курсовая. Решение на однопроцессорных компьютерах 2 Решение на многопроцессорных компьютерах Основные функции mpi. Численный эксперимент

Скачать 285.75 Kb.

Название	Решение на однопроцессорных компьютерах 2 Решение на многопроцессорных компьютерах Основные функции mpi. Численный эксперимент
Анкор	курсовая.docx
Дата	12.12.2017
Размер	285.75 Kb.
Формат файла
Имя файла	курсовая.docx
Тип	Решение #12002

Параллельные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений

Содержание

Введение

Обзор методов решения систем линейных алгебраических уравнений

Прямые методы решения
Итерационные методы
Вариационные методы

Метод Якоби

Решение на однопроцессорных компьютерах

2.2 Решение на многопроцессорных компьютерах

Основные функции MPI.
Численный эксперимент

Расчет на однопроцессорных компьютерах
Расчет на многопроцессорных компьютерах

Литература

Обзор методов решения систем линейных алгебраических уравнений

1.1 Прямые методы решения

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) [1,2]

, (1)

где

 матрица

 искомый вектор,

 заданный вектор. Будем предполагать, что определитель матрицы

отличен от нуля, т.е. решение системы (1) существует.

Методы численного решения системы (1) делятся на две группы: прямые методы («точные») и итерационные методы.

Прямыми методами называются методы, позволяющие получить решение системы (1) за конечное число арифметических операций. К этим методам относятся метод Крамера, метод Гаусса, LU-метод и т.д.

Итерационные методы (методы последовательных приближений) состоят в том, что решение системы (1) находится как предел последовательных приближений

при

, где n номер итерации. При использовании методов итерации обычно задается некоторое малое число 0 и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка

. К этим методам относятся метод Зейделя, Якоби, метод верхних релаксаций и т.д.

Следует заметить, что реализация прямых методов на компьютере приводит к решению с погрешностью, т.к. все арифметические операции над переменными с плавающей точкой выполняются с округлением. В зависимости от свойств матрицы исходной системы эти погрешности могут достигать значительных величин.
Метод Гаусса
Запишем систему Ax=f, в развернутом виде

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы. Предположим, что

. Последовательно умножая первое уравнение на

и складывая с i-м уравнение, исключим

из всех уравнений кроме первого. Получим систему

Аналогичным образом из полученной системы исключим

. Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида

Описанная процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Заметим, что ее выполнение было возможно при условии, что все

не равны нулю.

Выполняя последовательные подстановки в последней системе, (начиная с последнего уравнения) можно получить все значения неизвестных.

.

Эта процедура получила название обратный ход метода Гаусса..

Метод Гаусса может быть легко реализован на компьютере. При выполнении вычислений, как правило, не интересуют промежуточные значения матрицы А. Поэтому численная реализация метода сводится к преобразованию элементов массива размерности (m×(m+1)), где m+1 столбец содержит элементы правой части системы.

Для контроля ошибки реализации метода используются так называемые контрольные суммы. Схема контроля основывается на следующем очевидном положении. Увеличение значения всех неизвестных на единицу равносильно замене данной системы контрольной системой, в которой свободные члены равны суммам всех коэффициентов соответствующей строки. Создадим дополнительный столбец, хранящий сумму элементов матрицы по строкам. На каждом шаге реализации прямого хода метода Гаусса будем выполнять преобразования и над элементами этого столбца, и сравнивать их значение с суммой по строке преобразованной матрицы. В случае не совпадения значений счет прерывается.

Один из основных недостатков метода Гаусса связан с тем, что при его реализации накапливается вычислительная погрешность. В книге [ Самарский, Гулин показано, что для больших систем порядка m число действий умножений и делений близко к

.

Для того, чтобы уменьшить рост вычислительной погрешности, применяются различные модификации метода Гаусса. Например, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам, в этом случае на каждом этапе прямого хода строки матрицы переставляются таким образом, чтобы диагональный угловой элемент был максимальным. При исключении соответствующего неизвестного из других строк деление будет производиться на наибольший из возможных коэффициентов и следовательно относительная погрешность будет наименьшей.

