ЧМТФ Лабораторная работа 4. Лабораторная работа Моделирование законов динамики
 Скачать 1.18 Mb.
|
|
Лабораторная работа 4. Моделирование законов динамики. Цель работы:
Методы решений дифференциальных уравнений Дифференциальным называется уравнение, которое, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержит еще и производные неизвестных функций. Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в это уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Пример 1. Груз массой  кг (рис. 4.1), получив в точке Аначальную скорость  м/с, движется в наклонной трубе АВ, расположенной в вертикальной плоскости. На груз кроме силы тяжести действует постоянная сила  Н и сила сопротивления среды  ,где  кг/м. Длина трубы  м. Коэффициент трения скольжения груза о стенки трубы  Считая груз материальной точкой, найти время движения, зависимости скорости и координаты от времени, а также скорость в точке В.
Решение. При решении данной задачи на начальном этапе воспользуемся обычным алгоритмом решения задач на динамику материальной точки: 1. Расставим на рисунке 4.1 силы, действующие на тело, и запишем второй закон Ньютона в векторном виде:  .2. Выберем оси координат OXи OYтаким образом, чтобы большинство сил были параллельны или перпендикулярны осям. 3. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси: ось OX:  ,ось OY:  .4. Учитывая, что сила трения скольжения равна произведению коэффициента трения на силу реакции опоры, получим выражение для определения ускорения  . Полученная формула показывает, что ускорение не является постоянной величиной, поэтому в данном случае нельзя пользоваться известными формулами для вычисления скорости и перемещения при равноускоренном движении. Так как скорость является первой производной от координаты по времени, а ускорение - второй производной, то мы имеем дифференциальное уравнение второго порядка.Метод Эйлера для решения дифференциальных уравнений. Координата частицы xи ее скорость V определяются уравнениями  .Задача состоит в вычислении зависимостей  и  при условии, что заданы начальные значения координаты  и скорости  .Выберем достаточно малое конечное значение величины  , а затем воспользуемся соотношениями: , .Многократно применяя эти соотношения, можно рассчитать значения xи Vв ряде дискретных, но достаточно близких друг к другу точек. Алгоритм решения: 1. Ввод данных 2. вводится точность решения задачи (максимальное время расчета, шаг по времени и количество малых промежутков времени, на которых производится расчет). Очень важно выбрать правильный шаг по времени . Чем меньше , тем точнее результат, но при этом увеличивается машинное время для проведения расчетов.
3. Ввод начальных условий.
В процедуре Euler2 на рисунке 4.3 приведена программа расчета с помощью оператора цикла whileс предварительной проверкой условия.
Для построения зависимостей скорости и координаты от времени необходимо рассчитанные значения физических величин занести в таблицу, которую назовем матрицей значений М. В нулевой столбец матрицы будем заносить значения времени, в первый - скорости, во второй - координаты. В процедуре Euler3 на рисунке 4.4 приведена программа создания матрицы значений для построения графических зависимостей. Также на рисунке представлен результат в виде таблицы значений времени, скорости, координаты.
Выделим массивы времени скорости, координаты.
Построим нужные графики.
Использование встроенных функций пакета Mathcad для численного решения дифференциальных уравнений Для решения дифференциальных уравнений в численном виде пользователям MathCAD предлагается ряд удобных процедур. Для быстрого получения практического результата удобно пользоваться процедурой Odesolve. В большинстве ситуаций дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений могут быть решены с помощью этой процедуры, причем сам процесс достаточно прост. Обычно этот метод применяется, если известно время движения тела. Общий принцип работы с процедурой Odesolveсостоит в следующем. В рамках блока Givenзадается решаемое уравнение (или система уравнений) с начальными условиями. Заканчивается блок командой вызова Odesolveс соответствующими аргументами. Таким образом, в численном виде определяется искомая функциональная зависимость (или зависимости). Для решения нашей задачи рассмотрим уравнение .
На рисунке 4.6 число 0.931 обозначает время движения груза, которое вычислено методом Эйлера. Компьютер автоматически подбирает шаг интегрирования наиболее оптимальным способом. Для ввода производных в уравнениях следует использовать штрих (комбинация клавиш Ctrl+F7) или кнопку производных панели Calculus. При вводе производных в начальных условиях следует использовать только комбинацию клавиш Ctrl+F7. При вводе уравнений после имени функции в скобках обязательно должен быть указан аргумент. Ввод знака « = » осуществляется с помощью комбинации клавиш Ctrl + = или с помощью оператора =, расположенного на панели инструментов Boolean(логика). Зависимость координаты от времени, вычисленная с помощью метода встроенных функций приведена на рисунке 4.7. Шаг по времени, который приведен на рисунке 4.7, необходим для построения графика и ничем не связан с шагом для решения дифференциального уравнения.
Рассмотренное выше дифференциальное уравнение второго порядка можно представить так же, как систему двух дифференциальных уравнений первого порядка (рисунок 4.8). В этом случае можно получить функциональную зависимость скорости от времени (рисунок 4.9).
Рассмотрим еще один способом решения дифференциальных уравнений с помощью процедуры rkfixed. В качестве примера решим задачу о гармоническом осцилляторе. Дифференциальное уравнение второго порядка  преобразуем к системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка Зададим начальные условия  ,  соответствует начальной координате, а  – начальной скорости. Зададим теперь матрицу D. С учетом того, что искомая величина соответствует нулевому элементу массива, ее первая производная – первому, а вторая – второму, имеем  .Далее используется процедура rkfixed(y, x1, x2, N, D), где y – матрица начальных условий, х1 и х2 – интервал интегрирования, N – количество точек, на которое разбивается интервал интегрирования. Результатом выполнения процедуры rkfixed является массив, в первом столбце которого находится аргумент функции, во втором – сама функция, в третьем- ее первая производная и т.д. На рисунке 4.10 представлено решение задачи о гармоническом осцилляторе, у которого масса и частота равны 1 с начальной координатой равной 0 и начальной скоростью равной 1.
Выполнение работы. Движение тел с учетом сил сопротивления среды. Вычислить скорость (  и  ) и пройденный путь падающего тела ( и  ) без учёта и с учётом сопротивления воздуха соответственно в моменты времени, указанные в таблице 4.2. Построить графики зависимостей  ,  ,  ,  .Сила сопротивления воздуха определяется по формуле  , где коэффициенты А, В и С пропорциональны площади поперечного сечения тела, коэффициента обтекаемости, вязкости среды. Данные для расчета взять из таблицы 4.1.
Задание 1. Составить программу с использованием метода Эйлера для вычисления скорости и ускорения. Принять dt= 0.001. Заполнить таблицу 4.2 Задание 2. Построить графики зависимостей , , , .Задание 3. Определить, за какой промежуток времени тело пролетит 50 м. Вычислить конечную скорость на этом участке, с учетом и без учета сопротивления воздуха. Определить, какую ошибку (в % ), можно сделать, если не учитывать сопротивление воздуха. Произвести те же вычисления для расстояний 100, 100 и 300 м. Результаты занести в таблицу 4.3. Сделать вывод (обосновать необходимость учитывать сопротивления воздуха).
Задание 4. Построить зависимость скорости и координаты тела от времени с использованием метода Эйлера. Задание 5. Решите эту же задачу с использованием встроенных функций пакета MathCAD. Задание 6. Проследить влияние величины шага на точность результата. Для этого вычислить значения координаты различными методами. Результаты занести в таблицу 4.4.
Задание 7. Провести исследование зависимости скорости равномерного падения тела в воздухе в зависимости от массы тела и коэффициентов сопротивления. Задание 8. Решить задачу о движении пушечного ядра. |
