ФИЗИКА LR_5_00. Лабораторная работа 00 вычисление погрешности при физических вел и чинах
 Скачать 198.5 Kb.
|
|
Муромский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых» Кафедра: «ФПМ» Дисциплина: Физика ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.00 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛиЧИНАХ Утверждена на методическом семинаре кафедры ФПМ Зав.кафедрой _____________ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.00 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛиЧИНАХ Измерения физических величин подразделяются на прямые и косвенные. Прямые измерения выполняются непосредственно измерительными инструментами; приборами. Числовое значение определяется непосредственно по шкале инструмента или прибора. Косвенные измерения выполняются в случае; когда искомая величина зависит от других физических величин. Значения этих величин получают прямыми измерениями. Косвенные измерения поэтому сводятся к соответствующим числовым расчетам. 1. Вычисление погрешностей при прямых измерениях. Особенность прямых измерений состоит в невозможности ''точно'' указать числовое значение измеряемой величины. Каждое измерение является приближенным и выполняется с некоторой погрешностью. Результат прямого измерения поэтому может быть записан в виде:  , (1)где d – числовой отсчет по прибору, d – абсолютная погрешность измерения. Абсолютными погрешностями называются именованные числа, указывающие пределы; внутри которых заключёно остающееся неизвестным истинное значение измеряемой величины. Например,  означает, что изменяемая величина, определена лишь в границах замкнутого интервала  мм. Значение этих пределов необходимо, т. к. они позволяют определить число верных знаков результата измерений. Погрешности возникают от несовершенства устройства измерительного инструмента и приборов – это измерительные и приборные ошибки, от случайных, трудно учитываемых факторов – это случайные ошибки, от несовершенства регулировки измерительного инструмента и неумелого пользования им – это систематические ошибки от невнимательности экспериментатора – это "промахи". Систематические ошибки, погрешности и "промахи" могут быть обнаружены, учтены, исключены. Для этого требуется повторный анализ эксперимента. Инструментальные и случайные погрешности никакими способами исключить невозможно. Случайные погрешности приходиться вычислять инструментальной абсолютной погрешностью – считается половина цены деления измерительного инструмента или прибора, т. к. отсчеты по шкалам можно производить с точностью до половины деления. Для стрелочных приборов (секундомер) приборная погрешность равна цене деления прибора. Погрешности электроизмерительных приборов вычисляются по их классу точности. Запишем результаты измерения диаметра цилиндра с помощью миллиметровой линейки: мм,где d = 0,5 мм равна половине цены деления миллиметрового масштаба, т. е. ½ мм. Уменьшить погрешность измерения можно только применением более совершенного инструмента, например, штангенциркуля. Цена деления его С = 0,1 мм, тогда d = 0,5 мм и диаметр цилиндра будет равен:  мм.Если диаметр цилиндра измеряется микрометром с ценой деления С = 0,01 мм, то d = 0,005 мм и  мм, Однократное измерение ненадежно. Если, например, у цилиндра нет строгой симметрии относительно оси вращения, то для выявления истинного значения диаметра следует выполнять многократные измерения. В теории вероятности доказывается, что при многократных измерениях истинное значение равно среднему значению измеряемой величины d при условии бесконечно большого числа измерений: , (2)где di – численное значение i-ого измерения. Практически n конечно. В этих случаях dср является наиболее вероятным, но не истинным значением величины d. Вычисление погрешности d связано с выполнением n изменений (п > 2). Отклонения измеренных значений d1, d2, …, dn от среднего значения dср носят случайный характер. В силу этого имеют место случайные погрешности d1, d2, …, di, …, dn, определяемые формулой (3):  (3)Случайные погрешности имеют место в силу случайных обстоятельств, учесть которые заранее невозможно. Случайные погрешности могут уменьшать или увеличивать средний результат (равномерно). Ни одну из случайных погрешностей типа (З) нельзя принять за d. Для среднего результата измерений характерна так называемая средняя квадратичная погрешность dкв. Теория вероятности дает для нее следующую зависимость:  , (4)где n – число измерений. Формула (4) справедлива при значительном числе измерений n > 2 более 10. В лаборатории большое число измерений более 10 затруднительно. Пример: Стьюдентом разработан метод оценки случайной погрешности для любого числа измерений (n > 2). Пользуясь теорией вероятности, Стьюдент получил соотношение для случайной погрешности:  ,где – зависит от числа и надежности измерений, дается таблицами. Учитывая (4), имеем:  . (5)Если внести обозначение  , то случайная погрешность измерения среднего результата примет вид: . (6)В таблице 1 приведены значения, которые следует использовать при выполнении лабораторных работ. Таблица 1
