Главная страница
Реферат
Учебное пособие
Лекция
Курсовая
Задача
Закон
Протокол
Отчет
Программа
Семинар
Анализ

Оз. Числовий ряд вигляду наз узагальненим гармонійним рядом


Скачать 6.46 Mb.
Название Оз. Числовий ряд вигляду наз узагальненим гармонійним рядом
Анкор VIdpovidi_biletiv_1 (1).doc
Дата 06.05.2017
Размер 6.46 Mb.
Формат файла doc
Имя файла VIdpovidi_biletiv_1 (1).doc
Тип Документы
#8664
страница 1 из 9
  1   2   3   4   5   6   7   8   9



1. Узагальнений гармонійний ряд. Ознаки порівняння збіжності додатних рядів, Коші, Д’аламбера.
Оз. Числовий ряд вигляду наз. гармонійним рядом

Оз. Числовий ряд вигляду наз. узагальненим гармонійним рядом. При ряд розбігається, а при ряд збігається, при р=1 маємо гармонійний ряд.

Теор. (Ознака порівняння). Нехай дані два додатних ряди an =a1+a2+... + an+... та bn =b1+b2+... + bn+.... Нехай почин.з деякого номера N, викон. нерівн. an > bn, , тоді 1) зі збіжності ряду випливає збіжність ряду ; 2) із розбіжності ряду випливає розбіжність ряду .
Теор.(Ознака Даламбера). Нехай дано ряд із додатними членами , an > 0 і нехай при необмеженому зростанні номера п існує скінчена границя , тоді 1) якщоl< 1 то ряд збігається; 2) якщоl≥ 1, то ряд розбігається. 3) якщо l=1 теорема не дає відповіді.

Теор. (Ознака Коші, радикальна). Нехай дано ряд із додатними членами , для кожного n. Тоді 1) якщо, починаючи з деякого номера N, для кожного n>N, то ряд збігається; 2) якщо, починаючи з деякого номера N, виконано для кожного n >N, то ряд розбігається.
2. Означення та основні властивості тригонометричних функцій, їх графіки.

Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.Тригонометричні функції та їхні властивості вивчають на основі таких концентрів.--У курсі геометрії 8 класу вводиться поняття синуса, косинуса і тангенса гострого кута прямо­кутного трикутника.-- У курсі геометрії 9 класу вивчаються озна­чення синуса, косинуса і тангенса будь-яких кутів від 0° до 180°; теореми синуса і косинуса. Пізніше для будь-яких кутів від 0° до 180° означення цих функцій вводиться координатним способом — за допомогою кола радіуса R у системі координат. Термін «тригонометричні функції» тут не вико­ристовується.--У 10 класі в курсі алгебри та початків аналізу повторюються і розширюються відомості про радіанну систему вимірювання кутів і дуг; вводить­ся поняття кута повороту і розглядаються синус, косинус, тангенс і котангенс довільного гострого кута.Учні вже знають, що sinx, cosx, tgx ,ctgx залежать від значень х, отже рівності у=sinx, у=cosx, у=tgx , у=ctgx задають функції, їх називають тригонометричними функціями.



3. Задача 16. Знайти невизначений інтеграл



4. Знайти загальний розв’язок рівняння


1. Абсолютна та умовна збіжність рядів. Ознака Лейбніца збіжності знакозмінного ряду та оцінка його залишку

Оз. Знакозмінним наз. ряд, членами якого мають різні знаки. Серед членів знакозмінного ряду є як додатні, так і від’ємні числа, які можуть слідувати в довільному порядку. Найбільш простим є випадок, коли члени ряду по черзі мають то додатний, то від'ємний знак. Знакозмінний ряд зручніше записувати так, щоб знаки членів були позначені, а саме

c 1-c2+c3-c4+...(-1) n-1 cn+... = де cn> 0 для кожного n.