Существует метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице. В этом случае переставляются не только строки, но и столбцы¹. Использование модификаций метода Гаусса приводит к усложнению алгоритма увеличению числа операций и соответственно к росту времени счета. Поэтому целесообразность выбора того или иного метода определяется непосредственно программистом².

Выполняемые в методе Гаусса преобразования прямого хода, приведшие матрицу А системы к треугольному виду, позволяют вычислить определитель матрицы

.

Метод Гаусса позволяет найти обратную матрицу. Для этого необходимо решить матричное уравнение

,

где Е единичная матрица. Его решение сводится к решению m систем

у вектора

j –я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю.
LU–метод
LU-метод основан на том, что если главные миноры матрицы А отличны от нуля, тогда матрицу А можно представить, причем единственным образом, в виде произведения

А=LU,

где L–нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами и U–верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.
Рассмотрим СЛАУ Ax=f.

A=LU

где

или

Окончательно запишем

Полагая

получим следующие рекуррентные формулы для вычисления элементов матрицы L и U

Если найдены матрицы L и U, то решение исходной системы (1)ID_1 сводится к последовательному решению двух систем уравнений с треугольными матрицами

LU – метод позволяет вычислить определитель матрицы А

.
Метод квадратного корня
Метод квадратного корня по своему идейному содержанию близок к LU-методу. Основное отличие в том, что он дает упрощение для симметричных матриц.ID_1

Этот метод основан на разложении матрицы А в произведение

где S–верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главной

Из условия (2) получаются уравнения

Так как матрица А симметричная, не ограничивая общности, можно считать, что в системе (3) выполняется неравенство i≤j. Тогда (3) можно переписать в виде

В частности, при i=j получится

(4)

Далее, при i<j получим

По формулам (4) и (5) находятся рекуррентно все ненулевые элементы матрицы S.

Обратный ход метода квадратного корня состоит в последовательном решении двух систем уравнений с треугольными матрицами.

Решения этих систем находятся по рекуррентным формулам

Всего метод квадратного корня при факторизации A=S^тS требует примерно

операций умножения и деления и m операций извлечения квадратного корня.[1]
Метод вращений решения линейных систем
Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе–приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.

Умножим первое уравнение исходной системы (1) на с₁ ,второе на s₁ и сложим их ; полученным уравнением заменим первое уравнение системы. Затем первое уравнение исходной системы умножаем на –s₁ , второе на c₁ и результатом их сложения заменим второе уравнение . Таким образом, первые два уравнения (1) заменяются уравнениями

Отсюда

. Эти числа можно интерпретировать как косинус и синус некоторого угла

(отсюда название метод вращения, каждый шаг такого преобразования можно рассматривать как вращение расширенной матрицы системы в плоскости обнуляемого индекса).

В результате преобразований получим систему

где

Далее первое уравнение системы заменяется новым, полученным сложением результатов умножения первого и третьего уравнений соответственно на

а третье–уравнением, полученное при сложении результатов умножения тех же

где

Выполнив преобразование m-1 раз, придем к системе

Вид полученной системы такой же, как после первого этапа преобразований методом Гаусса. Эта система обладает следующим свойством: длина любого вектора-столбца (эвклидова норма) расширенной матрицы остается такой же, как у исходной матрицы. Следовательно, при выполнении преобразований не наблюдается рост элементов.

Далее по этому же алгоритму преобразуется матрица

и т.д.

В результате m-1 этапов прямого хода система будет приведена к треугольному виду.

Нахождение неизвестных не отличается от обратного хода метода Гаусса.

Всего метод вращения требует примерно

операций умножения и деления.

1.2 Вариационные методы

Вариационные итерационные методы
Связь между вариационной задачей и задачей решения СЛАУ.

Пусть

, где Lⁿестьn-мерное евклидово пространство. Рассмотрим квадратичный функционал от u, называемый функционалом энергии:

где А — линейный оператор,

, с — константа. Этот функционал совпадает с квадратичным функционалом

где А* — сопряженный к А оператор. Действительно,

по определению сопряженного оператора и (u, A*u) = (A*u, u) в силу коммутативности скалярного произведения. Тогда

так как

Без ограничения общности предположим, что оператор А самосопряженный, А = А*. В противном случае будем рассматривать задачу с оператором

при решении вариационной задачи.

