Навигация по странице:
|
Методичка ТПиМ. Методические указания к выполнению лабораторных работ Иваново 2012 Составители А. И. Тихонов
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Ивановский государственный энергетический университет
имени В.И. Ленина
Кафедра электромеханики
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В СРЕДЕ SIMULINK С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
Иваново 2012
Составители: А.И. ТИХОНОВ
Д.В. РУБЦОВ
Редактор А.К. ГРОМОВ
В методических указаниях приведены программы лабораторных работ, а также теоретический материал по курсу «Теория подобия и моделирования», даны контрольные вопросы, необходимые при подготовке к отчетам. Работы выполняются с использованием имитационного пакета Simulink.
Предназначены для студентов электротехнических вузов, выполняющих лабораторные работы по теории подобия и моделирования.
Утверждены цикловой методической комиссией ЭМФ
Рецензент
кафедра физики и кафедра электромеханики ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В СРЕДЕ SIMULINK С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
Составители: ТИХОНОВ Андрей Ильич
РУБЦОВ Дмитрий Валерьевич
Редактор Н.Б. Михалева
Подписано в печать . Формат 60х84 1/16.
Печать плоская. Усл. печ. л. 1,86. Тираж 100 экз. Заказ №
ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 34.
Отпечатано в УИУНЛ ИГЭУ
Введение
Согласно теории подобия, различные по своей природе явления описываются одними и теми же по форме уравнениями, что позволяет строить модели интересующих нас явлений, процессов и объектов на любом удобном для нас носителе. Это называется изоморфизмом. Одним из наиболее удобных носителей для реализации математических моделей технических устройств является электрическая цепь. Поэтому построение и исследование электрических схем замещения реальных устройств является одним из наиболее популярных и распространенных методов моделирования.
С начала XX века теория подобия успешно применялась для решения задач гидромеханики, аэродинамики, теплотехники, электротехники и др. При этом помимо физического подобия между объектами одинаковой природы исследовались и разного рода математические аналогии между явлениями разной природы. Так, например, еще в 1922 г. Н. Павловский опубликовал теорию электрогидродинамических аналогий, в которой были заложены основы математического моделирования различных полей в сплошных средах. В 1926 г. С.А. Гершгорин предложил применять электрические сетки для решения большого класса задач гидродинамики, теплопередачи, теории упругости, электрических, магнитных полей и т.д. Начиная с 1936 г. Л.И. Гутенмахер развивал теорию моделей на основе электромеханических аналогий, позволяющих использовать в механике методы анализа электрических цепей. Позднее с помощью электромеханических аналогий стали изучаться самые различные динамические системы. Таким образом, математическое моделирование, которое сначала основывалось на моделях-аналогах, перешло к структурным моделям, в которых отсутствует аналогия с изучаемым процессом. Вместо этого в структурных моделях воспроизводятся математические операции, соответствующие решению системы уравнений, описывающих изучаемый процесс. В свою очередь, такой переход в теории моделирования подготовил новый этап, связанный с использованием аналоговых и цифровых электронно-вычислительных машин.
Для моделирования с использованием электрических схем замещения в свое время широко использовались аналоговые вычислительные машины (АВМ), под которыми понимается совокупность электрических элементов (активных и пассивных), в которых происходят процессы, описываемые математическими зависимостями, аналогичными зависимостям в исследуемой системе. Это позволяло моделировать вычислительные операции над аналоговыми величинами.
Универсальная АВМ состоит из отдельных решающих блоков, каждый из которых выполняет определенную математическую операцию: интегрирование, суммирование, перемену знака и т.п. Решающие блоки соединены между собой гибкими проводниками в соответствии со структурной схемой решаемых дифференциальных уравнений.
В СССР выпускались АВМ, среди которых были машины для решения линейных дифференциальных уравнений (ЛМУ-1, МПТ-9 и др.), линейных и нелинейных дифференциальных уравнений (МН-7, МН-10, МН-17 и др.), дифференциальных уравнений в частных производных (ЭИ-12, ЭГДА-9/60 и др.), а также ряд специализированных АВМ.
Успехи развития цифровых электронно-вычислительных машин (ЦЭВМ) предопределили их победу в конкуренции с АВМ. Поэтому АВМ были вытеснены ЦЭВМ и в настоящее время не выпускаются. Однако разработанный для АВМ математический аппарат не устарел, и в настоящее время вместо аналоговых машин используются имитационные системы, реализованные на цифровых ЭВМ. К числу наиболее признанных систем, имитирующих работу аналоговой вычислительной машины, можно отнести систему Simulink, являющуюся приложением математического пакета MatLab.