Расчет случайной погрешности методом Стьюдента сводится к следующему: 1). Производят n прямых измерений физической величины и определяют ее среднее арифметическое. 2). Вычисляют по формуле (3) абсолютные погрешности каждого измерения 3). По табл. 1 находят значение для имевшего места числа измерений. 4). Вычисляют, пользуясь формулой (6), случайную погрешность среднего результата dср. 5). Прежде чем записать результат измерения в виде  (7), сравнивают случайную погрешность с инструментальной. Если случайная погрешность менее инструментальной; то в (7) подставляют инструментальную. Так что никакой обработкой невозможно повысить точность данного прибора.В ряде случаев бывает необходимо произвести сравнительную оценку точности измерений двух однородных величин. Для этого одной абсолютной погрешности недостаточно. Для сравнительной оценки точности измерений двух однородных величин вводят так называемую относительную погрешность Е, равную:  , (8)где d – случайная или приборная погрешность прямого измерения. Относительная погрешность выражается отвлеченным числом иравна отношению абсолютной погрешности к среднему результату измерений. Произведем сравнительную оценку точности измерений двух величин на примере, относящемся к работе № 7. Расстояние l между метками m и n измерялось масштабной линейкой с ценой деления 1 мм. Результат измерения:  (9)Относительная погрешность этого изменения составляет:  (10)Диаметр шарика измеряется штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм. Результат измерения:  мм. (11)Относительная погрешность измерения диаметра равна:  (12)Сравнение относительных погрешностей (10) и (12) показывает, что измерение длины выполнено точнее, чем измерение диаметра. Рассмотрим пример вычисления времени при прямых измерениях. При помощи маятника Обербека (см. раб. 4) определялись времена падения груза массы 300 г с высоты 120 см над полом. Результат десяти измерений приведен во второй колонке табл. 2. Таблица 2
tср = 7,14 с, (t2) = 0,2440. Произведем оценку результата многократного измерения времени. Для этого: 1). Вычисляем среднее арифметическое значение десяти измерений с числом знаков, на единицу большим, чем дано во второй колонке табл. 2. Записываем результат расчета (7 и 14) в ту же колонку. 2). В соответствии с формулой (3) находим абсолютные значения погрешностей отдельных измерении, записывая их в колонку 3 табл. 2. Заполняем колонку 4 той же таблицы. 3). По формуле (6) рассчитываем величину случайной абсолютной погрешности, находя по табл. 1 ( = 0,24 для n = 10). 4). Сравниваем случайную погрешность измерения (0,12 с) с приборной (0.2 с). Поскольку случайная погрешность измерения менее приборной, то в качестве t необходимо взять величину приборной ошибки: t = 0,2 c. (14) 5) Записываем результат измерений времени согласно (7):  (15)6). Относительная погрешность результата измерений времени равна:  (16)2. Вычисление погрешности при косвенных измерениях. Если некоторая физическая величина А является функцией других а, в, с, измеряемых непосредственно измерительными инструментами или приборами, то определение величины А является косвенным измерением. Результат косвенного измерения должен быть записан в виде: Аист = А А (17) где А – величина, рассчитанная по средним значениям; А – абсолютная погрешность косвенного измерения, зависит от погрешности прямых измерений d, b, с. Значения абсолютных погрешностей А, как и относительных Е при косвенных измерениях, определяются функциональными зависимостями A = f(a,b,c). Они приведены в табл. 3 для наиболее употребляемых функций. Опуская порядок обоснования этого обстоятельства, изложим порядок вычисления относительной погрешности косвенного измерения на следующем конкретном примере. Момент инерции J маятника Обербека определяется зависимостью:  (18)где Р – вес груза, D – диаметр шкива, h – высота поднятия груза над полом, t – время падения груза с высоты. Таблица 3
Относительная погрешность  найдется, если:1). Взять от обеих частей (18) натуральный логарифм  . (19)2). Продифференцировать равенство (19)  . (20)3). Заменить дифференциалы (dJ, dP, …) конечными приращениями соответствующих величин  (21)4). Изменить знаки минус на плюс, что дает максимальную относительную погрешность, которую мы и определяем  (22)Допустим, что при измерениях момента инерции прямые измерения дали следующие результаты Р = (300,0 ± 0,5) h = (120 + 0,5) см D = (90,00 ± 0,05) мм t = (7,1 ± 0,2) с. Измерение времени выполнено согласно табл. 2. Формула. (22) позволяет рассчитать относительную погрешность косвенного измерения. Она равна  (23)При числовых расчётах относительной погрешности каждое слагаемое (23) округляется