Культура
Искусство
Языки
Языкознание
Вычислительная техника
Информатика
Финансы
Экономика
Биология
Сельское хозяйство
Психология
Ветеринария
Медицина
Юриспруденция
Право
Физика
История
Экология
Промышленность
Энергетика
Этика
Связь
Автоматика
Математика
Электротехника
Философия
Религия
Логика
Химия
Социология
Политология
Геология
|
механика 12. Лабораторная работа 12 изучение колебаний связанных маятников принадлежности лабораторная установка fpm13, лабораторный
ъ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
Принадлежности: лабораторная установка FPM-13, лабораторный
макет (связанные маятники).
Цель работы: изучение колебаний связанных маятников и опре деление частоты синфазных и противофазных ко-
лебаний. Изучение явления "биения".
Два или несколько маятников, соединённых между собой при помощи деформируемых связей представляют связанную систему.
Все мы знакомы с колебательными движениями маятника. Одиночный маятник, представляет собой тело массы m, подвешенное на стержне длиной l. Рассмотрим случай, когда масса стержня много меньше m, а размеры тела много меньше l. При смещении такого маятника на угол a появляется момент силы, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия:
M = - mgl sinα . (1)
Момент импульса маятника:
 (2)
где da/dt - угловая скорость; J = ml2 - момент инерции тела.
Соотношение dL/dt = M называется уравнением моментов. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси запишется так:
 (3)
С учетом этого (1) примет вид:
 (4)
Если угловое смещение не велико, то sin a
a. Такое уравнение называется уравнением свободных гармонических колебаний:
 (5)
0
Если отклонить груз на угол σo и опустить его при to = 0, то решением этого уравнения будет: α=αo cos(ωt); где ω=(g/l)1/2 циклическая частота колебаний маятника.
Рассмотрим теперь связанную систему, состоящую из двух маятников. Сместим один маятник, удерживая другой на месте, а затем опустим их одновременно. В этом случае маятник 1 начнёт колебаться, но с течением времени колебания маятника 2 будут нарастать, а колебания маятника 1 - затухать. Через некоторое время маятник 1 остановится, а маятник 2 будет колебаться с максимальной амплитудой и т.д. Это поведение кажется значительно более сложным, чем поведение одного маятника.
Исследуем уравнение движения связанных маятников. Если угол смещения α2 > α1 на маятник 1 действует дополнительный к (1) gоложительный вращательный момент (рис.1), равный:
где k - жесткость пружины, ε = lo/l, lo - расстояние между точкой подвеса маятника и точкой закрепления пружины. 
Рис.1
Аналогично, маятник 2 будет испытывать вращающийся момент противоположного знака:
  (7)
С учётом уравнений (6) и (7), описывающих связь между маятниками, получим следующие уравнения движения:
(8)
(9)
Если α2 и α1 - малы, то
 (10)
(11)
П олучилась довольно сложная система уравнений для двух переменных. Мы можем упростить ситуацию, написав новые уравнения, получаемые сложением и вычитанием уравнений (10) и (11). Сложив эти два уравнения получаем:
(12)
Разность (10) и (11) имеет вид:
ml d2(α1 - α2)/dt2 = (- mg - 2kε2l)(α1 - α2) . (13)
Итак, с помощью этой операции нам удалось "развязать" уравнения. Сначала напишем формальные решения этих двух уравнений, а
затем обсудим их значение. Рассматривая (12), мы видим, что величина (α1 + α2) - переменная и если при t = 0 смещения равны α1o и α2o, то сумма 2-х смещений будет иметь зависимость от времени вида:
α1 + α2 = (α1o + α2o) cos(ω+t) , (14)
где частота w+ = (g/l)1/2
равна частоте одиночного осциллятора. Наша пер еменная является суммой смещений маятников 1 и 2, тогда амплитуда изменения этой переменной постоянна. Решение уравнения (13) можно записать в следующем виде:
α1 - α2 = (α1o - α2o) cos(ω-t) , (15)
где частота ω- = (g/l + 2ε2k/m)1/2 немного больше частоты одиночного осциллятора.