Будем также считать, что А — положительный оператор, т.е. A > 0, это означает, что для любого ненулевого вектора u выполнено (Au,u) > 0. Поставим задачу об отыскании элемента v, придающего наименьшее значение функционалу Ф(u):

Теорема Пусть А = А* > 0. В этом случае существует единственный элемент , придающий наименьшее значение квадратичному функционалу , являющийся решением СЛАУ Аu = f.

Доказательство. СЛАУ Au = f имеет единственное решение v, поскольку А является невырожденным оператором в силу его положительной определенности. Покажем, что в этом случае при

для любого вектора Δ имеет место:

т.е. при

достигается минимум квадратичного функционала

.

Действительно,

т.е. при

и любом

имеет место

. Докажем, что верно и обратное утверждение. Если элемент доставляет минимальное значение функционалу энергии, то он является решением системы линейных уравнений

Из курса математического анализа известно, что в точке минимума должно выполняться условие

A > 0. Вычисляя градиент, приходим к условию минимума функционала

Таким образом установлена эквивалентность вариационной задачи (отыскание элемента, придающего минимум Ф(u)) и задачи о нахождении решения СЛАУ.

Заметим, что СЛАУ с самосопряженным и положительно определенным оператором А представляют собой важный класс задач в математической физике, в частности, они возникают при решении краевых задач для эллиптических уравнений. При необходимости можно произвести симметризацию по Гауссу исходной системы.
Методы градиентного и наискорейшего спуска
Метод градиентного спуска состоит в нахождении следующего приближения в итерационном процессе из предыдущего, путем смещения в направлении градиента функционала

(2.25)

, (2.26)

где А — положительно определенная симметричная матрица; α_k — параметр, определяемый из заданных условий; например, из условия минимума величины

В этом случае итерационный метод называется методом наискорейшего спуска.

Так как

то (2.26) приобретает вид

где

(2.27)

что соответствует записи итерационного метода в форме (2.17). Здесь τ_k является итерационным параметром, который в методе наискорейшего спуска определяется из условия минимума функции

по τ_k. Найдем условие этого минимума.

Здесь учтено соотношение:

, поскольку

в силу коммутативности оператора А. Подставим в последние равенства

из (2.27) получим

откуда следует

, или

где

Вектор r_k называют вектором невязки.
Метод минимальных невязок
Этот итерационный метод определяется следующим образом. Пусть

как и ранее,

Итерационный параметр τ_k на каждой итерации выбирается так, чтобы минимизировать, евклидову норму невязки

. Заметим, что итерационный процесс

может быть представлен в равносильном виде в терминах невязки

. Тогда для квадрата евклидовой (третьей) нормы невязки получаем условие

Для отыскания минимума невязки на следующей итерации приравняем нулю производную последнего выражения по итерационному параметру τ_k. Получим равенство

.

Из последнего соотношения находим значение итерационного параметра

Метод сопряженных градиентов
Этот метод применяется для решения систем уравнений с самосопряженной положительной матрицей А= А* > 0.

Оптимизируем градиентный метод, выбирая параметры τ таким образом, чтобы на последующем шаге невязка была ортогональна всем предыдущим. На первом шаге ищем аналогично методу наискорейшего спуска. Получим невязки, образующие ортогональный базис. На последнем шаге невязка становится равна нулю, так как пространство конечномерно, и единственный элемент, ортогональный всем базисным векторам конечномерного пространства — нулевой. Получаем точное решение за конечное число шагов (прямой метод). Однако этот метод работает не всегда, так как при плохой обусловленности матрицы он становится вычислительно неустойчивым.

Идея метода состоит в следующем. Выбираем произвольное начальное приближение и вычисляем по нему вектор невязки

, тогда первое приближение

Из условия ортогональности невязок на двух первых шагах находим значение итерационного параметра

Построим такое приближение, чтобы учитывались две предыдущие — трехслойный итерационный метод. Фактически, при построении его применяется процесс ортогонализации Грамма – Шмидта.

Если

, то

— A-сопряженные невязки.

Имеем метод сопряженных градиентов.

Все невязки уменьшаются по норме, поэтому данный метод эффективен даже для плохо обусловленных задач, т.к. на определенном шаге можно оборвать вычисления и получить приближение к решению с заданной точностью. Тогда этот метод становится итерационным.

