вычислит приемы_полн_Кабаева. Лекции Автор Кабаева Н. Н. Оглавление

Оглавление

Модуль № 3 Методика изучения арифметических действий 3

и формирование вычислительных навыков 3

УЭ 3.1 Формирование понятий и представлений об арифметических действиях у младших школьников 3

1. Цели и задачи изучения арифметических действий в начальной школе 3

2. Характеристика видов знаний об арифметических действиях в начальном курсе математики 4

Приложение №1 8

Арифметические действия 8

Приложение №2 9

Свойства арифметических действий над числами и правила 9

Приложение № 3 10

Программа М.И. Моро и др. УМК «Школа России», 2класс, концентр «Сотня», раздел: «Арифметические действия», тема: «Умножение и деление» 10

УЭ 3.2 Формирование навыков сложения и вычитания у младших школьников 11

1.Сущность понятия «вычислительный прием», классификация вычислительных приемов 11

2.Сущность понятия «вычислительный навык», показатели вычислительного навыка 14

3.Общие положения методики формирования у младших школьников вычислительных приемов и навыков 15

Приложение № 1 20

Программа М.И.Моро и др. УМК «Школа России», 2 класс, концентр «Сотня», раздел «Арифметические действия», тема «Письменные приемы сложения и вычитания» 20

Приложение № 2 22

Статья М. А. Бантовой «Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждения» из журнала «Начальная школа» 1982 г., №8 22

УЭ 3.3 Формирование навыков умножения и деления у младших школьников 29

1.Методика обучения младших школьников табличному умножению и делению и формирование соответствующих навыков 29

Модуль № 3 Методика изучения арифметических действий

и формирование вычислительных навыков

УЭ 3.1 Формирование понятий и представлений об арифметических действиях у младших школьников

1. Цели и задачи изучения арифметических действий в начальной школе

Тема «Арифметические действия» одна из главных и стержневых в начальном обучении математике, на ее изучение отводится более половины учебного времени, она во многом определяет построение начального курса математики, так как непосредственно связана со всеми разделами курса.

Главная цель изучения темы «Арифметические действия» указана в программе по математике для начальных классов – формировать у учащихся «сознательные и прочные, доведенные до автоматизма навыки вычислений». Иначе говоря, учащиеся должны научиться выполнять вычисления осознанно и достаточно быстро.

Овладеть осознанными вычислительными навыками, значит уметь обосновывать вычислительные приемы соответствующими теоретическими положениями. Например, прием перестановки слагаемых будет усвоен осознанно, если учащихся не только смогут практически использовать перестановку слагаемых, где это удобно (2+7), но и объяснят, ссылаясь на переместительное свойство, почему можно переставлять слагаемые. Следовательно, для формирования у учащихся осознанных вычислительных навыков необходимо, чтобы они усвоили теоретический материал, с помощью которого обосновываются вычислительные приемы. Это вторая, тесно связанная с первой, образовательная цель изучения арифметических действий. Заметим, что введение теоретического материала не исчерпывается его служебной ролью: усвоение учащимися теоретического материала позволяет им познать различные стороны понятия арифметических действий (их свойства, связи, зависимости, отношения между компонентами и результатами арифметических действий). Таким образом, наряду с овладением вычислительными навыками учащиеся должны усвоить ряд вопросов теории и уметь применять их при выполнении вычислений, решении арифметических задач, решении уравнений и др. Этим будет достигнуто рациональное соотношение теории и практики, а именно: вопросы теории найдут широкую и достаточно мотивированную сферу применения, а значит будут хорошо усваиваться, и вместе с тем создадутся реальные условия для овладения учащимися осознанными вычислительными навыками, умениями решать арифметические задачи, уравнения и др.

Важнейшей воспитательной целью при изучении арифметических действий является формирование у учащихся некоторых общих приемов работы, позволяющих им самостоятельно «открывать» новые для них вычислительные приемы, новые свойства арифметических действий, устанавливать различные отношения и др. Это будет способствовать воспитанию самостоятельности и познавательной активности школьников.

2. Характеристика видов знаний об арифметических действиях в начальном курсе математики

Рассмотрим, какие вопросы теории и практического характера изучаются в теме «Арифметические действия», каков уровень их раскрытия и порядок введения.

Конкретный смысл арифметических действий, т. е. связи между операциями над множествами и соответствующими арифметическими действиями (например, связь между операцией объединения непересекающихся множеств и действием сложения). Знание конкретного смысла арифметических действий должно быть усвоено на уровне эмпирического обобщения: учащиеся должны научиться практически устанавливать связи между операциями над множествами и арифметическими действиями при нахождении в ряде случаев результатов арифметических действий, а также выбирая арифметические действия при решении текстовых арифметических задач.