Как и сумма смещений, разность смещений меняется с постоянной амплитудой. Если мы сложим равенства (14) и (15), получим:
 (16)
Если вычтем из равенства (14) равенство (15), получим:
 (17)
Заметим, что если оба маятника имеют вначале равные смещения a1o = a1o, то они будут колебаться с постоянной амплитудой и частотой
 (18)
Если при t = 0 , α1o = -α2o , то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой, но с более высокой частотой:
 (19)
Эти два вида движений называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов. Нормальная мода колебаний - это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждой частицы остаётся неизменной. Если мы сместим только один из маятников, то результирующим движением будет комбинация двух нормальных мод движения. Например, если α 2o = 0, мы получим
( 20)
(21)
Используя тригонометрические тождества:
cos A + cos B = 2 αcos[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] , (22)
cos A - cos B = -2 sin[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] , (23)
мы можем записать (20) и (21) в виде:
( 25)
Поведение α1 и α2 показано на рис.2 
Рис.2
Обратите внимание на то, что при t = 0 амплитуда α 2o=0; с течением времени α 2 растет, а α 1 падает до тех пор, пока в момент
времени, определяемый из соотношений 1/2(w- - w+)t = π/2 амплитуда a1 не станет равной нулю, а амплитуда α 2 достигнет максимума, такое поведение можно понять, апеллируя к нормальным модам колебаний. В случае чётной моды нормальных колебаний, обозначенной знаком "+", маятники движутся вместе, пружина не растянута, и частота такая же, как и для одиночного осциллятора. В случае нечётной моды нормальных колебаний (знак "-") пружина растянута, что увеличивает частоту этой моды колебаний. Если смещён только один из маятников, мы имеем две нормальные моды колебаний, находящихся в определённой относительной фазе.
Но поскольку частота нечётного колебания немного выше частоты чётного колебания, относительная фаза меняется. Через некоторое время два нормальных вида колебаний окажутся в противофазе, амплитуда a1 упадет до нуля, в то время как амплитуда a2 достигнет максимума и т.д.
Рассмотрим ситуацию с энергетической точки зрения. При t = 0 вся энергия сосредоточена в маятнике 1, в результате связи через
пружину, энергия постепенно передаётся от маятника 1 к маятнику 2
до тех пор, пока вся энергия не скопится в маятнике 2. Время необходимое для перехода энергии из 1 в 2 и обратно можно получить из уравнения:
1
- (w- - w+)tобм = π
2
Тогда частота, с которой осцилляторы обмениваются энергией, находится так:
wобм=2π/tобм=w--w+ (26)
Эта частота называется частотой биения.
Принцип работы прибора состоит в том, что колебание каждого из двух, соединенных друг с другом пружиной, маятников, состоит из суммы двух синусоидальных колебаний с частотами близкими w1 и w2.
Значения этих частот зависят от параметров маятников (их длины, массы грузов, жесткости пружин и места закрепления пружин), но не зависят от начальных условий возникновения колебаний.
В общем случае, совершающие колебания маятники, подвергаются явлению "биения".
При возбуждении колебаний связанных маятников внешней синусоидальнй силой, действующей на один из них, оба маятника будут совершать колебания с частотой внешней силы. В случае разных длин маятников резонанс колебаний будет наблюдаться тогда, когда одна из собственных частот связанных маятников будет равна частоте силы, возбуждающей колебания. В этом случае наблюдается "двугорбый резонанс":
где w1 - собственная частота колебаний 1-го маятника,
w2 - собственная частота колебаний 2-го маятника.
При первом резонансе маятники будут иметь одинаковые фазы, но угол отклонения более длинного маятника будет больше и частота будет близка собственной частоте w1 более длинного маятника.
Собственная частота более короткого маятника w2 > w1. При повторном резонансе маятники будут иметь противоположные фазы, а частота будет близкой собственной частоте более короткого маятника w2. Диаграмма двугорбого резонанса наблюдается также при равных параметрах маятников.
Ниже представлена диаграмма, реализированная при представлении "биения" маятников.
Во время колебаний амплитуда отклонения маятников по очереди
Рис.3.
изменяется от нуля до максимума.
Период "биения" (Т биения) понимается как промежуток времени между двумя очередными максимальными амплитудами колебаний маятника.
Рис.4. 
Определение частоты синфазных и противофазных колебаний связанных маятников.
Измерение частоты синфазных колебаний выполняется по следующему способу:
- установить обоймы, крепящие пружины на верхней части стержней, для обоих маятников на одинаковом расстоянии (одинаковые грузы и пружины).