Приведем последовательность расчетных формул одного из вариантов метода сопряженных градиентов.

…

(2.29)

где

В вычислительной практике этот метод используется при умеренном числе обусловленности, больших n и неизвестных границах спектра матрицы А, как итерационный метод, поскольку k₀ обычно достаточно большое число.

Метод Якоби

Постановка задачи
Возьмём систему линейных уравнений:

$a\vec{x}=\vec{b}$ , где $a=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right),\quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$

Или $\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n& = & b_{1} \\ \ldots </h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2></h2> \\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_{n} \end{array} \right.$
Описание метода
Для того, чтобы построить итеративную процедуру метода Якоби, необходимо провести предварительное преобразование системы уравнений $a\vec{x}=\vec{b}$ к итерационному виду $\vec{x}=b\vec{x}+\vec{g}$ . Оно может быть осуществлено по одному из следующих правил:

$b = e-d^{-1}a = d^{-1}(d - a),\quad \vec{g}=d^{-1}\vec{b};$

$b = -d^{-1}(l + u) = -d^{-1}(a - d),\quad \vec{g}=d^{-1}\vec{b}$

$d^{-1}_{ii} = 1 / d_{ii}, d_{ii} \neq 0,\, i = 1,2, ..., n\quad;$

где в принятых обозначениях D означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы A, а все остальные нули; тогда как матрицы U и L содержат верхнюю и нижнюю треугольные части A, на главной диагонали которых нули, E — единичная матрица.

Тогда процедура нахождения решения имеет вид:

$\vec{x}^{(k+1)} = b \vec{x}^{(k)}+\vec{g},$

где k счётчик итерации.

В отличие от метода Гаусса-Зейделя мы не можем заменять $x^{(k)}_i\,$ на $x^{(k+1)}_i$ в процессе итерационной процедуры, т.к. эти значения понадобятся для остальных вычислений. Это наиболее значимое различие между методом Якоби и методом Гаусса-Зейделя решения СЛАУ. Таким образом на каждой итерации придётся хранить оба вектора приближений: старый и новый.
Условие сходимости
Приведем достаточное условие сходимости метода.

Теорема.
Пусть $\| b \| < 1\!$ . Тогда при любом выборе начального приближения $\vec{x}^{(0)}\!$ :

метод сходится;
скорость сходимости метода равна скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем $q= \|b\|\!$ ;
верна оценка погрешности: $\|\vec{x}^{(k)}-\vec{x}\| < q^k \, \|\vec{x}^{(0)}-\vec{x}\|\!$ .

Условие остановки
Условие окончания итерационного процесса при достижении точности ε в упрощённой форме имеет вид:

$\parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \le \varepsilon$

(Существует более точное условие окончания итерационного процесса, которое более сложно и требует дополнительных вычислений)
Алгоритм
Ниже приведён алгоритм реализации на C++

#include

const double eps = 0.001; ///< желаемая точность

/// N - размерность матрицы; A[N][N] - матрица коэффициентов, F[N] - столбец свободных членов,

/// X[N] - начальное приближение, ответ записывается также в X[N];

void Jacobi (int N, double **A, double *F, double *X)

{

double * TempX = new double[N];

double norm; // норма, определяемая как наибольшая разность компонент столбца иксов соседних итераций.

do {

for (int i = 0; i < N; i++) {

TempX[i] =- F[i];

for (int g = 0; g < N; g++) {

if (i != g)

TempX[i] += A[i][g] * X[g];

}

TempX[i] /= -A[i][i];

}

norm = fabs(X[0] - TempX[0]);

for (int h = 0; h < N; h++) {

if (fabs(X[h] - TempX[h]) > norm)

norm = fabs(X[h] - TempX[h]);

X[h] = TempX[h];

}

} while (norm > eps);

delete[] TempX;

}

Решение на однопроцессорных компьютерах

#include

#include

#include

using namespace std;

void main()

{ double x[100], x0[100], b[100], a[100][100],

s, d, eps=1e-8, max, k;

int n, i, j ;
freopen("input.txt","r",stdin);

cin>>n;

for (i=1;i<=n;i++)