Теор. (Оз. Лейбница). Якщо члени знакозмінного ряду:1) монотонно спадають: cn+1< cnдля кожного n; 2) прямують до нуля: ; то ряд збігається.
Оз. Ряд абсолютно збіжний, якщо збігається ряд, утворений із абсолютних величин членів ряду
Теорема Коші.. Якщо ряд - збігається, то і ряд - збігається. Інакше кажучи, з абсолютної збіжності випливає просто збіжність ряду.

Якщо знакозмінний ряд збігається, а ряд, складений абсолютних величин, розбігається, то знакозмінний ряд називається умовно збіжним.

Теорема. Якщо ряд збігається абсолютно, то ряд, що отримано з нього перестановкою членів, також збігається й має ту ж саму суму, що й початковий ряд. Іншими словами, абсолютно збіжний ряд має переставну властивість.

Теорема (Римана). Якщо ряд збігається умовно, то, яке б не було число A, можна так переставити члени ряду, що сума ряду, який отримаємо, буде дорівнювати A.Умовно збіжний ряд переставною властивістю не володіє.

Зауваження. Умовна збіжність здійснюється лише завдяки взаємному погашенню додатних і від'ємних членів, і тому істотно залежить від порядку, у якому ці члени йдуть, а абсолютна збіжність заснована на швидкості спадання членів, і від їхнього порядку не залежить. Зауважимо, що сума тільки додатних членів умовно збіжного ряду дорівнює нескінченності, та сума тільки від'ємних членів також дає нескінченність: ∑а = +∞ ∑ = −∞ ≥0

2. Урок математики. Підготовка вчителя до уроку

Основною колективною формою організації навчання за умов класно-урочної системи є урок математики. Урок математики, так само, як і будь-який урок, має ос­новні характеристики: мету, завдання, зміст, методи і засоби навчан­ня, організаційні форми навчальної діяльності. Водночас уроки мате­матики мають певну специфіку, яка визначається особливостями нау­ки і шкільного предмета математики.

В структурі уроку математики розрізняють три компоненти: 1) актуалізація здобутих знань і спосо­бів діяльності; 2) формування нових знань і способів діяльності; 3) застосування - формування навичок і умінь. За відносної не­змінності зазначених компонентів форми їх реалізації можуть бути різними.

Основними етапами уроку математики зазвичай є такі:-Організаційний момент;-Актуалізація опорних знань (перевірка домашнього завдання);-Підготовка учнів до сприйняття нового матеріалу (формулювання мети і завдань уроку, постановка навчальної проблеми, мотивація навчаль­ної діяльності);-Засвоєння нового матеріалу;-Закріплення нового матеріалу;- Підсумки уроку;- Повідомлення домашнього завдання.

Залежно від мети і завдань уроку послідовність цих етапів може бути різною, деякі навіть можуть бути відсутніми. Проте для кожного уроку обов'язковим є перший етап - постановка мети і завдань, зо­крема і перед учнями.

Вибір методів навчання, організаційних форм і засобів залежить від поставлених цілей уроку. При цьому кожному методу і прийому мають відповідати певні організаційні форми діяльності учня на уроці.

Підготовку вчителя до урокудоцільно починати з перегляду ка­лендарного або тематичного плану, плану чи конспекту попереднього уроку, щоб урахувати, чи виконано повністю план попереднього уро­ку, чи, можливо, щось не вдалося подати. Слід ще раз розглянути можливі способи розв'язування тих вправ і задач, які пропонувались учням як домашнє завдання, визначити, кого з учнів потрібно опита­ти чи перевірити їхню домашню роботу.

Після цього слід уважно вивчити відповідний матеріал підручника, ознайомитися з методичними посібниками, продумати, які використати на­очні, технічні, обчислювальні засоби навчання, персональні комп'ютери.

Важливо правильно поставити дидактичну мету і завдання, добрати зміст навчального матеріалу з урахуванням потреби рівневої диференціа­ції, продумати структуру уроку, вибрати доцільні методи і прийоми до­сягнення мети і завдань уроку, організаційні форми, засоби навчання.

