Методичка №1632(физика). Методические указания по выполнению расчетнографического задания 1 (раздел "Механика"). Приведены типичные примеры решения задач
 Скачать 1.02 Mb.
|
|
5. механические колебания Уравнения гармонических колебаний: x=Acos(t+0), x=Asin(t+0), или их линейная комбинация, гдеx- смещение точки от положения равновесия, A- амплитуда, t+0 - фаза колебаний в момент времени t, - циклическая частота, 0- начальная фаза. где и T - частота и период. Дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки: или где , m- масса точки, k- коэффициент квазиупругой силы. Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания, Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник), где m - масса тела, k- жесткость пружины. Период колебаний математического маятника где l - длина нити, g- ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника где J - момент инерции тела относительно оси колебаний, a- расстояние центра масс маятника от оси колебаний. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний или , где c - коэффициент сопротивления, - коэффициент затухания, - собственная циклическая частота колебаний. Уравнение затухающих колебаний (частное решение дифференциального уравнения): где A0- амплитуда колебаний в момент времени t=0, A(t) - амплитуда затухающих колебаний в момент времени t. Декремент затухающих колебаний Логарифмический декремент колебаний где T - период. примеры решения задач Задача 1. Математический маятник длиной l1=40см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l2=60см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние a центра масс стержня от оси колебаний. При синхронном колебательном движении маятников их периоды равны , где . Отсюда (1) Момент инерции физического маятника определяется по теореме Штейнера: (2) Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение (3) Из (3) найдем два корня: a1=10 см, a2=30 см. Таким образом, при одном и том же периоде колебаний физического маятника возможны два варианта расположения оси. Величину (1) называют приведенной длиной физического маятника. Ответ: a1=10 см, a2=30 см. Задача 2. Найти уравнение, связывающее модуль импульса Px и координату x одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора m1, циклическая частота 0, амплитуда колебаний A. Запишем уравнение гармонических колебаний (1) Тогда (2) Выразим из (1) а из (2) , (3) (4) Возведем (3) и (4) в квадрат и сложим. Учитывая, что получим - уравнение эллипса. Ответ: . Задача 3. Математический маятник совершает малые колебания в среде, в которой коэффициент затухания . Определить время по истечении которого амплитуда маятника уменьшится в пять раз. Вследствие трения колебания маятника будут затухающими: где - угол отклонения нити маятника от вертикали в момент времени t, при t=0, =0. Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону . (1) Запишем (1) для моментов времени t и t+: , . Отношение амплитуд . (2) Логарифмируя (2), найдем . Ответ: =1,79 с. задачи для самостоятельного решения 5.1. Под действием грузика пружина растянулась на x = 9 см. Определить период собственных колебаний T этой системы. 5.2. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение их периодов Т1/ Т2 = 1 ,5. 5.3. Математический маятник установлен в лифте, который поднимается с ускорением a = 2,5 м/с2. Определить период T собственных колебаний маятника. Его длина равна 1 м. 5.4. Лифт, в котором колеблется математический маятник, опускается с ускорением a = 3 м/с2. Определить период колебаний T маятника. Его длина равна 1 м. 5.5. Грузик массой m подвешен к двум пружинам, соединённым "последовательно". Определить частоту колебаний груза. Коэффициенты жесткости пружин равны k1 и k2. 5.6. Грузик массой m подвешен к двум пружинам, соединенным "параллельно". Определить частоту колебаний груза. Коэффициенты жесткости пружин равны k1 и k2. 5.7. Медный шарик, подвешенный к пружине, свободно колеблется. Как изменится период колебаний этой системы, если вместо медного подвесить алюминиевый шарик таких же размеров? 5.8. На стержне длиной l = 30 см закреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Эта система может свободно вращаться около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определять период собственных колебаний T этого физического маятника. Массой стержня пренебречь. 5.9. На стержне длиной l = 30 см и массой m = 1 кг, закреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Эта система может свободно вращаться около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определять период собственных колебаний T этого физического маятника. 