{

for (j=1;j<=n;j++) cin>>a[i][j];

cin>>b[i];

}

for (i=1;i<=n;i++)

{

for (j=1;j<=n;j++) cout<<<" ";

cout<<

}
k=0;

for (i=1;i<=n;i++) x[i]=0; // Начальное приближение

do

{ k++;

for (i=1;i<=n;i++) x0[i]=x[i];

max=0;

for (i=1;i<=n;i++)

{ s=0;

for (j=1;j<=n;j++) if (i!=j) s=s+a[i][j]*x0[j];

x[i]=(b[i]-s)/a[i][i];

d=fabs(x[i]-x0[i]); if (max

}

} while (max>eps);

for (i=1;i<=n;i++) cout<<"x"<<"="<<

cout<<"k="<

cout<<"d="<

}
???
#include

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

void main()

{ double x[100], x0[100], b[100], a[100][100],

s, d, eps=1e-8, max, k, h, pi=3.1415926;

int n, i, j ;

// freopen("input.txt","r",stdin);

freopen("output.txt","w",stdout);

n=50;

h=1.0/n;

memset(a,0,sizeof(a));

for (i=1;i<=n-1;i++)

{

if (i>1) a[i][i-1]=1;

a[i][i]=-2;

if(i

b[i]=-4*pi*pi*h*h*sin(2*pi*i*h);

}
k=0;

for (i=1;i<=n-1;i++) x[i]=0; // Начальное приближение

do

{ k++;

for (i=1;i<=n-1;i++) x0[i]=x[i];

max=0;

for (i=1;i<=n-1;i++)

{ s=0;

for (j=1;j<=n;j++) if (i!=j) s=s+a[i][j]*x0[j];

x[i]=(b[i]-s)/a[i][i];

d=fabs(x[i]-x0[i]); if (max

}

} while (max>eps);

for (i=1;i<=n-1;i++) printf("%6.2lf",x[i]);

cout<

for (i=1;i<=n-1;i++) printf("%6.2lf",sin(2*pi*i*h));

cout<<"k="<

cout<<"d="<

}

Решение на многопроцессорных компьютерах

#include

#include

#include

#include

void init(int m, double *B, double *g, double *x)

{ int i,j; double r;
for(i=0;i

{ x[i]=100.;

for(j=0;j

B[i*(m+1)]=-2;

if (i>0) B[i*(m+1)-1]=1;

if (i

g[i]=-4*pi*pi*h*h*sin(2*pi*i*h);

}

for(i=0;i

{ r=B[i*m+i];

for(j=0;j

g[i]=g[i]/r; B[i*m+i]=0;

}
}

double evalDiff(double *u,double *v, int m)

{ int i; double a=0.0;

for(i=0;i

{ double b;

b=v[i]-u[i];

a+=b*b;

}

return sqrt(a);

}

void matvec(double *B, double *g, double *xold, double *x, int k, int m)

{ int i;

for(i=0;i

{ int j; double a=0;

double *row=B+i*m;

for(j=0;j

x[i]=-a+g[i];

// printf("x%d=%.3lf\n",i,x[i]);

}

}

void print(double *x,int m)

{ int i;

for(i=0;i

}

int main(int argc, char *argv[])

{ int i, np, rk, m, chunk=1,I=0;

double *B, *Bloc, *g, *gloc, *x, *xloc, *xold, eps, diff, t;

MPI_Init(&argc,&argv);

MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD,&np);

MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD,&rk);

if(rk==0)

{

m=3; eps=0.0000001;

chunk=(m+1)/np;

B=(double*)malloc(m*m*sizeof(double));

}

MPI_Bcast(&m,1,MPI_INT,0,MPI_COMM_WORLD);

MPI_Bcast(&eps,1,MPI_DOUBLE,0,MPI_COMM_WORLD);

MPI_Bcast(&chunk,1,MPI_INT,0,MPI_COMM_WORLD);

g=(double*)malloc(m*sizeof(double));

xold=(double*)malloc(m*sizeof(double));

x=(double*)malloc(m*sizeof(double));

Bloc=(double*)malloc(chunk*m*sizeof(double));

gloc=(double*)malloc(chunk*sizeof(double));

xloc=(double*)malloc(chunk*sizeof(double));

if(rk==0)

