МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО
ЛИЕНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Тема 1. Линейные пространства и линейные преобразования
Задания уровня А
-
Докажите, что множество Mс заданными операциями сложения и умножения на число является или не является линейным пространством. Если в конкретном задании не указаны операции, то это – обычные операции сложения и умножения на число на заданном множестве. Если операции отличаются от обычных, то означает операцию сложения, а означает операцию умножения на число. При описании таких операций знаки и означают обычные операции сложения и умножения.
Докажите, что система векторов пространства L образует базис и найдите координаты вектора в этом базисе.
Докажите, что подмножество M линейного пространства L является или не является линейным подпространством.
Найдите матрицу линейного преобразования A линейного пространства L в базисе .
Задана матрица линейного преобразования Aтрехмерного пространства в некотором базисе . Найдите координаты в этом базисе векторов , образующих базис, в котором линейное преобразование имеет диагональную матрицу.
Задания уровня В
Определить размерность линейного пространства L.
Найти базис линейного подпространства линейного пространства L.
В линейном пространстве L выбран базис . Написать систему линейных уравнений, задающих подпространство, являющееся линейной оболочкой векторов .
В линейном пространстве L выбран базис . Два его подпространства заданы системами линейных уравнений. Наибольший из индексов неизвестных равен размерности L. Задать системой линейных уравнений подпространство .
Выяснить, является ли матрица подобной диагональной матрице 1) над полем вещественных чисел, 2) над полем комплексных чисел.
Условия заданий по теме 1
Вариант 1А
М– множество многочленов , обращающихся в ноль в точке .
L – множество матриц второго порядка, , , , , .
L – множество матриц-столбцов из четырех элементов, М– множество столбцов, у которых первый элемент равен 1.
L – множество матриц второго порядка, , , , , A – операция транспонирования.
.
Вариант 1В
L – линейное пространство, образованное многочленами степени не выше 5, которые обращаются в ноль при и .
, в некотором базисе задается системой уравнений
, , , .
.
Вариант 2А
М – множество квадратных матриц порядка 2, у которых сумма диагональных элементов (след матрицы) равна нулю.
L – множество многочленов не выше второй степени, , , , .
L – множество матриц-столбцов из четырех элементов, М– множество столбцов, у которых первый элемент равен третьему элементу.
L – множество многочленов не выше второй степени, , , , .
.
Вариант 2В
L – линейное пространство матриц третьего порядка, у которых на главной диагонали стоят нули.
L – линейное пространство, образованное многочленами степени не выше 4, –подпространство многочленов, имеющих 1 корнем кратности 2 или выше.
, , , .
.
Вариант 3А
М – множество многочленов степени не выше 5, у которых хотя бы один коэффициент равен нулю.
L – множество верхних треугольных матриц порядка 2, , , , .
L – множество матриц-столбцов из четырех элементов, М– множество столбцов, у которых первый элемент равен удвоенному четвертому элементу.
-
L – множество векторов трехмерного пространства, базис – векторы , преобразование A отображает радиус-вектор в радиус вектор симметричный относительно плоскости .
.
Вариант 3В
L – линейное пространство, образованное многочленами степени не выше 5, у которых является корнем кратности 2 или выше.
, в некотором базисе задается системой уравнений
, , , , .
.
Вариант 4А
М – множество многочленов, сложение задано формулой .
-
L – множество многочленов не выше третьей степени, , , , .
L – множество квадратных матриц третьего порядка, М – множество матриц, у которых сумма диагональных элементов равна нулю.
L – множество матриц второго порядка, , , , , .
.
Вариант 4В
L – линейное пространство, образованное многочленами, у которых есть корни 2 и 3.
L – линейное пространство матриц второго порядка, - матрицы, у которых сумма всех элементов равна нулю.
, , , .
.
Вариант 5А
М - множество многочленов , обращающихся в ноль в точках и .
L – множество нижних треугольных матриц порядка 2, , , , .
L – множество многочленов степени не выше третьей, М – множество многочленов, у которых коэффициент при отличен от нуля.
L – множество векторов трехмерного пространства, базис – векторы , преобразование A отображает вектор в его проекцию на плоскость .
.
Вариант 5В
L – линейное пространство функций непрерывных на отрезке [0; 5], обращающихся в ноль в точках 2 и 3.
, в некотором базисе задается системой уравнений
, , , .
.
Вариант 6А
М - множество многочленов , у которых производная обращается в ноль в точке .
L – множество матриц второго порядка, , , , , .
L – множество многочленов, М – множество многочленов, у которых производная при равна второй производной в той же точке.
L – множество матриц второго порядка, , , , , .
.
Вариант 6В
L – линейное пространство симметрических матриц третьего порядка.
, в некотором базисе задается системой уравнений
, , , .
.
Вариант 7А
М – множество квадратных матриц порядка 3, у которых .
L – множество многочленов не выше третьей степени, обращающихся в ноль при , , , .