- отсоединить пружины от обоймы, соединяющей маятники со стержнем, возбуждающим колебания,
- нажать <�СЕТЬ>,
- отклонить маятники в одну сторону на небольшой угол и отпустить их,
- нажать <�СБРОС>,
- подсчитать прибором 10 периодов колебаний и нажать <�СТОП>,
- считать с индикаторов время и количество колебаний,
- вычислить частоту синфазных колебаний связанных маятников. Практическое измерение противофазных измерений проводится
аналогично, как измерение синфазных колебаний, но маятники надо отклонить в противоположные стороны на одинаковый угол.
Возбуждение связанных маятников внешней синусоидальной силой
Для этой цели надо:
- установить пружины на обойму соединенную со стержнем, возбуждающим колебания,
- включить питание двигателя,
- регулируя обороты двигателя наблюдать амплитуду колебаний маятников,
- когда маятники колеблются с амплитудой около 20о происходит явление резонанса.
Наблюдение явления биения связанных маятников
- отсоединить пружины от обоймы соединяющей маятники со стержнем, возбуждающим колебания,
- установить произвольные параметры маятников,
- один из маятников отклонить на любой угол и отпустить,
- наблюдать происходящее явление.
Выполнение работы.
В лабораторной работе требуется изучить собственные колебания одинаковых связанных маятников, что сводится к опытному нахождению нормальных частот w- и w+ . Исследовать резонанс связанных маятников.
1.Соединив пружинкой маятники, отклонить их на небольшой угол (`10о). После чего плавно отпустить маятники и измерить секундомером время t, за которое происходит n колебаний, и по формуле w+ = 2π n/t найти нормальную частоту колебаний. Измерение проделать не менее трёх раз.
2. Аналогично заданию 1 измерить нормальную частоту w- - противофазных колебаний.
3. Отклонить маятник 1, оставив маятник 2 в положении равновесия (придержать рукой), возбудите несимметричные колебания и убедитесь, что они представляют собой биения.
По формуле wобм= 2π n/t определите частоту биений.
4. Найденную в задании 3 частоту wобм сравнить с wобм, рассчитанной по формуле wобм = w- - w+.
5. Частоты нормальных мод определите по формулам (18) и (19). При расчете значения величин: m - масса маятника, k - жесткость пружины - даны в технических параметрах прибора; l0,l,ε - получены из опыта. Сравнить найденные значения с величинами, определенными практически ( п.п. 1 и 2 ).
5. На установке FPM-13, определив w- и w+ исследовать возбуждение связанных маятников внешней синусоидальной силой.
Проверка точности и правильности работы прибора
Проверка производится на основании расчета рабочей погрешности определения частоты синфазных колебаний s1 связанных маятников по следующей формуле :
где: wx+ - значение частоты синфазных колебаний, определенное в измерениях,
w1+ - значение частоты синфазных колебаний определенных теоретически.
Аналогично проводится проверка погрешности определения частоты противофазных колебаний s2.
В случае рабочих погрешностей больше 8% необходимо проверить правильность работы схемы кварцевого генератора. Для этой цели надо отвинтить и снять верхнюю плиту блока управления и измерений FPM-13, а затем измерить частоту сигнала в точке замера РI.
Значение измеренной частоты должно равняться 10кгц.
Точность измерений.
- точность определения длины маятника не меньше 2 мм
- рабочая погрешность измерения времени не больше 0.02%
- рабочая погрешность определения частоты синфазных колебаний сопряженных маятников не больше 8%
- рабочая погрешность определения частоты противофазных колебаний не больше 8%
Технические параметры прибора.
- максимальная длина маятников 500 мм
- максимальное отклонение маятников от вертикали +30о
- количество заменяемых пар грузов 3
- количество заменяемых наборов пружин 2
- ориентировочная масса грузов:
груз 030I-0098-0I 0.1 кг
груз 030I-0098-02 0.15 кг
груз 030I-0098-03 0.2 кг
- ориентировочная жесткость пружин:
пружина 083I-009I-0I 5 г/см
пружина 083I-009I-02 7 г/см
- максимальное количество измеряемых колебаний маятников 99
- амплитуда синфазных колебаний не меньше 20о
- диапазон измерения времени 1-99999 мс
Контрольные вопросы
1. Какие системы называются связанными?
2. Как определяется вращающий момент в связанных маятниках ?
3. На что влияет жесткость пружины и точка её крепления на спице?
4. Что называется биениями?
5. Как определить частоту биений?
6. В чём заключается явление резонанса?
|
|
|
Скачать 104.5 Kb.