Свойства арифметических действий. Это математические положения о тождественных преобразованиях математических выражений, в них отражается, при каких преобразованиях данного математического выражения его значение не изменяется. В начальный курс математики включены свойства, являющиеся теоретической основой вычислительных приемов.

В начальном курсе математики изучаются следующие свойства арифметических действий: переместительное и сочетательное свойства сложения, свойство вычитания числа из суммы, свойство вычитания суммы из числа, свойство вычитания суммы из суммы, переместительное и сочетательное свойства умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения, свойство деления суммы на число, свойство деление числа на произведение.

Свойства арифметических действий, предусмотренные программой, должны быть усвоены на уровне понятийного обобщения: учащиеся должны знать их формулировку и практически применять их при обосновании вычислительных приемов, при решении задач, уравнений, упражнений на тождественные преобразования и др.

Другие свойства арифметических действий (существование и единственность результата, монотонность суммы и произведения и др.) раскрываются на уровне эмпирического обобщения: учащиеся практически оперируют ими, формулировка свойств не дается.

Связи между компонентами и результатами арифметических действий. Это математические положения, отражающие, как выражается каждый из компонентов арифметических действий через результат и другой его компонент.

В начальном курсе математики сначала изучается связь между компонентами и результатом действия сложения, а затем - связи между компонентами и результатом действий вычитания, умножения и деления.

Знание связей должно быть усвоено на уровне понятийного обобщения: учащиеся должны знать соответствующую формулировку и практически использовать эти знания при решении уравнений и обосновании вычислительных приемов.

Изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов, т. е. математические положения, характеризующие, как изменяется значение выражения в зависимости от изменения одного из его компонентов.

По отношению к этому материалу предусматривается эмпирический уровень обобщения: учащиеся, выполняя специальные упражнения, наблюдают соответствующие изменения и на конкретных примерах устанавливают либо характер изменения результатов арифметических действий в зависимости от увеличения или уменьшения одного из компонентов, либо устанавливают количественные изменения – как изменится результат, если увеличить или уменьшить один из компонентов на несколько единиц или в несколько раз. Такие наблюдения послужат в дальнейшем основой для введения понятия функции, вместе с тем они являются прекрасными упражнениями развивающего характера.

Отношения между компонентами и между компонентами и результатами арифметических действий. Это математические положения, отражающие отношения «больше», «меньше», «равно» либо между компонентами (уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему), либо между компонентами и результатами арифметических действии (сумма может быть больше каждого из слагаемых, а может быть равна одному или каждому из слагаемых). Этот материал также усваивается на уровне эмпирического обобщения: учащиеся устанавливают соответствующие отношения, выполняя специальные упражнения. Знания названных отношений используются для проверки вычислений, они служат также целям функциональной пропедевтики.

Правила. Это, прежде всего положения, являющиеся следствиями из определения арифметических действий и их конкретного смысла: правила сложения и вычитания с числом 0, умножения и деления с числами 1 и 0, а также исторически сложившиеся положения – правила о порядке выполнения арифметических действий в математических выражениях. Учащиеся должны усвоить формулировку правил и уметь практически пользоваться ими.

Термины и символы. В связи с изучением названных вопросов, относящихся к теоретическому материалу, вводится соответствующая терминология и символика: название арифметических действий, символы их обозначающие и их название, название компонентов и результатов арифметических действий, название соответствующих математических выражений. Термины должны войти в активных словарь учащихся и использоваться ими при формулировке математических положений, учащиеся должны также научиться правильно пользоваться соответствующими символами. Термины и символы вводятся в тесной связи с изучением соответствующих арифметических действий.

Наряду с теоретическим материалом и в органической связи с ним рассматриваются вопросы практического характера: вычислительные приемы и решение арифметических задач. Вычислительные приемы – это приемы нахождения результатов арифметических действий. Вычислительные приемы раскрываются на основе явного использования соответствующих теоретических положений. Например, на основе переместительного свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых. В каждом концентре изучаются вычислительные приемы над целыми неотрицательными числами соответствующего отрезка натурального ряда (в первом концентре – в пределах 10, во втором – в пределах 100 и т. д.). В концентре «Десяток» изучаются только приемы сложения и вычитания, а в остальных концентрах – приемы всех четырех арифметических действий.

Порядок введения всех названных вопросов подчиняется главной цели изучения арифметических действий – формированию осознанных, прочных, доведенных до автоматизма вычислительных навыков.
3. Общие положения методики формирования понятий и представлений об арифметических действиях у младших школьников.

