- Период зарождения математики Период элементарной математики VI в. до н.э. – XVII в. н. э.
- Лекция №2 9 ноября 2011 год ПРЕДЫСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
- Эпоха накопления математических знаний
- Математическое содержание источников
- ЛЕКЦИЯ №3 11 НОЯБРЯ 2011 ГОД ПЕРИОД ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ Древняя Греция Ионийская школа Фалеса VII-VI в. до н.э.
- Школа Пифагора VI-V в.до н.э.
- Александрийская школа III-I века до н.э.
- Лекция №4 15 ноября 2011 год Вторая Александрийская школа I век до н.э. – IV век н.э.
- Особенности периода элементарной математики
- ПЕРИОД МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН Характеристика периода
- Проблемы обоснования математики переменных величин.
- СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА (КОНЕЦ XIX – XX ВЕК)
История математики. Лекция 1 8 ноября 2011 год основные периоды развития математики
 Скачать 36.53 Kb.
|
|
История математики 8 лекций 5 практических занятий Лекция №1 8 ноября 2011 год ОСНОВНЫЕ ПЕРИОДЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ В истории развития математики академик Колногоров выделяет 4 основные периода:
Лекция №2 9 ноября 2011 год ПРЕДЫСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Этапы формирования понятия «Число»
Этапы формирования начальных геометрических представлений:
Эпоха накопления математических знаний
ЛЕКЦИЯ №3 11 НОЯБРЯ 2011 ГОД ПЕРИОД ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ Древняя Греция Ионийская школа Фалеса VII-VI в. до н.э. Фалес вычислил высоту пирамиды и предсказал солнечное затмение. Много путешествовал, в том числе, по Египту, перенимал математические знания от египетских жрецов. В его школе дали основное определение арифметике. Число есть совокупность единиц. Но в школе больше занимались геометрией. Были доказаны следующие теоремы из геометрии: о равенстве вертикальных углов, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. Школа прекратила свое существование в связи со смертью Фалеса. Школа Пифагора VI-V в.до н.э. Много путешествовал, в том числе и по Египту. Основное учение его школы – учение о числе. Это положило начало теории чисел. Числа изображались буквами греческого алфавита. Чтобы отличать числа от букв, над числом ставили палочку – знак отрицания. Числа представлялись геометрически. Отсюда пошло начала геометрической алгебры. Из того, что они определили, что нет такого числа, которое было бы корнем из двух, они пришли к выводу о несоизмеримости отрезков, значит множество отрезков больше, чем множество чисел. Изучали связь математики с музыкой. Пытались переложить музыку на язык чисел. Дали свою классификацию чисел. Квадратные числа – те, которые представляю квадрат какого-то числа. Треугольные числа – последовательная сумма 1, 3 =1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, 15=1+2+3+4+5. Мужские числа – четные числа. Женские числа – нечетные числа. В геометрии изучали построение правильных многоугольников, многогранников, оперирование треугольниками, в.т.ч прямоугольными. Настаивали на строгом доказательстве математических утверждений. Кроме математики, Пифагор был активным общественным деятелем. Но взгляды его не совпадали с общественными, поэтому ему пришлось бежать из страны. А вскоре он умер и школа прекратила свое существование. Афины V век до н.э. Основные усилия направляли на углубление понятий и на обоснование методов. Анаксагор. Ввел понятие бесконечно большой и бесконечно малой величины. Открыв несоизмеримость, ученые впервые пришли к изучению понятия непрерывность. Изучая непрерывность, они стали ее противопоставлять чему-то дискретному. Здесь же известны парадоксы Зенона.