Потрібно визначитися щодо форм проведення контролю успішності учнів. Якщо проводити самостійну роботу, математичний диктант, короткочасну контрольну роботу, то слід розробити їх різнорівневий зміст. Обов'язково слід продумати, які записи і в який спосіб розміс­тити на дошці, що учні писатимуть на уроці в зошитах та ін.

Якщо урок потребуватиме виготовлення дидактичних матеріалів то зробити це потрібно заздалегідь. Слід ретельно підготувати зміст домашнього завдання, передбачити час і форму подання його учням. Тільки після цього можна братися до складання плану або конспекту уроку.

3. Знайти невизначений інтеграл



4. Розв’язати рівняння в повних диференцiалах:




1.




Інтегрування і диференціювання функціональних рядів.
Функціональним рядом наз. ряд , членами якого є функції , які визначені деякій множині Х числової осі.








2. Внутрішньо предметні та міжпредметні зв’язки

Однією з важливих умов міцності знань, умінь і навиків, які формуються в учнів, є здійснення міжпредметних зв’язків в процесі викладання навчальних предметів.Міжпредметні зв’язки– це вираження фактичних зв’язків, що встановлюються в процесі навчання або в свідомості учня, між різними навчальними предметами.

Міжпредметні зв’язки мають дві сторони – об’єктивну і суб’єктивну.Об’єктивна сторона міжпредметних зв’язків знаходить вираження в визначенні змісту навчання і враховується при розробці навчальних планів, програм, складанні підручників, навчальних і методичних посібників по відповідних навчальних предметах.Суб’єктивна сторона міжпредметних зв’язків здійснюється викладачами в процесі навчання Класифікація міжпредметних зв’язків:

за змістом навчального матеріалу,за уміннями, що формуються,за методами та засобами навчання
за змістом навчального матеріалу

1. За використанням знань учнів з інших предметів, їх виробничого і життєвого досвіду для більш глибокого засвоєння знань з даного предмету

2. За законами і теоріями для пояснення явищ і процесів, що вивчаються в різних предметах

3. За єдністю трактування понять, явищ, процесів, що вивчаються в різних предметах

4. За відбором навчального матеріалу

5. За методами науково-технічного дослідження

6. За комплексним використанням знань і умінь, отриманих в різних предметах
за уміннями, що формуються:

1. За уміннями планування

2. За інтелектуальними уміннями

3. За практичними уміннями

4. За уміннями працювати з книгою

5. За організаційними уміннями
За методами та засобами навчання:

1. За методами і методичними прийомами

2. За засобами навчання

3. За єдністю педагогічних вимог

 Внутрішньопредметні зв’язки – це зв’язки за змістом і логікою побудови та вивчення матеріалу одного предмету.Внутрішньопредметні зв’язки також мають об’єктивну і суб’єктивну сторону.Об’єктивна сторона детально розглядається в курсі дисципліни Суб’єктивна сторона внутрішньопредметних зв’язків виявляється в побудові системи уроків по темі і дисципліні в цілому, в опорі на раніше вивчене, в загальній логіці вивчення дисципліни.

УЗАГАЛЬНЕННЯ Здійснення міжпредметних та внутрішньопредметних зв’язків в процесі викладання навчальних предметів є важливою умовою міцності знань, умінь і навиків, які формуються в учнів

Способи і форми здійснення міжпредметних зв’язків в процесі навчання

1. Посилання на раніше вивчений матеріал інших предметів, спонукання учнів використовувати раніше набуті знання для пояснення або самостійного аналізу нових фактів, явищ, понять, закономірностей.

2. Навчання учнів способам оперування поняттями, отриманими в результаті вивчення одних предметів, при оволодінні матеріалом з інших предметів.

3. Навчання учнів раціональним способам порівнювати явища, знаходити спільність і відмінність, робити висновки й узагальнення (таблиці для порівняння, графіки для дослідження залежностей, схеми для з’ясування принципу дії і т.д.).

