хатетовский. 1. Элементы дифференциальной геометрии Векторные функции скалярного аргумента
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
1. Элементы дифференциальной геометрии 1.1. Векторные функции скалярного аргумента Векторназывается векторной функцией скалярного аргумента, если каждому значению скаляра из области допустимых значений соответствует определенное значение вектора:  Вектор  называется бесконечно малым, если его модуль стремится к нулю. Производной векторной функции по ее скалярномуаргументуназывается предел отношения приращения вектора к соответствующему приращению аргумента, когда это приращение стремится к нулю:  Некоторые правила дифференцирования векторной функции по скалярному аргументу:       Докажем справедливость последнего правила. Пусть  Если скалярному аргументу  дать приращение  то векторные функции  получат приращения  соответственно. При этом  откуда  Поделим обе части этого равенства на  и перейдем к пределу при   откуда и следует, что доказываемое правило справедливо. Применительно к векторной функции скалярного аргумента рассматриваются также дифференциал  и интегралы, в частности определенный интеграл  Если векторную функцию скалярного аргумента рассматривать в декартовой системе координат, то    1.2. Понятие кривой Кривую опишем при помощирадиус-вектора  соединяющего произвольный фиксированный центр и точку, принадлежащую кривой.  Кривая задается на промежутке  некоторой числовой оси.  Кривая называется регулярной, если во всех точках заданного промежутка  непрерывно дифференцируема и  Пусть  точки, принадлежащиерегулярнойкривой и соответствующие параметрам  Прямая  называется направленной секущей кривой в точке  Направленной касательной к кривойвточке называется предел направленных секущих в этой точкепри   Теорема: в каждойточке регулярной кривой существует направленная касательная, определяемая направляющим вектором  Доказательство. Вектор  лежит на направленной секущей, проходящей через точки  которым соответствуют радиус-векторы  Производная  Отсюда следует, что в точке существует направленная касательная к кривой, которая определяется в пространстве вектором Теорема доказана.  Длиной регулярной кривой называется предел длины ломаной, вписанной в кривую, при стремлении к нулю длины наибольшего сегмента ломаной.  Теорема: всякая регулярная кривая имеет определенную длину. Более того, если регулярная кривая задана векторной функцией тодлинакривой  Доказательство. Впишем в кривую ломаную. Длина этой ломаной  где  При этом  Согласно теореме Лагранжа имеем    где    Отсюда  Перейдя к пределу, получим:  Теорема доказана. Следствие из теоремы:  Введем такой скалярный аргумент радиус-вектора  точкирегулярнойкривой, как длина дуги  отсчитываемая от некоторого центра, взятого на кривой. Данный аргументназывается естественным.  Теорема: имеет место соотношение:  Доказательство. Имеем:     Учитывая, что  получаем Теорема доказана. 1.3. Кривизна кривой На регулярной кривой возьмем две точки, радиус-векторы которых обозначим  Единичные векторынаправленных касательных к траектории в указанныхточках обозначим  соответственно.Угол  между векторами  называется углом смежности траектории в точке, задаваемой радиус-вектором   Число  называется кривизной. Кривизна прямойравна 0. Радиусом кривизны называется величина, обратная кривизне:  Радиус кривизны окружности во всех ее точках равен радиусу окружности. Теорема: в каждой своей точке регулярная кривая характеризуется кривизной и для всех значений естественногопараметрасправедлива т. н. первая формула Френе, т. е.  где  это единичный вектор, называемый главной нормалью, причем  и направлен в сторону вогнутости плоской кривой. Доказательство. Сначала докажем, что векторы  ортогональны:    Отсюда следует, что орт вектора  обозначаемый  есть вектор, перпендикулярный вектору  Далее докажем, что   При этом  Вектор является предельным положением вектора  Если кривая плоская, то вектор  направлен в сторону вогнутости этой кривой, следовательно, и вектор также направлен в сторону вогнутости этой кривой. Теорема доказана. Следствие из теоремы:  Плоскость, проходящая через векторы  называется соприкасающейся.Соприкасающаяся плоскость является предельным положением плоскости, проходящей через векторы  приложенные в точке, задаваемой радиус-вектором  Во всех точках плоскойрегулярнойкривойопределенаодна и та же соприкасающаяся плоскость, совпадающая с плоскостью самой кривой. Теорема: для регулярной кривой справедлива формула:  Доказательство. Имеем:     Поскольку векторы  ортогональны и   то  Но  Следовательно Теорема доказана. В случае, если рассматривается плоская регулярная кривая  в плоскости  то  В случае,если  т. е.  то  Если уравнение плоской регулярной кривой задано в полярных координатах, то  1.4. Понятие поверхности Поверхность опишем при помощи радиус-вектора  соединяющего произвольный фиксированный центр и точку, принадлежащую поверхности.  Поверхность задается в областинекоторойчисловойплоскости, на которой выбраны декартовы координаты   Поверхность называется простой, если каждой точке заданной области соответствует особая точка поверхности. Поверхность называется регулярной, если у каждой ее точки есть окрестность, являющаяся простой поверхностью, и в этой точке векторная функция  непрерывнодифференцируема и  Т. к. между точками заданной областии точками регулярной поверхности имеется взаимно однозначное соответствие, то пару чисел можно также рассматривать, как координаты точки на регулярной поверхности. Кривые   называются координатными линиями на регулярной поверхности, которые образуют два семейства регулярных кривых. Векторы  определяют касательные к соответствующим координатным линиям, а условие  означает, что касательные всегда существуют и пересекаются под углом, отличным от 0 и 180.  Плоскостью, касательной к регулярной поверхности в заданной точке, называется плоскость, касательная ко всем регулярным кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку. Теорема: в каждой точке регулярной поверхности существует касательная плоскость, совпадающая с плоскостью, проходящей через векторы  Доказательство. Пусть произвольная регулярная кривая, проходящая через фиксированную точку поверхности, задана уравнением  Продифференцируемэтовекторноеравенство:  Вектор  определяет касательную к регулярной кривой, и он раскладывается по двум направлениям  Поэтому касательная к регулярной кривой лежит в плоскости, проходящей через векторы Теорема доказана. 
|