Демокрит. Говорил, что все состоит из дискретных единиц. (Прямая состоит из отрезков прямой. Окружность состоит из отрезков окружности). С помощью этой теории определил объемы некоторых пространственных фигур. Антифонт. Занимался изучением построений. В окружность вписывал многоугольники. На каком-то шаге площадь многоугольника станет равной площади окружности. Этот метод называют методом исчерпывания. Из этой же задачи вышла задача о квадратуре круга. Она заключается в построении квадрата равновеликого кругу. Гиппократ. Занимался задачей об удвоении куба. Эта задача возникла в связи с тем, что стало нужно построить алтарь, так как в стране была эпидемия, и правитель решил, что увеличив алтарь, он спасет страну от смерти, от этой эпидемии. Академия Платона V-IV в. до н.э. Много путешествовал и был знаком с последователями школы Пифагора. В этой школе занимались изучением построений с помощью циркуля и линейки. Создали и использовали метод геометрических мест точек для решения таких задач. Занимались тремя знаменитыми задачами древности. Третья задача: задача о трисекции угла. Изучали призму, пирамиду, цилиндр, конус. Изучали различные отношения чисел, в частности золотое сечение. Изучали геометрические сечения: эллипс, гипербола, парабола. Ликей (Лицей) Аристотеля V-IV в. до н.э. Аристотель был разносторонне развитым человеком. Занимаясь вопросами из разных областей, они приходили к математическим проблемам и эти проблемы решали. Бесконечность – это не то за чем ничего нет, а то, за чем всегда что-то есть. Это определение не противоречит современному определению бесконечности. Употреблял буквы алфавита для обозначения неопределенного количества. Но не использовал их для упрощения вычисления. И потому этот способ не получил распространения. Александрийская школа III-I века до н.э. Александрия стала крупнейшим центром научной мысли. Туда стекались все великие умы. Это период называли «Золотым» веком математики. Направления работы:
Лекция №4 15 ноября 2011 год Вторая Александрийская школа I век до н.э. – IV век н.э. Герон. Вычислял площади и объемы фигур и тел. Решал квадратные уравнения. Вычислял квадратные и кубические корни, проводил измерения на местности недоступными элементами. Никомах. «Введение в арифметику». Арифметика изложена независимо от геометрии. Дал классификацию чисел. Впервые рассматривал суммирование числовых рядов. Менелай. Занимался сферической геометрией, в частности рассматривал сферические треугольники. Птолемей. Занимался астрономией. Но в связи с нуждами астрономии изучал тригонометрию. Первый усомнился в очевидности пятого постулата Евклида. Папп. Его сочинение называется математическое собрание. Состоит из 8 книг. Обобщил и дополнил всю математическую теорию. Диофант. Его труд «Арифметика». Занимался решением уравнений. Гипатия. Труды не сохранились. Первая женщина-математик. Ее труды не сохранились. IV - XII в н.э. математика в Европе развивалась слабо. Но она бурно развивается в странах средней Азии, Китае, Индии. Лекция №5 17 ноября 2011 год Развитие математики народов Средней Азии и Ближнего Востока в VII-XVII веках Творения древних греков и индийцев дошли до нас главным образом в переводах, сделанных народами средней Азии и Ближнего Востока. Центром арабской культуры был город Багдад. Культура развивалась на основе культуры египтян, Персов, народов Древней Греции, Индии Аль-Харезми – узбекский математик и астроном. Составил таблицу тригонометрических величин на основе греческих и индийских таблиц, проверив, объединив и уточнив их. Алгебраическое сочинение наиболее ценный его труд. Особенности учебника: стремление приложить научные знания к практическим потребностям.(с пояснением правили теорий, а не в виде рецептов), рассматривает методы решений уравнений 1-й и 2-й степени. Арифметическое сочинение. Благодаря этому сочинению, европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, поэтому мы называем их арабскими. Возникло понятие «алгоритм». Омар Хаям. Математики, поэт, философ. Выделяет алгебру как самостоятельную математическую дисциплину. Классифицирует математические уравнения по степени уравнения. Уравнения третьей степени решает геометрическим методом (с помощью построения графика). Использует геометрический метод для геометрических задач. Дал комментарий сложным постулатам Евклида. Аль-Бируни. Философ, астроном, математик, географ. Написал более 150 работ. Занимался геометрией, тригонометрией, арифметикой и исчислением времени. Вывод. Создание алгебры, как науки об уравнениях. Выделили тригонометрию, как самостоятельный раздел математики. Активно развиваются вычислительные методы: приближенные вычисления, извлечения корней, ввели десятичные дроби. Эпоха Возрождения Леонардо Фиббоначи. Занимался торговлей и много путешествовал. Книга Абака – книга для торговца. Ноль, действия с целыми и дробными числа, вычисление квадратного корня, действия с радикалами, решение уравнений первой степени. Леонардо да Винчи Региомонтан Штипель Ферро Феррари Тарталья Кардано Виетт Эпоха Возрождения была временем важнейших технических достижений и великих географических открытий. В Европе появляются компас, часы, порох, дешевая бумага, книгопечатание. Развитию математики способствовали торговля с Востоком, крестовые походы, мореплавание, запросы техники, а также открытие университетов. Внедрение десятичной позиционной нумерации; разрабатывались правила письменного исчисления; для вычисления использовался счетный прибор – абак. Изготовление бумаги привело к развитию письменного счета. Это привело к появлению специальных символов для сокращения записи: +, -, =, знаки радикала, обозначение для неизвестных в уравнении. Найдены формулы для решения уравнений 3-й и 4-й степени. Изучали тригонометрию, усовершенствовали теорию конических сечений. В математике зарождалась идея функциональной зависимости. Особенности периода элементарной математики После накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов математически вычислений. способов определения площадей и объемов и т.