4. Узгодження методів і методичних прийомів навчальної роботи з різних предметів

5. Координація методичних прийомів вивчення однотипних елементів навчального матеріалу в різних предметах

Можна виділити основні напрямки зв'язків математики з ф і з и к о ю: величини та їх вимірювання; обчислювальна культу­ра; функції і графіки, похідна, інтеграл, диференціальні рівняння; вектори.

Найсуттєвіші зв'язки математики з х і м і є ю здійснюються під час розв'язування задач на пропорції, проценти, використання правил наближених обчислень.

Тому виникає потреба в тісних зв'язках у роботі вчителів математики, хімії і фізики.

Слід мати також на увазі, що деякі математичні поняття вводяться на уроках фізики і хімії раніше, ніж на уроках математики. Тому, по-перше, треба забезпечити єдиний підхід до трактування таких понять і, по-друге, спиратися на уроках математики на вже відомі учням знания. Зв'язки математики з кресленням і трудовим навчанням спрямовані на формування графічної грамотності учнів. Зв'язки математики з географією можуть здійснюватись у кількох напрямках. У географії вводяться и поняття лінійного масштабу, іменованого масштабу, відносної та абсолютної висоти. Останні два поняття доцільно використати, вводячи від'ємні числа. Наприклад, відносний рівень (висота) води в Дніпрі може виражатись як додатнім, так і від'ємним числом.

Вчитель математики може скористатися прикладом географічних координат, вводячи в 6 класі поняття про прямокутну систему координат, хоча в географи маємо не прямі, а кола, які в разі перетину визначають положення точки на сфері.

3. Знайти площу фігури, обмежену кривими





4. Знайти загальний розв’язок рiвняння





1. Невласні інтеграли І-го та 2-го роду.

При визначенні інтеграла ми вважали, проміжок інтегрування скінченим, а підінтегральна функція визначена, неперервна, і не перетворюється на даному відрізку в нескінченність. Такі інтеграли називаються власними.

Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то інтеграли називаються невласними.

Власні інтеграли завжди мають числове значення, тоді як невласні можуть і не мати. Розрізняють невласні інтеграли із нескінченними межами інтегрування та невласні інтеграли від розривних функцій.

Інтеграли з нескінченними межами (невласні інтеграли першого роду).

Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +∞) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — ∞ < a < b < +∞. Тоді, якщо існує скінченна границя її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

Таким чином, за означенням =

У цьому випадку інтеграл називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) — інтегровною на проміжку [а; +∞).

Якщо ж границя не існує або нескінченна, то інтеграл називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) — неінтегровною на [a; +∞).

Аналогічно означається невласний інтеграл на проміжку (-∞; b]: =

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою , не залежить від вибору числа с.

Коли функція f(x) неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +∞) і коли інтеграл збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області



На невласні інтеграли безпосередньо поширюються ряд властивостей визначених інтегралів:

1. Якщо F(x)- первісна по відношенню до f(x) то формула Ньютона-Лейбніца має вид:



2 Ознака збіжності. Якщо на проміжку [a, b] функції f(x), g(x) функції неперервні і задовольняють нерівності 0 < f(x)

випливає збіжність інтеграла .

Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли ІІ роду).

Нехай функція f(x) визначена на про­міжку [а, b). Точку х = b назвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) → ∞ при х → b - 0 Нехай функція f(x) інтегровна на відрізку [а; b -] при довільному > 0 такому, що b - > ; тоді, якщо існує скінченна границя

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

Отже, за означенням

У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує або збігається. Якщо ж границя нескінченна або не існує, то інтеграл також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо х = — особлива точка, то невласний інтеграл визначається так:



Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с0 (а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають

Нарешті, якщо а та b — особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають

де с — довільна точка інтервалу (а; b).
2. Методика вивчення алгебраїчних i трансцендентних функцiй у курсi математики ЗНЗ.

