СЕМИНАР 16. Вводная информация Замечательные пределы. Замечательными пределами являются первый
 Скачать 294.5 Kb.
|
|
СЕМИНАР 16 Вычисление пределов функций с помощью замечательных пределов, получение асимптотических формул и применение их к вычислению пределов, непрерывность функции, классификация точек разрыва. Вводная информация Замечательные пределы. Замечательными пределами являются: первыйзамечательныйпредел и второйзамечательныйпредел . Асимптотические формулы. Теорема. Если , то , где , т.е. функция является бесконечно малой функцией при . Верно и обратное утверждение: если , где - бесконечно малая функция при , то . Рассмотрим первый замечательный предел . Тогда , при этом . Используя полученную формулу, представим функцию в виде . Так как (действительно ), перепишем найденную формулу в виде . Подобные формулы, которые называют асимптотическимиформулами (или асимптотическимиразложениями, или асимптотическимипредставлениямифункций), можно получить для многих функций. Для простейших элементарных функций справедливы оценки: 1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) . Эти формулы удобно использовать при нахождении пределов функций вида . Непрерывность функции. Определение. Функция называется непрерывнойвточке , если . Приведем эквивалентное определение. Функция называется непрерывнойвточке , если: 1) она определена в точке ; 2) такое, что при . Определение. Точка , в которой функция не является непрерывной, называется точкойразрываэтой функции. Определение. Точка называется точкойразрывапервогородафункции , если существуют конечные односторонние пределы и и выполняются условия: 1) или 2) . Разность называется скачкомфункции в точке . Точка разрыва первого рода, удовлетворяющая условию 2), называется точкой устранимогоразрыва (разрыв устраняется переопределением значения функции в этой точке ). Определение. Точку называют точкойразрывавторогорода, если в этой точке имеется разрыв функции, не являющийся разрывом первого рода. ЗАДАЧИ 1. Задачи удовлетворительного уровня сложности. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел. 16.1 . 16.2. . 16.3. . 16.4. . 16.5. . 16.6. . 16.7. . 16.8. . 16.9. . 16.10. . 16.11. . 16.12. . 16.13. . 16.14. . 16.15. . 16.16. . 16.17. . 16.18. . 2. Вычислить пределы, используя второй замечательный предел. 16.19. . 16.20. . 16.21. . 16.22. . 16.23. . 16.24. . 16.25. . 16.26. . 16.27. . 16.28. Вычислить предел и, используя результат вычисления, найти асимптотическую формулу для функции . 16.29. Вычислить предел и, используя результат вычисления, найти асимптотическую формулу для функции . 16.30. Вычислить предел и, используя результат вычисления, найти асимптотическую формулу для функции . 16.31. Вычислить предел и, используя результат вычисления, найти асимптотическую формулу для функции . 16.32. Вычислить предел и, используя результат вычисления, найти асимптотическую формулу для функции . Используя асимптотические формулы вычислить пределы. 16.33. . 16.34. . 16.35. . 16.36. . 16.37. . 16.38. . 16.39. . 16.40. . 16.41. . 16.42. . 16.43. . 16.44. . 16.45. . 16.46. . 16.47. Исследовать на непрерывность функции. Определить род точек разрыва при их наличии. 16.48. . 16.49. . 16.50. . 16.51. . 16.52. 16.53. 16.54. 16.55. 16.56. . 16.57. . 16.58. . 16.59. . 16.60 . 2. Задачи повышенного уровня сложности. Вычислить пределы, используя первый замечательный предел. 16.61. . 16.62. . 16.63. . 16.64. . 16.65. . 16.66. . Вычислить пределы, используя второй замечательный предел. 16.67. . 16.68. . 16.69. . 16.70. . 16.71. . 16.72. Вычислить предел и, используя результат вычисления, найти асимптотическую формулу для функции . 16.73. Вычислить предел и, используя результат вычисления, найти асимптотическую формулу для функции . 16.74. Вычислить предел и, используя результат вычисления, найти асимптотическую формулу для функции . Используя асимптотические формулы вычислить пределы. 16.75. . 16.76. . 16.77. . 16.78. . 6.79. . 16.80. . |