двойственные оценки показывают приращение функции цели, вызванное малым изменением свободного члена соответствующего ограничения задачи математического программирования, точнее Для этого в равенстве (2.36) дифференциалы заменим приращениями. ПолучимПри  имеем Отсюда величина двойственной оценки численно равна изменению целевой функции при изменении соответствующего свободного члена ограничений на единицу. В прикладныхзадачах двойственные оценкиyf часто называются скрытыми, теневыми ценами или маргинальными оценками ресурсов.  32) Объективно обусловленные оценки-термин, употребляемый для обозначения частных производных целевой функции, взятых по отношению к ограничениям в задачах линейного или выпуклого программирования.  В зависимости от характера постановки задачи О. о. о. могут отражать производственно-экономические условия деятельности отдельных участков (цехов), предприятий, отраслей, отдельных районов и народного хозяйства в целом. В последнем случае полученные оценки теоретически могут быть интерпретированы как цены оптимального народно-хозяйственного плана или как общественные (рентные) оценки ресурсов (природных, фондов, труда). Они характеризуют приращение критерия оптимальности социалистической системы (прирост благосостояния и уровня удовлетворения общественных потребностей), вызванное приростом производства того или иного вида продукции (или приращения ресурса), а также характеризуют предельно допустимый размер затрат на производство дополнительной единицы этой продукции. Это свойство О. о. о. сохраняют лишь в условиях малых хозяйственных изменений, и их значения, как правило, меняются вместе с разработкой и изменением планов развития производства. Органическая связь О. о. о. с планом четко прослеживается в экономико-математических задачах любого уровня, не только в статических, но и в динамических моделях, где они дают возможность сопоставления разновременных затрат и эффектов. 33) Одним из наиболее значительных и ярких достижений в области экономико-математических исследований было открытие Леонидом Витальевичем Канторовичем (1912-1986) метода линейного программирования. Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) посредством составления программ и применения различных методов их последовательного решения, существенно облегчающих расчеты и достижение искомых результатов. Двойственные оценки дают принципиальную возможность соизмерять не только ценовые, затратные показатели, но и полезности. При этом двойственные, взаимосвязанные оценки соответствуют конкретным условиям. Если изменяются условия, меняются оценки. В известной мере поиск оптимума - это определение общественно необходимых затрат, учитывающих, с одной стороны, трудовые, стоимостные затраты, а с другой-общественные потребности, полезности продукта для потребителей. 34) Идея проверки адекватности модели - установление соответствия построенной модели реальному объекту (процессу). Анализ адекватности модели преследует цель оценить, насколько построенная теоретическая модель взаимосвязи признаков отражает фактическую зависимость между этими признаками, и тем самым оценить практическую пригодность синтезированной модели связи. 35) Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение ЦФ, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу. (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи). Это свойство позволяет выявить основные направления расшивки узких мест в производственной деятельности. 2.Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитны и какие совсем не дефицитны. 3.Двойственные оценки позволяют определять нормы заменяемости ресурсов (предполагается неабсолютная заменяемость, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения критерия оптимальности). 4.Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений. С их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов. ЕСЛИ ∆j = ∑ AijYi*- Cj ≤ 0 то выгодно, ЕСЛИ ∆j > 0 то невыгодно. 36)