Данные методические указания предназначены для проведения лабораторных работ по моделированию физических процессов различной природы с помощью схем замещения на основе первой теоремы подобия с использованием имитационного пакета Simulink. Особое внимание при разработке методики проведения этих лабораторных работ было обращено на сохранение максимального подобия с реальными электрическими схемами замещения. В принципе Simulink выступает здесь лишь в роли имитатора реальной АВМ, и все приведенные в методических указаниях электрические и структурные схемы можно собрать и из реальных физических устройств. Такой прием позволяет проследить логику совершенствования методов математического моделирования, а также почувствовать общность всех видов как математического, так и физического моделирования.
В то же время уход от физической реализации моделей и переход к виртуальным моделям позволяет не только существенно сократить затраты времени и интеллекта на проведение работ по моделированию и исследованию реальных процессов, но и обозначить вектор дальнейшего развития идеи математического моделирования с учетом совершенствования средств вычислительной техники.
В качестве теоретической основы для проведения лабораторных работ в данных методических указаниях рекомендуется в первую очередь учебное пособие [3], а также [1, 2].
Лабораторная работа № 1. Исследование электрической схемы замещения механического амортизатора
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомиться с методом математического моделирования с использованием электрических схем замещения на примере механического колебательного узла.
1.1. Теоретическая часть
Механическая схема амортизатора представлена на рис. 1.1,а. Узел содержит пружину с коэффициентом жесткости k и масляный демпфер с коэффициентом трения r. Масса всей системы равна m. На систему действует внешняя сила F. Электрическая схема замещения амортизатора изображена на рис. 1.1,б.
а) б)
Рис. 1.1. Механическая схема амортизатора (а) и его схема замещения (б)
В данной задаче амортизатор (механическая цепь) является оригиналом, электрическая цепь – моделью. Механическая цепь на рис. 1.1,а описывается уравнением
 , (1.1)
где F – внешняя сила, Н; m – масса механического узла, кг; v – скорость, м/с; t – время, с; r – коэффициент сопротивления демпфера, Н.с/м; k – коэффициент упругости пружины, Н/м; См – механическая емкость пружины, м/Н.
Электрическая цепь на рис. 1.1,б описывается уравнением
 , (1.2)
где E – ЭДС, В; L – индуктивность, Гн; i – сила тока, А; τ – время, с; R – электрическое сопротивление, Ом; С – электрическая емкость, Ф.
Оба уравнения являются изоморфными, что позволяет применить к ним первую теорему подобия. То есть при определенных условиях электрическая цепь рис. 1.1,б может являться моделью механической цепи рис. 1.1,а. Для определения условий, критериев и масштабов подобия выполним определенные действия в следующем порядке:
Определим соответствие величин оригинала и модели:
 . (1.3)
Введем масштабы подобия:
 . (1.4)
Приведем оба уравнения к безразмерному виду:
 . (1.5)
 . (1.6)
Подставим во второе уравнение величины из первого уравнения с соответствующими масштабными коэффициентами:
 . (1.7)
Получим
 . (1.8)
Уравнение (1.8) тождественно уравнению (1.5) при выполнении следующих условий:
 (1.9)
Подставив вместо масштабов выражения (1.4), получим выражения для трех критериев подобия
 (1.10)
Если разделить все слагаемые уравнений (1.1)-(1.2) не на первое слагаемое, а на второе, то получим еще три критерия
 (1.11)
При делении на третье слагаемое получим
 (1.12)
При делении на четвертое слагаемое получим
 (1.13)
Анализ двенадцати критериев позволяет выявить повторяющиеся критерии и оставить всего шесть критериев: π1, π2, π3, π5, π6и π9. Три из этих критериев являются независимыми, а три остальные – зависимыми. То есть дополнительные три критерия подобия можно было получить также путем комбинации трех изначально полученных критериев:
 (1.14)
Проведем анализ размерностей величин, входящих в уравнение оригинала (1.1):
 (1.15)
Анализ размерностей показывает, что размерности всех шести величин могут быть построены из трех основных размерностей системы СИ: кг, м, с. Это значит, что из шести масштабов подобия три масштаба являются независимыми, то есть их значения можно выбрать произвольным образом.
В качестве независимых удобнее всего выбрать масштабы  . То есть при моделировании механической цепи электрической схемой замещения величины сопротивления, индуктивности и емкости можно выбрать произвольным образом.
