СЕМИНАР 13. Семинар 13 Вычисление пределов последовательностей
 Скачать 294.5 Kb.
|
|
СЕМИНАР 13 Вычисление пределов последовательностей. Вводная информация Предел последовательности. Определение. Последовательность  называется сходящейся к числу  , если  такое, что при  выполняется неравенство  . Число называется пределом последовательности при  и обозначается  .Определение. Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.Теорема. Сходящаяся последовательность ограничена. Ограниченность последовательности является необходимым условием ее сходимости. Определение. Будем говорить, что последовательность удовлетворяет условию Коши, если такое, что  и  справедливо неравенство  . Последовательность, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной последовательностью.Приведем эквивалентное определение такой последовательности. Определение. Последовательность называется фундаментальной, если такое, что и  верно неравенство  .Сформулируем достаточное условие сходимости. Теорема (критерий Коши). Необходимым и достаточным условием сходимости последовательности является ее фундаментальность.Иногда более удобно использовать другой критерий сходимости. Теорема. Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится. Пример 1 (второй замечательный предел).  .Свойства пределов. При вычислении пределов последовательностей удобно использовать следующие их свойства. Пусть и  , тогда1) передел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов:    ;2) предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:    ;(следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела (  ));3) предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов:  ;4) предел степени, являющейся сходящейся последовательностью, от сходящейся последовательности равен степени, совпадающей с пределом первой последовательности, от предела второй последовательности:  (первое следствие: предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела (  ),второе следствие: предел корня  - ой степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности ( ));5) пусть ,  , и  , начиная с некоторого числа ,  , тогда  (теорема о трех последовательностях).Бесконечно малая последовательность. Определение. Последовательность  называется бесконечно малой последовательностью, если  .Теорема. Если последовательность имеет предел, равный , то  , где - бесконечно малая последовательность. Верно и обратное утверждение: если , где - бесконечно малая последовательность, то , т.е. равенство - необходимое и достаточное условие того, что - предел последовательности .Отметим основные свойства бесконечно малых последовательностей:
последовательность. Определение. Последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если  такое, что  .Для бесконечно больших последовательностей будем писать  или  .Теорема. 1) Если - бесконечно малая последовательность, то  - бесконечно большая последовательность. 2) Если - бесконечно большая последовательность, то  - бесконечно малая последовательность.Вычисление пределов в случае неопределенностей. Замечание 1. Использование свойств пределов, приведенных выше, при их вычислении теряет смысл в случаях:  , которые называются неопределенностями. Вычисление пределов в этих случаях называется раскрытием неопределенностей.Замечание 2. Неопределенности типа  сводятся к неопределенности вида  с помощью вычисления логарифмической функции от рассматриваемой последовательности, т.е. вычисление предела  заменяется на вычисление предела  . При раскрытии неопределенности вида часто используют знание второго замечательного предела.Замечание 3. Неопределенность вида заменяется неопределенностью  или неопределенностью  с помощью преобразования  .Замечание 4. Неопределенность вида можно заменить на неопределенность (или наоборот) преобразованием  .Замечание 5. Пределы  , имеющие неопределенность вида , часто вычисляются делением числителя и знаменателя на старшую степень  .Замечание 6. Пределы  , представляющие неопределенность  , вычисляют путем умножения и деления разности  на сумму  (сопряженную величину).ЗАДАЧИ 1. Задачи удовлетворительного уровня сложности. Используя определение предела, доказать справедливость формул. 13.1.  . 13.2.  . 13.3.  . 13.4.  . 13.5.  . 13.6.  . 13.7.  .Найти пределы последовательностей. 13.8.  . 13.9.  . 13.10. . 13.11.  .13.12.  . 13.13.  . 13.14.  .13.15.  . 13.16.  . 13.17.  .13.18.  . 13.19.  . 13.20.  .Найти пределы последовательностей. 13.21.  . 13.22.  . 13.23.  .13.24.  . 13.25.  . 13.26.  .13.27.  . 13.28.  .Найти пределы последовательностей. 13.29.  . 13.30.  . 13.31.  . 13.32.  .13.33.  . 13.34.  . 13.35.  .13.36.  . 13.37.  . 13.38.  .13.39.  . 13.40.  .2. Задачи повышенного уровня сложности. Найти пределы последовательностей. 13.41.  . 13.42.  .13.43.  . 13.44.  .13.45.  , если  . 13.46.  , если  . 13.47.  , если  . 13.48.  .13.49.  . 13.50.  .
|