Главная страница
Навигация по странице:

  • ФИЛИАЛ ГОУ ВПО «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» В Г. НИЖНЕВАРТОВСКЕ

  • Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» для направления «Менеджмент»

  • Свойство 1.

  • Пример.

  • Геометрическая вероятность

  • Теоремы сложения и умножения вероятностей

  • Теорема сложения вероятностей несовместных событий

  • Теорема сложения вероятностей совместных событий

  • Теорема умножения вероятностей для независимых событий

  • Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

  • Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона

  • Вопросы к экзамену по дисциплине Математика для направления Менеджмент



    НазваниеВопросы к экзамену по дисциплине Математика для направления Менеджмент
    Анкорvoprosy_k_ekzamenu_4sem_Matematika.doc
    Дата29.03.2018
    Размер242 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаvoprosy_k_ekzamenu_4sem_Matematika.doc
    ТипВопросы к экзамену
    #18549



    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

    ФИЛИАЛ ГОУ ВПО «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

    В Г. НИЖНЕВАРТОВСКЕ

    Кафедра «Гуманитарные и естественнонаучные дисциплины»


    УТВЕРЖДАЮ

    Заведующая кафедрой

    Г.Г.Харисова

    _________________2012г.

    Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»

    для направления «Менеджмент»

    (4 семестр)


    1. Случайные события Понятия и определения. Классификация. Элементы комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки. Примеры.

    2. Классическое и геометрическое определение вероятности. Примеры.

    3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса.

    4. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли, формула Пуассона.

    5. Повторение независимых испытаний. Локальная и интегральная теорема Лапласа.

    6. Дискретная случайная величина. Способы задания д.с.в. Функции распределения д.с.в.

    7. Дискретная случайная величина. Числовые характеристики д.с.в.

    8. Законы распределения вероятностей д.с.в.: биномиальный, Пуассона.

    9. Непрерывные случайные величины. Функции распределения, плотность вероятности.

    10. Числовые характеристики н.с.в.: математическое ожидание, дисперсия, с.к.в и их свойства.

    11. Законы распределения н.с.в. :равномерное распределение н.с.в.

    12. Законы распределения н.с.в. :Нормальное распределения непрерывной случайной величины.

    13. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

    14. Задачи математической статистики. Основные понятия математической статистики

    15. Эмпирическая функция распределения, гистограмма. Полигон распределения.

    16. Критерий согласия Пирсона Романовского.

    17. Корреляционная зависимость. Линии регрессии и корреляция. Построение линий регрессии.

    18. Численные методы решения уравнений.

    19. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

    20. Численные методы интегрирования.

    21. Численные методы решения дифференциальных уравнений



    Преподаватель О.Р. Нурисламов

    2) Классическое определение вероятности


    Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

    Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

    Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

    Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

    Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

    Пример. В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8). Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

    Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу


    Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
    Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
    Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

    Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству .

    Пример. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

    Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. Событие А достоверное.

    Пример. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

    Решение. Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: 
    Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно 
    Искомая вероятность 
    .

    Геометрическое определение вероятности


    Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

    Геометрическая вероятность события А определяется отношением: 

    где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

    Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

    Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов – это отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. .

    Для искомой вероятности получаем: .

    3)  Теоремы сложения и умножения вероятностей

    События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно

    События А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно.

    Суммой двух события А и В называется событие с, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе.

    Сумой нескольких событий называется событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно из этих событий.

    Теорема сложения вероятностей несовместных событий

     



    Теорема сложения вероятностей совместных событий





    В случае четырех и более события данная формула еще больше усложняется

    События А и В называются независимыми, если вероятность появления события А не зависит от появления события В и наоборот: вероятность события в не зависит от появления события А.

    События А и  В называются зависимыми, если  вероятность события В зависит от того появилось ли событие А или наоборот.

    Произведением двух события А и В называется событие С, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно.

    Произведением нескольких событий называется событие, состоящее вы том, что данные события появятся одновременно.

    Теорема умножения вероятностей для независимых событий

     



    Теорема умножения вероятностей для зависимых событий



    Где - условная вероятность появления события В, при условии что появилось событие А.



     

    2.2. Вероятность появления хотя бы одного события

    Пусть события   независимые, причем

     

    Вероятность появления события А, состоящее в том, что появится хотя бы одно событие :

     

     

    2.3. Формула полной вероятности

    Вероятность события А, которое может наступить лишь  при появлении одного из несовместных событий (гипотез)  , образующих полную группу событий, равна сумму произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность появления события А:

     

    Данная формула называется формулой полной вероятности

    2.4. Формула Байеса (Бейеса)

    Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно:  . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление события А. Вероятность того, что появилась i-ая гипотеза, при условии того, что произошло событие А

     , где вероятность события А находится с помощью формулы полной вероятности

    Данная формула и есть формула Байеса (Бейеса).
    4)

    Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона










    Пусть А– случайное событие, вероятности появления и непоявления

    Которого для некоторого испытания известны:

     (6.1)

    И пусть производится не одно, а N повторных испытаний (или, что одно и то же, испытание повторяется N раз). Возникает естественный вопрос: какова вероятность того, что событие АВ этих N повторных испытаниях появитсяK раз (целое число K можно задавать любым в пределах от 0 до N)? При этом не важно, в каком порядке событие Апоявится K раз в N испытаниях. Важно лишь общее число KПоявлений этого события. Эту вероятность обозначают символом  (- вероятность того, что в N испытаниях событие АНаступит K раз). И находится она по формуле Бернулли (Яков Бернулли – швейцарский математик 17-го века):

     (6.2)

