Системы счисления. Системы счисления Основные определения

Скачать 122.34 Kb.

Название	Системы счисления Основные определения
Анкор	Системы счисления.docx
Дата	27.05.2017
Размер	122.34 Kb.
Формат файла
Имя файла	Системы счисления.docx
Тип	Документы #9948

Системы счисления

Основные определения

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

Каждое число изображается в виде последовательности цифр, а для изображения каждой цифры используется какой-либо физический элемент, который может находиться в одном из нескольких устойчивых состояний.

Для проведения расчетов в повседневной жизни общепринятой является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используются только десять различных знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры введены для обозначения десяти последовательных целых чисел от 0 до 9. Обозначая число «ДЕСЯТЬ», мы используем уже имеющиеся цифры «10». При этом значение каждой из цифр поставлено в зависимость от того места (позиции), где она стоит в изображении числа. Такая система счисления называется позиционной. При этом десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда.

Так, число 252,2 можно записать в виде выражения

.

Аналогично десятичная запись произвольного числа x в виде последовательности цифр

основана на представлении этого числа в виде полинома

,

где

. При этом запятая, отделяющая целую часть от дробной и является, по существу, началом отсчета.

Число P единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называется основанием системы счисления, а сама система счисления называется P-ичной. Так, в десятичной системе счисления основанием системы является число 10. Для записи произвольного числа в P-ичной системе счисления достаточно иметь P различных цифр. Цифры, служащие для обозначения чисел в заданной системе счисления называются базисными.

Запись произвольного числа x в позиционной системе счисления с основанием P в виде полинома

.

Каждый коэффициент

данной записи может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. Числа в P-ичной системе счисления записываются в виде перечисления всех коэффициентов полинома с указанием положения запятой:

В качестве базисных чисел обычно берутся числа от 0 до P-1 включительно. Для указания того, в какой системе счисления записано число, основание системы указывается в виде нижнего индекса в десятичной записи, например

12,43₈.

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Двоичная система счисления

Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления. Это обусловлено тем, что любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры соответственно: 0 и 1. Тогда произвольное число x запишется в виде

или

.

Ниже представлена таблица чисел в двоичной системе счисления

1₁₀	1₂	9₁₀	1001₂
2₁₀	10₂	10₁₀	1010₂
3₁₀	11₂	11₁₀	1011₂
4₁₀	100₂	12₁₀	1100₂
5₁₀	101₂	13₁₀	1101₂
6₁₀	110₂	14₁₀	1110₂
7₁₀	111₂	15₁₀	1111₂
8₁₀	1000₂	16₁₀	10000₂

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными числами являются числа от нуля до пятнадцати включительно. Поэтому для обозначения базисных чисел одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:

10₁₀ = A₁₆ 12₁₀ = C₁₆ 14₁₀ = E₁₆

11₁₀ = B₁₆ 13₁₀ = D₁₆ 15₁₀ = F₁₆.

Например, число 175₁₀ в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF₁₆. Действительно,

Смешанные системы счисления

Смешанной называется такая система счисления, в которой числа, заданные в некоторой системе счисления с основанием P изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием Q, где Q<P. В такой системе P называется старшим основанием, Q — младшим основанием, а сама система счисления называется Q-P-ичной. Для того, чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, для представления любой P-ичной цифры отводится одно и то же количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления любого базисного числа P-ичной системы.

Так, в двоично-десятичной системе для изображения каждой цифры отводится 4 двоичных разряда. Например, число 925₁₀ запишется в двоично-десятичной системе как 1001 0010 0101. Здесь последовательные четверки (тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2 и 5 десятичной записи соответственно.

Следует отметить, что, хотя в двоично-десятичной записи используются только цифры «0» и «1», эта запись отличается от двоичного изображения данного числа. Например, двоичный код 1001 0010 0101 соответствует десятичному числу 2341, а не 925.

Особого внимания заслуживает случай, когда P=Q^l(l – целое положительное число). В этом случае запись какого-либо числа в смешанной системе счисления тождественно совпадает с изображением этого числа в системе счисления с основанием Q: A2₁₆ = 1010 0010₂.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Задача перевода заключается в следующем: Пусть известна запись числа x в системе счисления с каким-либо основанием P:

,

где p_i – цифры P-ичной системы

. Требуется найти запись этого числа x в системе счисления с основанием Q:

,

где q_i – искомые цифры Q-ичной системы

.

Для перевода любого числа достаточно отдельно перевести его целую и дробную части.

Перевод целых чисел.

Представим число x в Q-ичной системе в виде полинома

(1)

Для определения в поставленной задаче

разделим обе части равенства (1) на Q, причем в левой части произведем фактическое деление, поскольку запись числа x в P-ичной системе нам известна, а в правой части деление выполним аналитически:

. (2)

Таким образом, младший коэффициент

в разложении (1) является остатком от деления x на Q. Число

является целым, и к нему тоже можно применить описанную процедуру:

, (3)

а

– остаток от деления (3).

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получено x_s₊₁=0. Для записи числа x в Q-ичной системе счисления запишем каждый из полученных коэффициентов

одной Q-ичной цифрой.

Пример 1: Перевести число 47₁₀ в двоичную систему счисления (Q= 2).

Искомое число 47₁₀ = 101111₂.

Пример 2: Перевести число 3060₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления (Q= 16).

Таким образом,

=4₁₀ = 4₁₆,

=15₁₀ = F₁₆,

=11₁₀ = B₁₆. Искомое число
3060₁₀ = BF4₁₆.

Перевод дробных чисел

Пусть необходимо перевести в Q-ичную систему правильную дробь x (0<x<1), заданную в P-ичной системе счисления.