Усвоение учащимися теоретического материала сводится к усвоению ими существенных сторон изучаемых математических положений на уровне обобщения, предусмотренном программой. Следовательно, вся деятельность учащихся по овладению знаниями должна быть направлена на выделение и осознание ими существенных сторон изучаемых теоретических положений. Это осуществляется главным образом путём выполнения учащимися соответствующей системы упражнений, которая подчиняется целям каждого из этапов формирования знаний. В методике формирования знаний выделяют следующие этапы: подготовительный этап, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний.

На этапе подготовки к ознакомлению с новым теоретическим материалом, прежде всего, предусматриваются упражнения на воспроизведение ранее усвоенных знаний, которые являются средствами для усвоения нового знания. В большинстве случаев в этот период целесообразно создать в представлении детей «предметные модели» формируемых знаний с помощью выполнения операций над множествами. Например, до ознакомления с конкретным смыслом действия сложения следует провести достаточное количество упражнений на выполнение операции объединения непересекающихся множеств (к 4 мячам присоединить 3 мяча и узнать, сколько мячей станет), что в дальнейшем послужит основой для ознакомления со смыслом действия сложения.

На этапе ознакомления с новым материалом раскрываются существенные стороны изучаемых математических положений с помощью системы упражнений, выполняемых учащимися. При ознакомлении со свойствами арифметических действий, связями и зависимостями между их компонентами и результатами целесообразнее использовать метод эвристической беседы, подводя учащихся индуктивным путём к «открытию» соответствующей закономерности и убеждая в её справедливости с помощью средств наглядности. При ознакомлении с правилами, при введении терминологии и символики используется метод объяснения, т.е. учитель излагает материал, а учащиеся его воспринимают.

При ознакомлении индуктивным путём с конкретным смыслом арифметических действий, с их свойствами, связями и зависимостями между компонентами и результатами учащимся предлагаются такие упражнения, при выполнении которых проявляются соответствующие закономерности. Анализируя их, ученики выделяют существенные признаки формируемого знания и в зависимости от уровня его обобщения либо формулируют ряд частных выводов (при эмпирическом уровне), либо от них переходят к общему выводу (при понятийном уровне). При этом важно выделить не только существенные признаки, но и ряд несущественных признаков. Например, рассмотрим, как можно ознакомить с переместительным свойством умножения. Ученикам предлагается разложить в 4 ряда по 6 квадратов в каждом ряду и узнать общее количество квадратов, которые разложили. При этом обращается внимание учеников на то, что подсчёт общего числа квадратов можно осуществлять двумя способами: 6* 4 = 24 и 4* 6 = 24. При сравнении полученных записей, ученики устанавливают сходные признаки (даны произведения, одинаковые множители, значения произведений равны) и отличительные признаки (множители переставлены местами). Далее выполняются аналогичные упражнения, причем одно- два из них составляют дети. После выполнения достаточного количества упражнений на сравнение пар произведений ученики устанавливают, что во всех парах произведений одинаковые множители и значения произведений в каждой паре равны, при этом множители переставлены местами. Эти наблюдения позволяют ученикам прийти к обобщающему выводу, который является формулировкой переместительного свойства умножения: «Если множители поменять местами значение произведения не изменится».

При таком пути введения нового материала система упражнений должна отвечать ряду требований:

• 
  Система упражнений должна обеспечивать наглядную основу формируемого знания. Поэтому при выполнении упражнений важно во многих случаях использовать наглядность: операции над множествами (в рассмотренном примере – объединение равночисленных непересекающихся множеств квадратов) и соответствующие математические записи (6* 4 = 24 и 4* 6 = 24). Это создаёт возможность для «открытия» самими детьми изучаемых закономерностей.
  
• 
  Упражнения надо подбирать так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Так, для переместительного свойства умножения существенными признаками будут: в произведениях одинаковые множители, произведения отличаются порядком множителей, значения произведений равны; несущественными признаками являются сами числа и их отношение. Поэтому, подбирая пары произведений, надо брать их с различными числами, а числа в разном отношении (6* 4 и 4* 6; 2*5 и 5* 2; 7* 3 и 3* 7 и т.д.). Это позволит выделить ученикам не только существенные, но и несущественные признаки нового знания, что будет способствовать правильному обобщению.
  
• 
  Следует предлагать учащимся самим составлять упражнения, аналогичные рассмотренным. Умение составлять такие упражнения будет свидетельствовать о том, что учащиеся выделили существенные стороны формируемого знания.
  