Остальные три масштаба оказываются зависимыми, то есть их значения должны быть получены на основе независимых масштабов решением системы уравнений (1.9):
 (1.16)
Задаваясь произвольными значениями сопротивления, индуктивности и емкости, для заданных параметров механической цепи рассчитываем независимые масштабы  . Затем из (1.16) рассчитываются зависимые масштабы  и сопротивление  . Из этих элементов строится электрическая цепь, процессы в которой i=f(τ) фиксируются осциллографом и с помощью масштабов подобия пересчитываются в зависимость v=f(t). Использование возможностей Simulink по совмещению электрической цепи со структурной схемой позволяет получить зависимость x=f(t) путем интегрирования сигнала v=f(t).
1.2. Экспериментальная часть
Исходные данные (оборудование):
конденсатор емкостью С;
катушка индуктивности L;
источник ЭДС E;
реостат с плавной регулировкой сопротивления в диапазоне 0 – Rmax.
Значения параметров элементов электрической цепи С (Ф), L (Гн) и E (В) необходимо получить у преподавателя.
Значения параметров механического узла См (м/Н), m (кг), F (Н) и r (Н.с/м) также необходимо получить у преподавателя.
Задание:
-
определить, при каких условиях электрическая цепь рис. 1.1,а, собранная из электрических элементов, подобна механической цепи рис. 1.1,б, параметры которой заданы преподавателем;
в среде Simulink построить электрическую цепь, подобную исследуемому механическому узлу;
построить осциллограмму процессов в электрической схеме замещения и в механическом узле.
Порядок выполнения работы
Получите у преподавателя параметры исследуемого механического узла См (м/Н), m (кг), F (Н) и r (Н.с/м).
Получите у преподавателя параметры элементов электрической цепи С (Ф), L (Гн) и E (В).
По (1.4) рассчитайте численные значения независимых масштабов .
Используя соотношения (1.16), рассчитайте численные значения зависимых масштабов  .
По рассчитанному значению масштаба mr, используя (1.3), рассчитайте сопротивление реостата R, при котором электрическая цепь рис. 1.1,б становится подобной механической цепи рис. 1.1,а.
В среде Simulink постройте схему замещения механического узла (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Электрическая схема замещения амортизатора в Simulink
В схеме замещения рис. 1.2 необходимо предусмотреть датчик тока, позволяющий фиксировать мгновенное значение тока электрической цепи. Сигнал с датчика тока подается на измерительный прибор (осциллограф), выдающий кривую изменения тока во времени i = f(τ). Этот же сигнал подается на усилитель с коэффициентом усиления 1/mv. Сигнал с этого усилителя численно равен скорости движения конца пружины v=f(τ). Для масштабирования по времени используйте таймер, сигнал с которого подаем на усилитель с коэффициентом усиления 1/mt. Масштабированный таким образом сигнал подается на горизонтальную ось двухвходового измерительного прибора, а на вертикальную ось подаем сигналv=f(τ). В результате прибор будет выдать сигнал v=f(t) в масштабе времени, соответствующем оригиналу. Второй измерительный прибор с двумя входами используйте для построения кривой x=f(t). Для этого на горизонтальную ось этого прибора подается масштабированный сигнал с таймера, а на горизонтальную ось – сигнал x=f(τ) с выхода интегратора, на вход которого подается сигнал v=f(τ).
Запустите расчетный процесс и зафиксируйте результат.
В отчете приведите исходные данные, расчет всех масштабов и величины сопротивления R, электрическую схему замещения, выполненную в среде Simulink, а также кривые i = f(τ), v=f(t) и x=f(t).
В выводе ответьте на вопросы:
Что понимается под изоморфизмом уравнений?
Что понимается под масштабами и критериями подобия?
При каких условиях электрическая цепь становится подобной механической цепи?
Из каких соображений выбирается количество независимых и зависимых масштабов подобия?
Из каких соображений выбирается, какой из масштабов в данной работе отнести к независимым, а какой к зависимым?
При устном отчете по работе необходимо знать:
определения изоморфизма уравнений, подобия явлений, а также определение модели;
-
отличия, достоинства и недостатки математического и физического моделирования;
формулировку первой теоремы подобия;
способ построения критериев и масштабов подобия на основе анализа уравнений связи;
способ определения количества независимых и зависимых масштабов на основе анализа размерностей;
типовые элементы электрических схем замещения.
|
|
|
Скачать 0.89 Mb.