Поскольку x<1, то в Q-ичной системе запись числа x будет иметь вид

(4)

Умножив обе части выражения (4) на Q, получим

,

где

является целой частью, а

– правильная дробь. Искомые коэффициенты

могут быть определены по формуле

,

где [ ] – целая часть. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено

, либо не будет достигнута требуемая точность числа.

Пример 3: Перевести число 0,25₁₀ в двоичную систему счисления

Искомое число x= 0,25₁₀ = 0,01₂.

Арифметические действия в системах счисления с основанием, отличным от 10

Выполнение арифметических действий в любых позиционных системах счисления производится по тем же правилам, которые используются в десятичной системе счисления.

Так же, как и в десятичной системе счисления, для выполнения арифметических действий необходимо знать таблицы сложения (вычитания) и умножения. Ниже представлены данные таблицы для двоичной системы счисления

Таблица

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 ∙ 0 = 0
0 + 1 = 1	1 – 0 = 1	0 ∙ 1 = 0
1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	1 ∙ 0 = 0
1 + 1 = 10	10 – 1 = 1	1 ∙ 1 = 1

Пользуясь приведенными таблицами, произведем арифметические операции над двоичными числами.

В тех случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает единицы во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в младшем нулевом разряде.

Рассмотрим операции умножения и деления двоичных чисел.

Зная операции двоичной арифметики, можно переводить числа из двоичной системы счисления в любую другую.

Пример: Перевести число 101111011₂ в десятичную систему счисления.

Поскольку 10₁₀ = 1010₂, запишем

Полученные остатки,

=1001₂ = 9₁₀,

=111₂ = 7₁₀,

=11₂ = 3₁₀. Искомое число 101111011₂ = 379₁₀.

В случае перевода чисел из одной недесятичной системы в другую возникает сложность выполнения действий в недесятичной системе счисления. В этом случае удобнее может быть делать перевод в два этапа m10q, где mиq– основания систем счисления соответственно.

Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования

Двоичная система счисления удобна для выполнения аппаратными средствами микропроцессора арифметических действий, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует много разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Рассмотрим перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную.

Запишем число x в полиномиальной форме. Получим

Разделим обе части полученного выражения на 8. Учитывая, что 8 = 2³, получим

.

Таким образом, остаток от деления

, что является двоичным разложением десятичного числа, лежащего в диапазоне [0; 7] (для изображения данной десятичной цифры в двоичной системе счисления требуется 3 разряда).

Таким образом, чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда справа налево. При необходимости в начале исходного числа нужно добавить незначащие нули. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110₂ в восьмеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры триады справа налево. Получаем

001 101 110₂ = 156₈.

Аналогичным образом производятся преобразования из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, только двоичные цифры объединяются в группы по 4 разряда (тетрады).

Пример: Преобразовать число 1101110₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры триады справа налево. Получаем

0110 1110₂ = 6E₁₆.

Обратный и дополнительный коды и их применение в операциях
с отрицательными числами

Приведенные выше примеры арифметических операций рассмотрены для случая, когда все операнды положительны. Однако очень часто в вычислениях должны использоваться не только положительные, но и отрицательные числа.

Число со знаком в вычислительной технике представляется путем добавления еще одного разряда к величине самого числа. Принято считать, что «0» в знаковом разряде означает знак «плюс» для данного числа, а «1» – знак «минус».

Выполнение арифметических операций над числами с разными знаками представляется для аппаратной части довольно сложной процедурой. В этом случае нужно определить большее по модулю число, произвести вычитание и присвоить разности знак большего по модулю числа.

Применение обратного и дополнительного кодов позволяет выполнить операцию алгебраического суммирования и вычитания на обычном сумматоре. При этом не требуется определения модуля и знака числа.

При представлении чисел в прямом коде значащая часть положительных и отрицательных чисел совпадает. Отличие состоит лишь в знаковом разряде. В прямом коде число «0» имеет два представления «+0» и «–0».

Обратный код для положительных чисел имеет тот же вид, что и прямой код, а для отрицательных чисел образуется из прямого кода положительного числа путем инвертирования всех значащих разрядов прямого кода.

Дополнительный код для положительных чисел имеет тот же вид, что и прямой код, а для отрицательных чисел образуется путем прибавления «1» к обратному коду. Добавление «1» к обратному коду числа «0»: 1111 теперь дает 0000. Таким образом, дополнительный код числа «0» имеет одно значение. Однако это приводит к асимметрии диапазонов представления чисел относительно нуля. Так, в шестнадцатиразрядном представлении диапазон изменения чисел с учетом знака

-32768  x  32767.

Ниже приведена таблица прямого, обратного и дополнительного кода некоторых чисел.

Таблица

Число	Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
-7	1111	1000	1001
-1	1001	1110	1111
0	1000 0000	1111 0000	0000
1	0001	0001	0001
7	0111	0111	0111

Сложение и вычитание чисел со знаком в дополнительном коде

Если оба числа имеют n–разрядное представление, то алгебраическая сумма будет получена по правилам двоичного сложения (включая знаковый разряд), если отбросить возможный перенос из старшего разряда. Если числа принадлежат диапазону представимых данных и имеют разные знаки, то сумма всегда будет лежать в этом диапазоне. Переполнение может иметь место, если оба злагаемых имеют одинаковые знаки.

Пример 1: 6 – 4 = ?

6 – положительное число с кодом 0110

–4 – отрицательное число с дополнительным кодом

(перенос игнорируется): 6 – 4 = 2.

Пример 2: –5 + 2 = ?

2 – положительное число с кодом 0010

–5 – отрицательное число с дополнительным кодом

Число с кодом 1101 является отрицательным, модуль этого числа имеет код 0011₂ = 3₁₀.