Поняття функціональної залежності є одним з центральних в математиці, Вивчення поведінки функцій і побудова їх графіків є важливим розділом шкільного курсу. Починаючи з 7 класу середньої школи йде поступове вивчення властивостей функцій та функціональних залежностей. Розглядаються різні класи функцій: починаючи з найпростіших лінійних функцій і їх графіків, потім квадратичні функції, функції оберненої пропорційності і дробово-лінійні функції, які відносимо до алгебраїчних У старших класах учні вивчають трансцендентні функції.

Трансцендентні функції – це клас показникових, тригонометричних, логарифмічних, обернених тригонометричних та інших функцій, які не являються алгебраїчними. В 10 класі вводяться тригонометричні функції, і в 11 класі нарешті, показникові і логарифмічні функції. Всі ці функції розглядаються тільки як функції однієї змінної, причому самі змінні не виходять за рамки безлічі дійсних чисел. У результаті вивчення курсу математики учні повинні: 
– розуміти, що функція – це математична модель, що дозволяє описувати й вивчати різноманітні залежності між реальними величинами, що конкретні типи функцій (пряма і обернена пропорційності, лінійна, квадратична функції) описують велику різноманітність реальних залежностей;
– правильно вживати функціональну термінологію (значення функції, аргумент, графік функції, область визначення, зростання та ін)– знаходити значення функції, заданих формулою, таблицею, графіком;; 
– знаходити за графіком функції проміжки зростання та спадання функції, проміжки знакосталості, найбільше і найменше значенн
– будувати графіки лінійної функції, прямої і оберненої пропорційності, квадратичної функції; . 
Лінійна функція. 
Лінійної функцією називається функція, яку можна задати формулою виду y = kx +в ,де х - незалежна змінна, k і b - деякі числа. Таке визначення дано в підручниках, і тільки після цього в наступному параграфі дається визначення прямої пропорційності. Звертається  увага на те, що пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції, так як формула у = k хвиходить з формули y = kx + b при b = 0 і для того, щоб побудувати графік прямої пропорційності досить відзначити будь-яку точку графіка, відмінну від початку координат, і провести через цю точку і початок координат пряму.  Цілий параграф в даному підручнику відводиться на вивчення взаємного розташування графіків лінійних функцій. Графіки двох лінійних функцій, заданих формулами виду y = kx + b, перетинаються, якщо коефіцієнти при х різні, і паралельні, якщо коефіцієнти при х однакові. 
2. Квадратична функція. 
Вивчення квадратичної функції проводиться у двох концентрах. У 8-му класі розглядається її окремий вид — функція у=х2, а у 9-му класі — функція у=ах2+bх+с, її властивості та графік. Досвід, набутий учнями під час вивчення функції y=х2, створює основу для кращого усвідомлення властивостей функції загального виду, а також дає можливість

ознайомити учнів 8-го класу з влас­тивостями і графіком функції у=. Вивчення елемен­тарних функцій в основній школі здійснюється переваж­но на конкретно-індуктивному рівні, без строгих доведень. Базою для встановлення властивостей функції виступає графік, а простіші перетворення графіків дають змогу порівнювати властивості різних видозмін функцій. Отже, необхідно приділити достатню увагу початковому озна­йомленню з функцією у=х2 ісформувати в учнів чіткі уявлення про її графік і властивості. Але треба забезпечити логічний перехід від розгляду квадратного тричлена до квадратичної функції у за­гальному вигляді. З цією метою виклад матеріалу по­чинаємо з означення: квадратичною функцією називають функцію, яку можна задати формулою виду у=ах2+bх+с, де х — незалежна змінна, a, bі с — деякі числа, причому а0. Якщо b = 0, дістаємо функцію виду у=ах2+с; якщо с=0, матимемо у = ах2+bх; якщо b=0, с=0, то у = ах2. Якщо у функції у=ах2коефіцієнт а= 1, матимемо уже відому нам функцію у=х2. Залежність у = х2є квадратич­ною функцією найпростішого виду. Далі розглядаємо функцію у = ах2та її графік.