5.10. Диск радиусом R = 20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно его плоскости. Определить частоту собственных колебаний этого физического маятника. 5.11. Однородный стержень массой m и длиной lможет свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Определить частоту собственных колебаний стержня. 5.12. Однородный стержень массой m, длиной l может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей на расстоянии l/4 от одного из его концов. Определить период колебаний этого физического маятника. 5.13. На горизонтальном столе лежит шар массой 200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной пружине жесткостью 500 Н/м. В шар попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 300 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и период колебаний шара. Перемещением шара во время удара, сопротивлением воздуха и трением между поверхностью шара и стола пренебречь. 5.14. Однородный стержень массой 0,5 кг и длиной l м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В противоположный конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 300 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и период колебаний стержня. 5.15. Однородный стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 1/4 от одного из его концов. В противоположный конец попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 200 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и период колебаний стержня. Масса стержня 0,5 кг, длина 1 м. 5.16. За 5 мин амплитуда математического маятника уменьшилась в 2раза. За какой промежуток времени его амплитуда уменьшится в 8 раз? 5.17. Математический маятник длиной 1 м колеблется в воздухе. За 10 мин его амплитуда уменьшилась в 2 раза. Определить логарифмический декремент затухания. 5.18. Грузик массой m, подвешенный к пружине жесткостью k, колеблется в среде. Логарифмический декремент затухания равен 9. За какой промежуток времени амплитуда уменьшится в 2 раза? Сколько полных колебаний совершит тело за это время? 5.19. Два последовательных максимальных отклонения математического маятника длиной lот вертикали равны φ1 и φ2, φ2 <�φ1 << 1. Вычислить логарифмический декремент затухания и период колебаний маятника. 5.20. Кусок мяса положили на весы. Три последовательных крайних положения стрелки весов были такие: a1 = 560 г, a2 = 440 г, a3 = 520 г. Какова действительная масса куска мяса? Вычислить логарифмический декремент затухания колебаний стрелки весов. 5.21. Под действием вынуждающей силы Fx = F0cos(ωt) груз массой m, подвешенный на пружине жесткостью k, колеблется. Определить частоту вынуждающей силы, при которой наступит резонанс. 5.22. Чему равна резонансная амплитуда у системы без трения? Имеет ли максимум резонансная кривая при коэффициенте затухания, равном β ≥ ω0 / ? 5.23. Для трех коэффициентов затухания β1 < β2 < β3 нарисовать на одном чертеже качественные резонансные кривые. 5.24. Уравнение движения системы имеет вид . Вычислить период колебаний системы: 1) если нет вынуждающей силы и нет силы трения; 2) если система совершает установившиеся вынужденные колебания. 5.25. В молекуле азота частота колебаний атомов равна 4,451014 Гц, масса одного атома 2,3210-26 кг. Найти коэффициент квазиупругой силы, действующей между атомами. 5.26. Определить период, частоту и начальную фазу свободных колебаний, заданных уравнением х = Asinω(t + τ), где ω = 2,5 πс-1 , τ = 0,4 с, А - константа. 5.27. Колебания материальной точки заданы уравнением х = Acos(ωt + φ), где А = 2 см, ω = π с-1 , φ = π/4 рад. Построить графики зависимости смещения точки от положения равновесия, ее скорости и ускорения. 5.28. Даны амплитуда и период свободных колебаний пружинного маятника: А = 4 см, Т = 2 с. Написать уравнение этих колебаний. В момент возникновения колебаний (0) = 0, (0) < 0. 5.29. Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом Т = 6 с. Диаметр окружности d = 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось х. Принять, что в момент времени t = 0 х(0) = 0. Найти смещение, скорость и ускорение проекции точки в момент времени t = 1 с. 5.30. Пружинный маятник совершает гармонические колебания. Какие из приведенных выражений для полной энергии колеблющегося тела верны? Здесь k - жесткость пружины; A - амплитуда; m - масса тела; ω - циклическая частота; x - смещение тела от положения равновесия; V - скорость; Fmax - максимально упругая сила 5.31. Гармонический осциллятор совершает колебания. Какие из перечисленных величин достигают максимального значения в крайнем положении: скорость, ускорение, упругая сила, кинетическая энергия, потенциальная энергия? 