{

init(m,B,g,xold); t=MPI_Wtime();

chunk=(m+1)/np;

}

MPI_Scatter(B,m*chunk,MPI_DOUBLE,Bloc,m*chunk,MPI_DOUBLE,0,MPI_COMM_WORLD);

MPI_Scatter(g,chunk, MPI_DOUBLE,gloc, chunk,MPI_DOUBLE,0,MPI_COMM_WORLD);

do

{ MPI_Bcast(xold,m,MPI_DOUBLE,0,MPI_COMM_WORLD);

matvec(Bloc,gloc,xold,xloc,chunk,m);

MPI_Gather(xloc,chunk,MPI_DOUBLE,x,chunk,MPI_DOUBLE,0,MPI_COMM_WORLD);

if(rk==0)

{

diff=evalDiff(xold,x,m);

memcpy(xold,x,m*sizeof(double));

}

MPI_Bcast(&diff,1,MPI_DOUBLE,0,MPI_COMM_WORLD);

I++;

} while ((diff>=eps)&&(I<=1000));

if(rk==0)

{

t=MPI_Wtime()-t;

printf("%d iterations consumed %lf seconds\n",I,t);

printf("np=%d m=%d chunk=%d\n",np,m,chunk);

print(x,m);

}

MPI_Finalize();

return 0;

}

Основные функции MPI

Численный эксперимент

Расчет на однопроцессорных компьютерах

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

double x[100], x0[1001], b[1001], a[1001][1001], s, d, eps=1e-8, m, k, h, pi=3.1415926;

int n, i, j ;

void work(int n)

{

clock_t t0, t1;

//Засекаем время.

t0 = clock();

h=1.0/n;

memset(a,0,sizeof(a));

for (i=1;i<=n-1;i++)

{

if (i>1) a[i][i-1]=1;

a[i][i]=-2;

if(i

b[i]=-4*pi*pi*h*h*sin(2*pi*i*h);

}

k=0;

for (i=1;i<=n-1;i++) x[i]=0; // Начальное приближение

do

{ k++;

for (i=1;i<=n-1;i++) x0[i]=x[i];

m=0;

for (i=1;i<=n-1;i++)

{ s=0;

for (j=1;j<=n;j++) if (i!=j) s=s+a[i][j]*x0[j];

x[i]=(b[i]-s)/a[i][i];

d=fabs(x[i]-x0[i]); if (m

}

} while (m>eps);

for (i=1;i<=n-1;i++) printf("%6.2lf",x[i]);

cout<

for (i=1;i<=n-1;i++) printf("%6.2lf",sin(2*pi*i*h));

cout<<"k="<

cout<<"d="<

t1 = clock();

cout << "t: " <<(t1 - t0)/CLOCKS_PER_SEC << "\n";

}

void main()

{

// freopen("input.txt","r",stdin);

//freopen("output.txt","w",stdout);

work(50);

//work(100);

//work(101);

//work(1000);

getch();

}

4.2 Расчет на многопроцессорных компьютерах

Не успела.

Литература

А. А. Букатов, В. Н. Дацюк, А. И. Жегуло “Программирование многопроцессорных вычислительных систем”
Л. И. Турчак “Основы численных методов”
А. А. Самарский “Введение в теорию разностных схем”
А. А. Самарский, А. В. Гулин “Численные методы”

курсовая. Решение на однопроцессорных компьютерах 2 Решение на многопроцессорных компьютерах Основные функции mpi. Численный эксперимент

Параллельные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений Содержание Введение

Обзор методов решения систем линейных алгебраических уравнений

1.1 Прямые методы решения

1.2 Вариационные методы

Теорема Пусть А = А* > 0. В этом случае существует единственный элемент , придающий наименьшее значение квадратичному функционалу , являющийся решением СЛАУ Аu = f.

Метод Якоби

Решение на однопроцессорных компьютерах

Решение на многопроцессорных компьютерах

Основные функции MPI

Численный эксперимент

Расчет на однопроцессорных компьютерах

4.2 Расчет на многопроцессорных компьютерах

Литература

Параллельные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений

Содержание

Введение