    Доказательство. Если в N повторных испытаниях событие А появится KРаз, то соответственно оно не появится N-Kраз. И тогда вероятность любой конкретной комбинации K появлений события А и N-K непоявлений этого события можно найти по формуле (4.15) произведения вероятностей независимых в совокупности событий. То есть она равна . Таких конкретных комбинаций будет, очевидно, столько, сколько существует сочетаний из N элементов (номеров испытаний) по K элементов в каждом сочетании. Эти сочетания образуются из K номеров тех испытаний, в которых будет появляться событие А. Каждому такому сочетанию K номеров будет соответствовать единственное сочетание тех N-K номеров испытания, в которых событие А не будет появляться. Так как всего таких сочетаний , и каждое из них несовместно с любым другим сочетанием, то по формуле (4.10) сложения вероятностей попарно несовместных событий искомая вероятность равна величине , взятой  раз. В итоге и приходим к формуле Бернулли (6.2).

    Пример 1. Монету подбрасывают пять раз подряд. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно три раза?

    Решение.Будем считать испытанием однократное подбрасывание монеты. Тогда N=5 – число повторных испытаний. Далее, будем считать событием А в каждом испытании (при каждом бросании монеты) выпадение герба. Тогда

    N=5;K=3

    На основании формулы Бернулли получаем:

    .

    Формула Бернулли – точная формула. Однако при больших значениях N (большом числе испытаний) вычисления по ней становятся громоздкими из-за необходимости вычисления факториалов больших чисел и степеней с большими показателями. В процессе этих вычислений неизбежно придется производить округления, что приведет к погрешности при определении искомой вероятности . Причем к погрешности тем большей, чем больше будет значение N (числа испытаний). В связи с этим из формулы Бернулли выведены упрощенные приближенные формулы для , которые, кстати, тем точнее, чем больше число N.

    Другой приближенной формулой для подсчета вероятностей , применяемой при больших N, является Формула Пуассона (формула редких событий):

    , где  (6.6)

    Она применяется, когда NВелико (условно N50), а Р мало (0<Р<0,1), и когда Npq<10. То есть когда не оправдано ни применение формулы Бернулли, ни применение локальной формулы Лапласа. При этих условиях приближенная формула Пуассона, как и локальная формула Лапласа, обеспечивает определение искомой вероятности С погрешностью в пределах одного процента.

    Кстати, так как вероятность события АМала (0<Р<0,1), то при повторении испытаний событие А наступает редко. Поэтому формула Пуассона и называется формулой редких событий. Вывод этой формулы опустим.

    Пример 3. Производится 50 повторных испытаний, причем вероятность появления некоторого события АВ каждом из них равна 0,98. Определить вероятность того, что событие А наступит во всех 50 испытаниях.

    Решение. В данной задаче

    P(A)=P=0,98;P(Ā)=Q=0,02;N=50;K=50;

    Если применить формулу Бернулли, то получим результат, который очевиден и без формулы Бернулли:



    Попробуем избежать громоздкой процедуры возведения числа 0,98 в 50-ую степень (её, впрочем, можно и избежать, если использовать логарифмы). То есть заменим формулу Бернулли на локальную формулу Лапласа или Пуассона.

    Так как Npq=50·0,98·0,02=0,98<10, то локальную формулу Лапласа применять нельзя - мы получим слишком грубый (неточный) результат. Но и формулу Пуассона (формулу редких событий) мы тоже применить не можем, так как вероятность Р не мала, а наоборот, велика. Но зато мала вероятность Q непоявления этого события. В связи с этим переформулируем задачу: найдем вероятность  того, что событие  появится 0 раз (ни разу). Эта вероятность, очевидно, совпадает с искомой вероятностью Того, что событие А появится во всех 50 испытаниях. Тогда в этой постановке получаем:

    P(Ā)=P=0,02; P(A)=Q=0,98; N=50; K=0; ?

    Применяя формулу Пуассона (теперь ее применять можно), получим:

    = |λ=Np=50·0,02=1| =  = ≈ 0,37.

    5) Локальная теорема Лапласа



    Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях  очень трудно. Например, если , то для отыскания вероятности  надо вычислить значение выражения


    Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно  раз в  испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

    Теорема 3.1. Если вероятность  появления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях ровно  раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции
     при .

    Существуют таблицы, которые содержат значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функция  четна, т. е. .


    Итак, приближенно вероятность того, что событие  появится в  испытаниях ровно  раз,

     где .

    Пример 3. Найти вероятность того, что событие  наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события  в каждом испытании равна 0,2.

    Решение. По условию . Воспользуемся асимптотической, формулой Лапласа:

    Вычислим определяемое данными задачи значение :


    По таблице прил, 1 находим . Искомая вероятность


    Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):


    Интегральная теорема Лапласа


    Предположим, что проводится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна . Необходимо вычислить вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях не менее  и не более  раз (для краткости будем говорить "от  до  раз"). Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа.

    Теорема 3.2. Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то приближенно вероятность  того, что событие  появится в испытаниях от  до  раз,
     где .

    При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл  не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла  приведена в прил. 2, где даны значения функции  для положительных значений , для  используют ту же таблицу (функция  нечетна, т. е. ). Таблица содержит значения функции  лишь для ; для  можно принять .

    Итак, приближенно вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях от  до  раз,
     где .


    Пример 4. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 70 до 100 деталей.

    Решение. По условию . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:


    Вычислим пределы интегрирования:


    нижний

    верхний

    Таким образом


    По таблице прил. 2 находим


    Искомая вероятность

    6)
    написать администратору сайта