Функція у= та її графік У підручнику функція у=розглядається у зв'язку з вивченням квадратних коренів.Поступово учні засвоюють властивості функції у=для k>0 і k<0 у

Степенева функція Вивченню степеневої функції передує розгляд парних і непарних функцій. Ці поняття дають змогу зразу система­тизувати степеневі функції за ознакою парності чи непарності, допомагають учням усвідомити спільне й відмінне у розміщенні на координатній площині графіків степеневих функцій з парним і відповідно непарним показниками.В основній школі розглядається степенева функція ли­ше з натуральним показником. Головна мета вивчення її — узагальнити вивчені відомості про функції та їх гра­фіки, розглянути деякі нові властивості функцій. Зважаючи на те, що учні вже мають достатній досвід оперу­вання поняттям функції і відповідною термінологією, тре­ба почати безпосередньо з означення.Властивості степеневої функції доцільно систематизу­вати в таблиці, де обов'язково вміщені графіки видозмін цієї функції. Введення поняття тригонометричних функцій числового аргументу.

Насамперед потрібно згадати означення тригонометричних функ­цій кута і поширити їх на будь-яку градусну міру, ввести кут поворо­ту. Крім того, слід переконати учнів, що існує відповідність між мно­жиною дійсних чисел і множиною точок одиничного кола, для чого попередньо виконати таку вправу. Основна мета - вивчити властивості тригонометричних функцій, навчити учнів будувати їх графіки. Першою тригонометричної функцією, з якою ознайомлюються учні, стає функція y = cosx, Вивчення даних функцій починається з повторення визначення синуса, косинуса і тангенса довільного кута які були введені в 9 класі. Так як функція y = cosx періодична з періодом 2p, то досить побудувати її графік на якому-небудь проміжку довжиною 2p. Крім того досить побудувати її графік на відрізку 0 £ х £ p, а потім симетрично відобразити щодо осі Оу. Перш ніж перейти до побудови графіка, доводиться, що функція y = cosx убуває на відрізку 0 £ х £ p. Доведене тут властивість дозволяє зробити висновок про можливість побудови графіка функції на цьому відрізку і поширенні його на всю числову пряму. 
Після побудови формулюються основні властивості функції y = cosx. 

Для побудови функції y = sinx  використовують формулу:   . Ця формула показує, що графік

функції y = sinx можна отримати зрушенням графіка функції y = cosx вздовж осі абсцис вправо на 
Побудова графіка функції тангенс, як і косинус, починається з дослідження. Спочатку графік будується на проміжку   , А потім поширюється на всю числову пряму. Для цього доводиться, що функція y = tgx зростає на

проміжку  . Доведене тут властивість дозволяє зробити висновок про можливість побудови графіка функції на всю числову пряму. 
Після чого формулюються властивості функції y = tgx. 
За графіком демонструються властивості даної функції: її область визначення, область значення, найбільше і найменше значення, нулі функції, проміжки постійних знаків функції. Аналогічно розглядаються властивості функції y = cosx і y = tgx і на графіках цих функцій демонструються їх властивості. 
У шкільному курсі математики існують різні методичні підходи до введення арк­косинуса, арксинуса, арктангенса.

2.5. Показникова функція. 
У 10 класі в підручнику розглядається показникова функція. Перше з чим знайомляться учні на уроках математики - це властивості функції та її графіком. На її вивчення відводиться один параграф, який починається з повторення властивостей степенів. Після чого вводиться визначення показникоової функції, далі розглядаються основні властивості Властивості монотонності обгрунтовуються аналітично і ілюструються на графіку. Надалі основну увагу приділяється ілюстрації властивостей функції за графіком </0>
  1   2   3   4   5   6   7   8   9
написать администратору сайта