п. возникает математика как самостоятельная наука. Со своими методами и понятиями. Систематическое и логически последовательное построение основ математической науки определилось в Древней Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на 2 тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Развитие геодезии и астрономии переходит к детальной разработке тригонометрии плоской и сферической. ПЕРИОД МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН Характеристика периода Особенностью является введение в математику идей движения и измерения. На первый план вдвигаются функции. Изучение функциональной зависимости приводит к основным понятиям математического анализа: предел, производная, дифференциал, интеграл. Геометр я также начинает изучать движения и преобразования фигур. Создается аналитическая геометрия. Алгебра изучает вопрос о числе действительных корней уравнения F(x)=0. Доказывается основная теорема алгебры. Решаются систем уравнений при помощи определителей. Разрабатывается теория делимости многочлена. Алгебра рассматривается как часть анализа, а геометрия – как прикладная математика, которая использует результаты чистой математики. Математика в XVII веке Развитие математики связано с успехами астрономии и механики. Кепплер открыл и математически сформулировал законы движения планет. Галилей создал механику свободного падения тела, основал теорию упругости, применил математические методы. Для отыскания закономерностей между расстоянием и скорости ускорения. Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения. Эти успехи в естествознании, создание математического аппарата для изучения процессов движения. Учение XVII века были одновременно математичками, естествоиспытателями, механиками, в XVII веке создаются научные организации и общества, например, лондонское королевское общество. В 1666 году организована парижская академия. Научные учреждения и общества плодотворно трудились при государственной поддержке. С XVII века берут начало почти все математические дисциплины, входящие ныне в современное высшее образование.
Развитие математики в XVIII веке связано с необходимость ее применения бурно развивающейся промышленности, военной техники, кораблестроением, картографией. XVIII век характеризуется выдающимися математиками из разных кругов общества, которые работали одновременно в области математики, естествознания и техники. Например, Эйлер происходил из пасторской семьи. Занимался механикой, кораблестроением и оптикой. Лагранж – сын французского офицера. В 18 лет профессор. Занимался механикой. Лапласс – сын французского крестьянина. В 18 лет преподавал математику. В 20 лет профессор, в 37 - член парижской академии наук. Занимался механикой. XVII век дал математике мощный аппарат. Анализ бесконечно малых. В XVIII веке эти идеи получили широкое распространение. Достижения XVIII века.
Проблемы обоснования математики переменных величин. Слабость математики XVIII века было отсутствие логического обоснования ее важнейших логических частей. В частности, без строго обоснования был развит аппарат бесконечно малых. Например длина кривой линии заменялась длиной многоугольника. При вычислении площадей криволинейной фигуры разбивали на бесконечно малые части, каждую из которых считали прямоугольной. В XVIII веке неясность основ стала тормозить развитие анализа. В математике накопилось большое число противоречий, парадоксов. Например, они рассматривали такой ряд:  . При x=1 будет  . Решающие изменения произошли в первой половине XIX века. Коши, Абель и другие ученые исчисление бесконечно малых обосновали на основе теории пределов. С помощью предела получили объяснение понятия производная, интеграл, непрерывность функции, сумма ряда. Исследование о сумме предела и бесконечно малых было проведено Вейерштрассом в 70-х годах XVIII века. Для получения строгих определений Вейерштрасс разработал систему ξ-δ неравенств. Таким образом, современный анализ заменил использование интуитивных представлений, связанных с движением строгим математическим аппаратом неравенств. Так как все вопросы были сведены к неравенствам с числами, то встала необходимость уточнить понятие действительного числа. В 1872 году были построены теории действительного числа Кантором. Вейерштрассом и Дедекиндом. Изучение действительных чисел, в свою очередь, привело математиков к рассмотрению бесконечных множеств. К концу XIX века сложился стандарт требований к логической строгости, основанной на теоретико-множественной концепции построения любой математической теории.Возникающие проблемы способствовали развитию математики в XIX веке. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА (КОНЕЦ XIX – XX ВЕК) Развитие математики в XIX веке связано с изучением магнетизма, электричества, теплопроводности. Коренные изменения произошли во всех областях математики. \ Математический анализ
Алгебра
Геометрия
В начале XX века на стыке алгебры, геометрии и математического анализа появляются новые разделы математики: функциональный анализ, топология, теория функции, теория информации, кибернетика и др. Другой особенностью является создание компьютеров и необходимсоть создания программного обеспечения для них. Следующая особенность математики – расцвет прикладной математики. В XX веке созданы новые разделы математики:
Поставленные Гильбертом в 1920 году на международном конгрессе математиков 23 проблемы, которые, по его мнению, должны стать главным стимулом развития математики в XX веке. Решение каждой из этих проблем математиками XX века рассматривалось как крупнейшее достижение математики. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
. Даламбер доказал иррациональность π.