L – множество матриц размера , М – множество матриц, у которых вторая строка пропорциональна первой.
L – множество векторов трехмерного пространства, базис – векторы , преобразование A отображает вектор в его проекцию на прямую
.
Вариант 7В
L – линейное пространство, образованное многочленами степени не выше 4, у которых первая производная обращается в ноль в точке .
L – линейное пространство матриц A третьего порядка, - матрицы, у которых .
, , , .
.
Вариант 8А
М - множество многочленов степени не выше 5, обращающихся в ноль при .
L – множество матриц второго порядка, , , , , .
L – множество непрерывных функций на интервале (0; 1), М – множество монотонных функций.
L – множество матриц-строк из трех элементов, , , , .
.
Вариант 8В
L – линейное пространство, образованное многочленами от двух переменных степени не выше двух, т.е. .
, в некотором базисе задается уравнением .
, , , .
.
Вариант 9А
М – множество квадратных матриц порядка 3, у которых .
L – множество многочленов не выше третьей степени, , , , , .
L – множество матриц размера , М – множество матриц ранга не выше 2.
L – множество многочленов не выше второй степени, , , , .
.
Вариант 9В
L – линейное пространство, образованное многочленами от двух переменных степени не выше двух, обращающихся в ноль на прямой . Многочлен степени не выше двух от двух переменных имеет вид .
L – линейное пространство многочленов степени не выше четырех, - многочлены, у которых вторая производная равна нулю в точке .
, , , , .
.
Вариант 10А
М – множество векторов в трехмерном пространстве, сложение задано формулой .
L – множество многочленов не выше четвертой степени, обращающихся в ноль при , , , , , .
L – множество векторов трехмерного пространства, М – множество радиус-векторов, концы которых лежат на плоскости .
L – множество матриц второго порядка, , , , , .
.
Вариант 10В
L – линейное пространство матриц размера , у которых сумма всех элементов равна нулю.
L – линейное пространство многочленов степени не выше четырех, - многочлены, у которых производная имеет корнем кратности не менее двух.
, , , .
.
Вариант 11А
М – множество квадратных матриц порядка 3, сложение задано формулой .
L – множество матриц-строк из четырех элементов, , , . , .
L – множество непрерывных функций на числовой оси, М – множество функций, имеющих обратную.
L – множество многочленов не выше второй степени, базис , , , .
.
Вариант 11В
L – линейное пространство многочленов, каждый из которых является четной функцией.
, в некотором базисе задается системой уравнений
, , , .
.
Вариант 12А
М – множество квадратных матриц порядка 3, у которых .
L – множество матриц-столбцов из двух элементов, элементами матриц служат линейные функции, например, ; , , , , .
L – множество многочленов не выше четвертой степени, М – множество многочленов без свободного члена.
L – линейное пространство многочленов не выше второй степени, базис , , , .
.
Вариант 12В
L – линейное пространство верхних треугольных матриц порядка 3.
L – линейное пространство многочленов степени не выше четырех, - многочлены, для которых числа 2 и 3 являются корнями.
, , , , .
.
Вариант 13А
М – множество квадратных матриц второго порядка, умножение на число задано формулой .
L – множество многочленов не выше второй степени, , , , .
L – множество векторов трехмерного пространства, М – множество радиус-векторов, концы которых лежат на плоскости .
L – множество матриц второго порядка, , , , , .
.
Вариант 13В
L – линейное пространство верхних треугольных матриц порядка 3, у которых сумма диагональных элементов равна нулю.
L – линейное пространство многочленов степени не выше четырех над полем вещественных чисел, - многочлены, имеющие корнем комплексное число .
, , .
.
Вариант 14А
М – множество векторов в трехмерном пространстве, умножение задано формулой .
L – множество матриц-столбцов из четырех элементов, , , , , .
L – множество многочленов, М – множество многочленов , у которых .
L – множество векторов трехмерного пространства, базис – векторы , преобразование A отображает вектор в его проекцию на биссектрису первого координатного угла плоскости .
.
Вариант 14В
L – линейное пространство многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше 5, каждый из которых имеет корнем число .
, - линейная оболочка векторов с координатными столбцами .
, , , .
.
Вариант 15А
М – множество квадратных матриц второго порядка, умножение на число задано формулой .
L – множество многочленов не выше третьей степени, не содержащих , , , , .
L – множество непрерывных функций на числовой оси, М – множество дважды дифференцируемых функций.
L – множество векторов трехмерного пространства, базис – векторы , преобразование A отображает вектор в вектор симметричный вектору относительно оси .
.
Вариант 15В
L – линейное пространство многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше 5, у которых является корнем кратности 2.
L – линейное пространство матриц A третьего порядка, - матрицы, у которых сумма элементов в каждой строке и в каждом столбце равна нулю.
, , , .
.
|
Скачать 0.63 Mb.