• 
  При ознакомлении с новым материалом часто возникают ситуации, когда предшествующий опыт детей оказывает как положительное, так и отрицательное влияние на овладение новым материалом. Это необходимо учитывать при введении нового материала и предусматривать специальные упражнения на сопоставление и противопоставление вопросов, имеющих какое-то сходство. Например, до изучения переместительного свойства умножения, надо повторить переместительное свойство сложения, и использовать ту же методику. В этом случае поможет аналогия при усвоении нового свойства. До изучения распределительного свойства умножения относительно сложения полезно повторить сочетательное свойство сложения, чтобы предупредить смешение этих свойств и появление ошибок при усвоении нового свойства.
  

Итак, в результате выполнения специальных упражнений учащиеся подводятся либо к обобщенной формулировке изучаемого математического положения, либо только к частным выводам.

На этапе закрепления знаний в результате выполнения учащимися системы упражнений на применение изученного материала, их знания обогащаются новым конкретным содержанием и включаются в систему уже имеющихся знаний. Закрепление знаний каждого математического положения совершается в результате выполнения учащимися специальной системы упражнений, подчиняющейся общим требованиям:

• 
  Каждое упражнение системы должно иметь потенциальную возможность применения формируемого знания. Тогда ученик, выполняя их, будет всякий раз выделять существенные свойства формируемого знания и тем самым лучше усваивать его. При этом первыми надо включать такие упражнения, которые могут быть выполнены как на основе применения формируемых знаний, так и других ранее усвоенных знаний. Выполнение таких упражнений при соответствующей методике создаёт реальные возможности для обобщения формируемых знаний каждым учеником.
  
• 
  Упражнения на применение знаний должны строиться на различном конкретном содержании (решение арифметических задач, сравнение математических выражений и др.). Это обеспечит формирование содержательных и гибких знаний, предупредит их формальное усвоение.
  
• 
  Система упражнений должна обеспечить установление внутрипонятийных связей (связи между арифметическими действиями, между их свойствами и др.) и межпонятийных связей (связи между компонентами и результатами арифметических действий с решением уравнений). Этим и определяется включение нового знания в систему уже имеющихся знаний.
  
• 
  Упражнений должно быть достаточное количество, чтобы была обеспечена прочность формируемых знаний.
  
• 
  Упражнения должны быть доступны учащимся и располагаться от простого к сложному.
  
• 
  В системе должны предусматриваться специальные упражнения, готовящие учеников к усвоению вопросов практического характера: выполнение вычислений, решение арифметических задач, решение уравнений и т.д.
  
• 
  На этом этапе, больше, чем на предыдущем, должны быть предусмотрены упражнения на сопоставление и противопоставление нового материала и ранее усвоенного, что предупредит смешение сходных вопросов и поможет установлению внутрипонятийных и межпонятийных связей.
  
• 
  При организации деятельности учащихся на этом этапе следует чаще использовать метод самостоятельных работ, всемерно способствовать умственному развитию учащихся.
  
• 
  Кроме того, надо учесть, что младшие школьники лучше усваивают материал, если его включать в уроки небольшими частями, но достаточно длительное время.
  

Приложение №1

Арифметические действия

Название действия	Знаки	Название знака	Название компонентов	Название выражений	Примеры прочтения
Сложение	+	«Плюс»	3 – слагаемое 5 – слагаемое 8 – сумма или значение суммы	3 + 5 сумма	Сложить Прибавить Увеличить на… Больше на … Сумма 1-е слагаемое, 2-е слагаемое
Вычитание	-	«Минус»	7–уменьшаемое 4 – вычитаемое 3 – разность или значение разности	7 – 4 разность	Вычесть Уменьшить на … Меньше на … Разность Уменьшаемое, вычитаемое
Умножение	*, х	Знак умножения	2 – множитель 3 – множитель 6–произведение или значение произведения	2* 3 произведение	Умножить Увеличить в … Больше в … Произведение 1-й множитель, 2-й множитель
Деление	:	Знак деления	8 – делимое 2 – делитель 4 – частное или значение частного	8: 2 частное	Разделить Уменьшить в … Меньше в … Частное Делимое, делитель