5.32. Колебания материальной точки заданы уравнением х= Acos(ωt), где А = 5 см, ω = 2 с-1. Определить ускорение тела в момент времени, когда скорость его будет равна 8 см/с. 5.33. Колебания математического маятника заданы уравнением φ = φ0sin(ωt + а). Маятник отклонили на угол φ1 = 0,1 π, а затем отпустили. Определить начальную фазу. 5.34. Колебания материальной точки заданы уравнением х = 7sin0,5πt. За какой промежуток времени она проходит путь от положения равновесия до максимального смещения? 5.35. Записать уравнение гармонических колебаний материальной точки, если период колебаний Т = 2 с, максимальное ускорение аmax = 49,3 см/с2, начальное смещение точки от положения равновесия х(0) = 25 мм. 5.36. Для гармонического осциллятора массой m с координатой х = Acos(ωt + π/4) нарисовать графики зависимостей: T(t), u(t), E(u), T(u), T(x) u(x). Т, u, E - кинетическая, потенциальная и полная механическая энергия осциллятора. 5.37. Колебания гармонического осциллятора заданы уравнением х = Asin(ωt + φ0). Выразить через амплитуду А и начальную фазу φ0 значения координаты и скорости в момент времени t = 0. 5.38. Изобразить в моменты времени t0 = 0 и t1 = π /2ω на векторной диаграмме колебания: а) х = Acos(ωt + π/4), б) х = 2Acos(ωt- -π/6). Константа А > 0. 5.39. Колебания материальной точки заданы уравнением х = Acosωt, где А = 8 см, ω = 2π/3 Гц. В момент времени, когда сила, действующая на тело, в первый раз достигла 5 мН, потенциальная энергия была равна 100 мкДж. Определить этот момент времени и соответствующую ему фазу. 5.40. Частота затухающих колебаний 103 Гц. Определить частоту собственных колебаний системы, если резонанс наблюдается при частоте 998 Гц. 5.41. Пружинный маятник массой m и с жесткостью k колеблется под действием вынуждающей силы F = F0sin(ωt). Зависит ли амплитуда колебаний и как она зависит от F0, ω, m и k? Если зависит, то каким образом? 5.42. Колебания материальной точки заданы уравнением x = Asin(ωt). В момент времени, когда смещение тела было x1 =2,4 см его скорость достигла V1 = 3 см/с. В момент времени, когда смещение было x2 = 2,8 см, его скорость стала равной V2 = 2 см/с. Найти амплитуду и период этих колебаний. 5.43. Смещение шарика массой m = 10 г от положения равновесия описывается уравнением х = Asin(πt/5 + π/4), где А = 5 см. Определить максимальную силу, действующую на тело, и его полную энергию. 5.44. Записать уравнение гармонических колебаний. Известно, что максимальная скорость материальной точки равна Vmax = 10 cм/с, а ее максимальное ускорение amax = 100 см/с2. Принять начальную фазу колебаний равной нулю. 5.45. Записать уравнение гармонических колебаний материальной точки. Известно, что ее максимальное смещение xmax = 10 см, а максимальная скорость Vmах = 20 см/c. Принять начальную фазу колебаний равной нулю. 5.46. Колебания гармонического осциллятора описываются уравнением x = Asin(ωt). В некоторый момент времени смещение осциллятора х1 было равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась в 2раза, смещение стало х2 = 8см. Определить амплитуду колебаний. 5.47. Колебания гармонического осциллятора описываются уравнением x = Asin(ωt), где А = 10 см, ω = 5 Гц. Вычислить действующую на осциллятор силу: 1) когда ωt = π/3; 2) когда смещение осциллятора максимально. 5.48. Амплитуды вынужденных колебаний при частотах вынуждающей силы 1 = 200 Гц и 2 = 300 Гц равны. Определить частоту, соответствующую резонансу. 5.49. Три последовательных аиплитудных положения качающейся стрелки гальванометра соответствуют делениям шкалы: n1 = 20,0; n2 = 5,6 и n3 = 12,8. Считая декремент затухания постоянным, определить деление, соответствующее положению равновесия стрелки. 5.50. Каков общий путь, пройденный материальной точкой до полного затухания колебаний? Амплитуда первого колебания равна 1 мм, логарифмический декремент затухания равен 0,002. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №I Варианты заданий для студентов заочной формы обучения Вариант Номера задач 0 1.11 1.27 2.11 2.26 3.11 3.37 4.11 4.36 5.1 5.26 1 1.12 1.28 2.12 2.27 3.12 3.38 4.12 4.37 5.2 5.27 2 1.13 1.29 2.13 2.28 3.13 3.39 4.13 4.38 5.3 5.28 3 1.14 1.30 2.14 2.29 3.14 3.40 4.14 4.39 5.4 5.29 4 1.15 1.32 2.15 2.30 3.15 3.41 4.15 4.40 5.5 5.30 5 1.16 1.33 2.16 2.31 3.16 3.42 4.16 4.41 5.6 5.31 6 1.17 1.38 2.17 2.32 3.17 3.43 4.17 4.42 5.7 5.32 7 1.18 1.39 2.18 2.33 3.18 3.44 4.18 4.43 5.8 5.33 8 1.19 1.40 2.19 2.34 3.19 3.45 4.19 4.44 5.9 5.349 1.20 1.41 2.20 2.35 3.20 3.46 4.20 4.45 5.10 5.35 Библиографический список
|