Геом_док_сент2010. Учебнометодическое пособие для студентов педвузов и педколледжей. Ростов нД ргпу, 2008, 46 с

Скачать 343.5 Kb. Название Учебнометодическое пособие для студентов педвузов и педколледжей. Ростов нД ргпу, 2008, 46 с Анкор Геом_док_сент2010.doc Дата 22.04.2017 Размер 343.5 Kb. Формат файла Имя файла Геом_док_сент2010.doc Тип Учебно-методическое пособие #1565 страница 1 из 4

1   2   3   4 Т.С. Полякова МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ И ИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ РОСТОВ-НА-ДОНУ 2008 Математические предложения и их доказательства в курсе геометрии основной школы: Учебно-методическое пособие для студентов педвузов и педколледжей. – Ростов н/Д: РГПУ, 2008, – 46 с. В учебно-методическом пособии раскрыты теория и методика обучения теоремам и их доказательствам в курсе геометрии основной школы. Пособие написано на модульной основе с выделением теоретического, практического и диагностико-квалиметрического модулей. Пособие может быть рекомендовано учителям математики, студентам, обучающимся в бакалавриате и на отделении заочного обучения математических факультетов педвузов, а также студентам и преподавателям педагогических колледжей. ВВЕДЕНИЕ Важнейшую часть профессиональной подготовки учителя математики составляет теория и методика обучения предмету. Одна из традиционных математических дисциплин школьного курса математики – геометрия. В геометрии учащиеся впервые сталкиваются со строго определяемыми понятиями. Здесь же они знакомятся с важнейшими математическими предложениями – теоремами и аксиомами. И, может быть, самое важное – впервые от них требуют логических обоснований теорем, которые представлены в виде строгих доказательств. Методике изучения теорем и их доказательств и посвящено предлагаемое Вашему вниманию пособие. Учебное пособие разработано на модульной основе. Это проявляется в том, что в нем представлены три базовых модуля – теоретический, практический и диагностико-квалиметрический. Теоретический модуль содержит материалы для лекционных занятий со студентами. Он разбит на два содержательных подмодуля. Первый содержательный подмодуль теоретического модуля содержит характеристику математических предложений и их доказательств в курсе геометрии основной школы. Здесь вводится понятия о математических предложениях и их основных видах – теоремах и аксиомах, рассматривается структура теоремы. Большое внимание уделяется классификациям теорем. Рассматриваются прямые, обратные, противоположные и обратные противоположным теоремы, а также теоремы существования, теоремы единственности, теоремы-признаки и теоремы-свойства. В этом же содержательном подмодуле теоретического модуля рассматриваются доказательства в курсе геометрии основной школы. Вводятся основные понятия – умозаключение, силлогизм, большая и меньшая посылки, доказательство. Рассматривается структура последнего, требования к основным его элементам – тезису, аргументам, демонстрации. Большое внимание в этом подмодуле уделяется методам доказательства. Рассматриваются две группы логических методов – прямые и косвенные доказательства. В первой группе характеризуются синтетический и аналитический методы, а также метод математической индукции. Из косвенных доказательств рассматривается только широко применяемый в геометрии метод доказательства от противного. Перечисляются также основные математические методы доказательства теорем – метод геометрических преобразований и метод равенства и подобия треугольников. Методы доказательства обобщены в виде схемы 1. Далее рассматриваются индукция и дедукция как основные приемы обоснования математических предложений. Второй содержательный подмодуль посвящен методике обучения доказательству теорем. Не будет преувеличением, что курс геометрии основной школы играет колоссальную роль в обучении доказательству, так как именно в этой школьной дисциплине впервые теоремы последовательно и систематически формулируются, доказываются и применяются при решении задач. Практический модуль содержит материалы для практических и лабораторных занятий по вопросам, изложенным в теоретическом модуле. Наконец, диагностико-квалиметрический модуль содержит материалы, направленные на диагностику уровня ранее усвоенного материала по общей методике обучения математике, а также на определение качества овладения теоретическим материалом пособия. I МОДУЛЬ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ Материалы к лекционным занятиям СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ ПОДМОДУЛЬ 1. Математические предложения и их доказательства в курсе геометрии основной школы 1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ. В логике выделяются следующие формы мышления: понятия, суждения, умозаключения. В курсе общей методики уже рассматривались понятия, умозаключения будут проанализированы далее. Рассмотрим, что такое суждение. Суждение – форма мышления, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов и явлений, их свойств и отношений; оно может быть истинным или ложным. В математике суждение называют математическим предложением. Математические предложения либо принимаются за истинные без доказательства и тогда являются аксиомами, либо их истинность устанавливается после соответствующего логического обоснования – доказательства. В этом случае математическое предложение называется теоремой. Термин «Теорема» происходит от греческого слова «Τεορεμα» – представление, зрелище, так как в древности часто теоремы доказывались публично, на площадях. Доказательсчтва носили характер спора, диспута. Структура теоремы. Теорема состоит из двух основных частей – условия и заключения; на языке логики p  q, где р – условие, q – заключение,  знак следования. Для словесного выражения теоремы обычно используют две формы суждений. 1. Категорическую. Пример. Формулировка теоремы Пифагора: “Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы” ;1 2. Условную. Пример. Признак равенства треугольников: “Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны” . Таким образом, в условной форме используется словесная модель “Если ... , то ...”, которая с методической точки зрения значительно удобнее категорической: в ней уже выделены условие (то, что следует за словом “если”) и заключение (то, что следует за словом “то”). Форма суждений достаточно легко меняется без изменения их содержания. Учителю следует упражнять учащихся в переводе категорической формы в условную, так как это один из эффективных приемов выделения условия и заключения теоремы. Виды теорем. Имея некоторую теорему 1) p  q и считая ее прямой, можно образовать следующие виды теорем: 2) q  р – обратная, 3) 2 – противоположная, 4) – обратная противоположной. Пример. Теорема: “Вертикальные углы равны”. Переведем категорическую форму в условную: 1) Если углы вертикальны, то они равны; 2) Если углы равны, то они вертикальны, 3) Если углы не вертикальны, то они не равны; 4) Если углы не равны, то они не вертикальны . Нетрудно убедиться, что теоремы 1 и 4, а также 2 и 3 равносильны (если истинна одна, то истинна и другая), чего не скажешь о других парах. В курсе планиметрии изучаются только прямые и обратные теоремы. Учителю необходимо специально поработать над этими понятиями, так как учащиеся часто ссылаются на обратную теорему вместо прямой и наоборот (особенно часто так используют теоремы Виета и Пифагора и обратные им). С понятиями прямой и обратной теорем тесно связаны необходимые и достаточные условия. Однако мы опустим этот материал, так как в курсе планиметрии необходимые и достаточные условия явно не используются. Теоремы можно классифицировать также по характеру их использования в курсе геометрии. С этой точки зрения принято выделять: 1) теоремы существования, которые утверждают существование того или иного объекта; 2) теоремы единственности, которые утверждают, что существующий объект единственен; 3) теоремы-признаки, определяющие условия, при которых рассматриваемый объект относится к определенному классу объектов; 4) теоремы-свойства, которые описывают свойства данного объекта. В школьном курсе планиметрии явно не изучаются теоремы существования и единственности. Поэтому приведем примеры только теорем-признаков и теорем-свойств. Пример 1. Теорема-признак: “Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны” . Пример 2. Теорема-свойство: “В равных треугольниках против равных сторон лежат и равные углы” . Теоремы-признаки и теоремы-свойства играют очень большую роль в изучении планиметрии, так как имеют различные функции. Не вдаваясь в тонкости этой классификации, учитель должен специально выделять теоремы-признаки, подчеркивая, что с их помощью можно определить, принадлежит ли фигура, обладающая теми или иными свойствами, к определенному классу фигур. 1.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ Прежде чем говорить о доказательстве, продолжим характеристику основных форм мышления. Введем некоторые необходимые понятия. Умозаключением называется процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений.1 Силлогизм – это умозаключение, в котором на основании двух суждений (большей посылки и меньшей посылки) выводится третье суждение (вывод, заключение). Большая посылка – это некоторое общее суждение (аксиома, теорема, определение, допущение и т. д.); меньшая посылка – частное суждение. Пример. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (общее суждение). В треугольниках АВС и А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1, ВС = В1С1 (частное суждение). Треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1 (новое суждение-вывод) . Теперь мы в состоянии принять рабочее понятие доказательства, достаточное для нужд школьного курса планиметрии. Доказательство – логическое действие, в процессе которого истинность какого-либо математического предложения обосновывается с помощью других предложений, признанных истинными. Это действие обычно представляет собой цепочку силлогизмов. Доказательство включает в себя три основных элемента: Тезис, установить истинность которого – главная цель доказательства. Форма выражения тезиса – суждение. Аргументы (основания) доказательства – положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов – суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключениям, которые строятся по определенным правилам. Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису. К тезису, аргументам и демонстрации предъявляют определенные требования, нарушение которых приводит к ошибкам в доказательствах. Требования к доказываемому предложению (тезису): – тезис должен быть сформулирован ясно и определенно. Пример небрежной формулировки тезиса: большей дуге соответствует большая хорда (это справедливо для дуг одной и той же или равных окружностей и при условии, что большая дуга меньше полуокружности); – тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства. Требования к аргументам: – аргументы доказательства должны быть суждениями истинными и доказанными. – аргументы должны быть такими суждениями, истинность которых доказана независимо от тезиса. К типичным случаям нарушения первого требования относят: а) использование в качестве аргумента доказательства такого положения, которое само нуждается в доказательстве; б) использование в качестве аргумента доказательства ложного суждения; в) использование в качестве основания суждения, с помощью которого можно доказать не только данный тезис, но и заведомо ложные утверждения. В демонстрации, т.е. в переходе от аргументов к тезису, также возможны ошибки, обусловленные нарушением правила вывода, используемых в этом переходе. Различают ошибки двух видов: – тезис не вытекает из аргументов, а произвольно присоединяется к ним; – тезис выведен из аргументов путем ошибочного умозаключения. Очевидно, что число таких ошибок уменьшилось, если бы правила вывода были предметом изучения в школе. Методы доказательства теорем. По способу связи аргументов от условия к заключению доказательства подразделяются на прямые и косвенные. Прямое доказательство основано на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы. Методы прямого доказательства: – синтетический, – аналитический, – метод математической индукции. Синтетический метод: при построении цепочки силлогизмов мысль движется от условия теоремы к ее заключению. В учебниках приводятся преимущественно синтетические доказательства. Их преимущества – полнота, сжатость, краткость. Недостатки – отсутствие мотивации шагов, обоснования дополнительных построений; они носят значительно более формальный характер, чем аналитические доказательства. Пример. Теорема о хордах окружности. Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Дано: АВ и СД – хорды окружности, Е – точка их пересечения. Доказать: АЕВЕ = СЕДЕ. (1) Доказательство (синтетическое) Рассмотрим треугольники АДЕ и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВМД, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников АДЕ СВЕ. Отсюда следует, что , или АЕВЕ = СЕДЕ. Теорема доказана . Аналитический метод: при поиске доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Преимущества этого метода – есть отправное звено доказательства, дополнительные построения мотивированы, увеличивается творческая активность учащихся. Недостатки – большие потери времени, искусственные дополнительные построения трудно обосновать. Пример. Теорема о хордах окружности. Доказательство (аналитическое) Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что (2). Для того, чтобы найти пропорцию (2), достаточно доказать подобие треугольников, стороны которых являются членами этой пропорции. Для получения таких треугольников соединяем точки С и В, А и Д. Чтобы обосновать верность пропорции (2), достаточно доказать, что АДЕ СВЕ. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: 1 = 2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВМД, а 3 = 4 как вертикальные. Следовательно, теорема верна . Любое аналитическое доказательство обратимо в синтетическое и наоборот. Это широко используется в учебном процессе. Технологии могут быть таковы: 1) синтетическое доказательство предваряется аналитическими поисками его плана; 2) синтетическое доказательство заменяется аналитическим, в качестве домашнего задания – изучение синтетического доказательства по учебнику; 3) при использовании лекционного метода (преимущественно за пределами курса основной школы) часто используется чисто синтетический метод доказательства. Метод математической индукции не имеет распространения в геометрии, так как основан на свойствах множества натуральных чисел, выходит за рамки основной школы, поэтому мы не будет подвергать его специальному изучению. Косвенное доказательство: истинность теоремы устанавливается посредством опровержения некоторых суждений, содержащихся в теореме. Наиболее распространенный и единственно применимый в курсе планиметрии метод косвенного доказательства – доказательство от противного. Логико-математическая сущность метода от противного: вместо прямой (р  q) доказывается обратная противоположной теорема ( ). Поэтому доказательство методом от противного строится по следующей схеме: 1) пусть неверно q, то есть истинно ; 2) докажем, что ложно р, то есть истинно ; 3) убедились, что из ; 4) следовательно, р  q (в силу равносильности импликаций р  q и ), что и требовалось доказать. Курс геометрии основной школы широко применяет доказательства от противного, начиная буквально с первых уроков в седьмом классе. При этом необходимо использовать алгоритмический подход. Алгоритм доказательства от противного. 1. Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее ему утверждение. 2. Вычленяем возможные случаи. 3. Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит: – условию теоремы, – ранее установленным математическим фактам. 4. Наличие противоречия заставляет отказаться от принятого заключения. 5. Признаем справедливость заключения доказываемой теоремы. Мы охарактеризовали основные логические методы доказательства теорем: прямые и косвенные, которые в свою очередь могут быть аналитическими и синтетическими, доказательствами от противного. Можно говорить об основных математических методах доказательства теорем. В геометрии к ним можно отнести следующие базовые методы: 1) метод геометрических преобразований: эффективен, соответствует современной концепции обучения геометрии в школе, но требует развитого абстрактного и пространственного мышления; методика его использования в школе недостаточно отработана; 2) метод равенства и подобия треугольников – соответствует классической концепции обучения геометрии в школе, известен со времен Евклида, поэтому методика его хорошо разработана; навыки его применения формируются постепенно, в процессе решения задач и доказательства теорем. Кроме указанных базовых математических методов доказательства теорем планиметрии можно говорить о более частных методах: метод симметрии, метод поворота, векторный метод, алгебраический метод, метод подобия, координатный метод и др. Методы доказательства, используемые в курсе геометрии основной школы, можно обобщить в виде схемы I. 1.3. ИНДУКЦИЯ И ДЕДУКЦИЯ КАК ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ Различают два основных вида умозаключений – индукцию и дедукцию. Индукция – это умозаключение, при котором из одного или нескольких единичных или частных суждений получают новое общее суждение. Различают два основных вида индукции – неполную и полную. МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЛОГИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДЕДУКТИВНЫЕ ИНДУКТИВНЫЕ ПРЯМОЕ КОСВЕННОЕ аналитическое синтетическое доказательство от противного метод математической индукции метод полной индукции метод геометрических преобразований метод симметрии метод поворота метод параллельного переноса алгебраический метод метод площадей координатный метод векторный метод метод равенства и подобия треугольников метод симметрии метод поворота метод параллельного переноса Неполная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких, но не всех, единичных суждений. В процессе обучения неполная индукция широко применяется в младших классах (например, при изучении переместительного закона сложения из одного или нескольких примеров типа “5 + 2 = 2 + 5” делается общий вывод: “а + в = в + а”).Вывод, основанный на неполной индукции, может быть ошибочным, неполная индукция не является методом логического доказательства. Полной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений, относящихся к рассматриваемой ситуации. Заключение, сделанное на основе полной индукции, является вполне достоверным, полная индукция является методом логического доказательства. Однако используется этот метод редко по следующим причинам: 1) громоздкость, 2) невозможность рассмотрения всех единичных и частных суждений в силу того, что их бесконечно много. Тем не менее, можно привести примеры использования полной индукции: при изучении вопроса об измерении вписанного угла рассматриваются все возможные случаи: 1) одна из сторон угла – диаметр окружности; 2) диаметр лежит между сторонами вписанного угла; 3) диаметр находится вне угла. Дедукция – умозаключение, при котором из одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее суждение. Пример. См. пример умозаключения на с. 19: первое суждение – общее, второе суждение – частное, новое суждение – вывод – новое, менее общее суждение.  Таким образом, сущность дедукции состоит в том, что данный частный случай подводится под общее положение. Дедукция является основным методом логического доказательства. Дедуктивное доказательство теорем характеризуется логической последовательностью шагов, обязательностью обоснований и их ссылками на уже признанные достоверными математические факты. 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ 2.1. ВОСПИТАНИЕ ПОТРЕБНОСТИ В ЛОГИЧЕСКОМ   1   2   3   4