до десятичных долей, суммарный результат – до тысячных. Эта точность в студенческой практике вполне удовлетворительна. Величина момента инерции вычисляется по формуле (18), если в нее подставить данные прямых измерений, получим, выполняя расчеты в СИ:  (24)Абсолютную погрешность косвенного измерения находим по относительной погрешности  (25)Причем, в результате следует оставить только одну значительную цифру, отбросив остальные (по правилам округления). Записываем результат косвенного измерения в виде:  (26)В (26) число разрядов в. обоих слагаемых должно быть согласовано. В формулы погрешности часто входят величины взятые из таблицы. Например, = 3,1416…, g = 980,665 см/м2. Ограничиваясь для сотыми долями, округляя g с точностью до целых чисел, имеем:   (27)Значениями (27) следует руководствоваться. В лабораторных условиях наблюдаются случаи, когда некоторые величины не измеряются, а задаются в виде готового результата. При таких обстоятельствах абсолютную погрешность принимают равной половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе. Если, например, дано, что плотность тела = 1,12 г/см3, то = 0,005 г/см2. Удовлетворительная точность расчетов в студенческой практике 2 – 3 %. Эта точность соблюдается, если при расчетах пользоваться логарифмической линейкой. НЕОБХОДИМО: повторить правила пользования логарифмической линейкой, иметь при себе на занятиях и пользоваться при расчетах. 3. Графическая обработка результатов измерения. Пусть векторная физическая величина y зависит от другой физической величины x. Тогда при изменении х изменяется у. Например, плотность раствора изменяется при изменении его концентрации, вязкость жидкости изменяется с температурой. Чтобы получить наглядное представление в каждом таком случае о взаимной связи величин и их закономерном изменении, результаты наблюдений представляют графически. Обычно пользуются прямоугольной системой координат с равномерными масштабами по осям x и у, причем масштаб по оси х необязательно должен быть равен масштабу по оси у. Значения аргумента следует откладывать по оси х, значения функции – по оси у. Масштаб принципиально может быть каким угодно, но при выборе его следует руководствоваться следующими соображениями: 1. График должен быть достаточно точным: наименьшее расстояние, которое можно отсчитывать по графику, должно быть не менее величины абсолютной ошибки измерений. 2. Физическая сущность явления должна быть раскрыта достаточно ясно. В тех областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться небольшим числом изменений (несколькими точками на графике). В области максимумов, минимумов, точек перегиба следует производить измерения значительно чаше. График должен выполняться на миллиметровой бумаге. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей необязательно должно совпадать с нулевыми значениями x и y. При выборе начала координат следует руководствоваться тем, чтобы полностью использовалась вся площадь чертежа (см. рис.1). Равномерно через. 10 – 20 мм откладывают масштабные деления на координатных осях, указывая не только откладываемые величины, но и единицы их измерения. По полученным точкам строят кривую. Кривая должна быть плавной и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним, так чтобы эти точки находились по обе стороны кривой на одинаковом расстоянии (см. рис. 1). Н  а осях х и у можно откладывать значения физических величин, выраженных в делениях тех приборов, по которым определились данные физические величины (см. график рис. 2).Пользуясь кривой, можно в пределах произведенных наблюдений интерполировать, иначе говоря, находить значение величины y для таких значений х, которые непосредственно не наблюдались (рис. 2). Для этого из любой точки оси абсцисс надо провести ординату до пересечения с кривой: длина такой ординаты будет представлять значение для соответствующего значения. Например, для X = 37 делениям соответствует у = 10 дел., где x = U, y = J. Полулогарифмическая система координат – это прямоугольная система координат, по одной оси которой отложен равномерный масштаб, а по второй – логарифмический (пропорциональный lg натуральных чисел). Данный масштаб удобен для изображения зависимости типа  .Действительно,  , тогда  это есть прямая линия. Практическое использование такого графика связано с отысканием у по таблице логарифмов. Поэтому вместо lg у по оси ординат откладывают значения у и получают логарифмический масштаб.Л   огарифмическая система координат – это прямоугольная система координат (рис. 3), на обеих осях которой отложены логарифмические масштабы. Данные координаты очень удобны для изображения зависимости вида xnym = const (например, PV2 = С – закон Пуассона).Действительно,  в таких координатах изобразится прямой линией. В тех случаях, когда аргументом являются угловые величины, удобно применять полярную систему координат. |