Приложение №2

Свойства арифметических действий над числами и правила

№	Название свойства (правила)	Математическая запись	Формулировка свойства (правила)
1	Переместительное свойство сложения	А + В = В + А	От перестановки слагаемых значение суммы не меняется (о перестановке слагаемых)
2	Прибавление нуля	А + 0 = А
3	Сочетательное свойство сложения	(А + В) + С = А + (В + С)	Если при сложении нескольких чисел сумму рядом стоящих слагаемых заменить её значением, значение общей суммы не изменится (о группировке слагаемых, о перестановке скобок)
4	Переместительное свойство умножения	А * В = В * А	От перестановки множителей значение произведения не изменится (о перестановке множителей)
5	Умножение единицы и на единицу, деление на единицу	1 * А = А А * 1 = А А : 1 = А
6	Умножение нуля и на нуль	0 * А = 0 А * 0 = 0
7	Сочетательное свойство умножения	(А * В) * С = А * (В * С)	Если при умножении нескольких чисел произведение рядом стоящих множителей заменить его значением, значение общего произведения не изменится (о группировке множителей, о перестановке скобок)
8	Невозможность деления на нуль	А : 0
9	Распределительное свойство умножения относительно сложения	А*(В + С) = А* В + А* С (А + В)*С = А*С + В*С	Значение произведения суммы на число не изменится, если на него умножить каждое слагаемое и полученные результаты сложить
10	Распределительное свойство умножения относительно вычитания	А* (В – С) + А*В – А*С (А – В)*С = А*С – В*С
11	Монотонность сложения	А = В А + С = В + С
12	Монотонность умножения	А = В А*С = В*С

Приложение № 3

Программа М.И. Моро и др. УМК «Школа России», 2класс, концентр «Сотня», раздел: «Арифметические действия», тема: «Умножение и деление»

Логико–математический анализ темы урока: «Деление»

1.Определения смысла деления с позиции математики

В курсе математики существуют различные трактовки конкретного смысла действия деления. Это связано с тем, что трактовки определений смысла деления могут основываться на различных математических теориях: аксиоматической, теории множеств, теории скалярных величин. Рассмотрим эти определения:

а) при аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление определяется как операция, обратная умножению. Поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если a*b=c, то, зная произведение c и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.

Определение: Делением натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a: b=c тогда и только тогда, когда b*c=a.

б) с точки зрения теории множеств деление чисел связывается с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).

Определение: Если a=n(A) и множество A разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b – число элементов в каждом подмножестве, то частное a: b – это число таких подмножеств;

b - число подмножеств, то частное a: b - это число элементов в каждом подмножестве.

в) с точки зрения теории скалярных величин деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице величины, более крупной.

Определение: если натуральное число a – мера величины X при единице величины E , а натуральное число b – мера новой единицы величины E1 при единице величины E , то частное a: b – это мера величины X при единице величины E1:

a: b=mE(X): mE(E1)=mE1(X)

2. Анализ методического подхода к изучению конкретного смысла деления в начальном курсе математики

В программе М.И.Моро и др. УМК «Школа России» при изучении конкретного смысла деления за основу берется теоретико – множественный подход. С точки зрения этого подхода конкретный смысл деления раскрывается как связь между операцией разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и действием деления. Изучение смысла действия деления осуществляется последовательно через анализ младшими школьниками разного рода ситуаций, связанных с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. Сначала ученикам предлагаются ситуации, связанные с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества с заданным числом элементов и неизвестным количеством этих подмножеств (на примерах задач на деление по содержанию). Затем, предлагаются ситуации, связанные с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества с неизвестным числом элементов и заданным количеством этих подмножеств (на примере задач на деление на равные части). В учебнике не дается явного определения смысла деления, авторы используют контекстуальный способ неявного определения (через анализ ситуаций). Такой способ определения позволяет учащимся понять, что деление – это арифметическое действие, которое связано с разбиением групп предметов поровну (на равные части). При ознакомлении со смыслом деления используется индуктивный путь познания, поэтому чтобы ученики смогли выделить и понять существенные признаки деления необходимо рассмотреть достаточное количество разнообразных ситуаций.
Психолого – дидактический анализ знания

Предмет усвоения: знание конкретного смысла деления

Существенные признаки:

Термин: деление

Родовое отношение: арифметическое действие

Видовой признак: действие, связанное с разбиением групп предметов поровну (на равные части)

Несущественные признаки:

фабула (сюжет рассматриваемых ситуаций),

числовые характеристики (число элементов множества, число элементов в каждом из равночисленных подмножеств, количество подмножеств)

Средства усвоения:

знания: конкретного смысла вычитания, конкретного смысла умножения;

умения: практически выполнять операцию разбиения множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и находить численность разбиения.

Этап усвоения: восприятие, осмысление

Действие, направленное на формирование знания конкретного смысла деления:

умение устанавливать связь между операцией разбиения множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и действием деления.

  1   2   3   4