Уравнения ВВ ВСВ. Реферат по курсу Математические основы теории систем

Скачать 8 Mb. Название Реферат по курсу Математические основы теории систем Анкор Уравнения ВВ ВСВ.docx Дата 03.05.2017 Размер 8 Mb. Формат файла Имя файла Уравнения ВВ ВСВ.docx Тип Реферат #6791

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Приборостроительный факультет Кафедра автоматики и управления РЕФЕРАТ по курсу «Математические основы теории систем» Выполнил: Ивлев А.А. студент группы ЗИЭФ–326 «___» ____________ 2014 г. Проверил: Разнополов О.А. «___» ____________ 2014 г. Челябинск 2014 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВХОД-ВЫХОД Математической моделью динамической системы принято называть совокупность математических символов, однозначно определяющих развитие процессов в системе, т. е. ее движение. При этом в зависимости от используемых символов различают аналитические и графоаналитические модели. В зависимости от типа сигналов различаются непрерывные и дискретные модели систем. В зависимости от используемых операторов — линейные и нелинейные, а также временные и частотные модели. К временным относятся модели, в которых аргументом является время (непрерывное или дискретное) [2, 3, 14, 20]. Это дифференциальные и разностные уравнения, записанные в явном виде или в операторной форме. Частотные модели предусматривают использование операторов, аргументом которых является частота соответствующего сигнала, т. е. операторы Лапласа, Фурье и т. д. [1, 4, 20, 39]. Линейные модели вход-выход Модель вход-выход (ВВ) — это описание связи входных и выходных сигналов динамической системы. Необходимость в таком описании появляется при рассмотрении поведения как отдельных блоков и, в частности, объекта управления, так и всей системы управления в целом. Различия в математическом описании блоков и системы управления не принципиальны, но требуют использования разных обозначений. Так, входным сигналом САУ служит задающее воздействие y*(t), а выходным — переменная y(t). При описании блоков часто применяются обозначения и соответственно. В дальнейшем воспользуемся обозначениями, характерными для объекта управления, где входным сигналом является управляющее воздействие u(t), а выходным — регулируемая переменная y(t). Аналитические модели Линейная модель вход-выход одноканальной динамической системы (здесь объекта управления) может быть представлена обыкновенным дифференциальным уравнением вида: (5.1) где, - коэффициенты (параметры модели), > 0, > 0, n — порядок модели, 0 < m < n. Уравнение (5.1) связывает входные сигналы u(t) и их производные с выходными сигналами и их производными , на некотором временном интервале, т. е. при . Значения , ,….., называются начальными значениями (условиями), а число - относительной степенью модели. Различают стационарные системы, для которых значения параметров неизменны: = const, = const, и можно положить , и нестационарные модели, где параметры являются функциями времени, т. е. , . В случае, когда , уравнение (5.1) называется приведенным. Система, для которой u(t) = 0, называется автономной. Описание автономной системы дается однородным дифференциальным уравнением вида (5.2) Модель (5.1) может быть переписана в операторной форме. Для этого введем в рассмотрение оператор дифференцирования И положим, что С учетом введенных обозначений уравнение (2.1) легко преобразуется к операторной форме (5.3) где используются дифференциальные операторы Оператор а(р) называется характеристическим полиномом дифференциального уравнения (5.1), а комплексные числа , являющиеся корнями характеристического уравнения (5.6) называются полюсами системы (5.1). Дифференциальный оператор - характеристический полином правой части. Корни уравнения т. е. комплексные числа , называются нулями системы (5.1). Из уравнения (5.3) найдем явную связь переменных y(t) и u(t) в виде операторного уравнения: (5.8) где интегрально - дифференциальный оператор (5.9) называется передаточной функцией системы (5.1). Преимущество использования операторных моделей заключается, во-первых, в краткости записи соответствующих уравнений, а во-вторых, в удобстве преобразования сложных (составных) моделей. Рассмотрим частный случай динамической системы с коэффициентами . При система имеет относительную степень , и нули отсутствуют. Уравнение (5.1) принимает вид (5.10) уравнение (5.3) (5.11) а уравнение (5.8) (5.12) Многоканальные модели Сначала рассмотрим многоканальную систему с независимыми (автономными) каналами. Система описывается m операторными уравнениями каждое из которых характеризует поведение одного из ее каналов. Введем в рассмотрение векторы выхода у и управления u: соответственно, и перепишем систему уравнений в векторно-матричной форме: или более компактно (5.13) Если матрица А(р) обратима, т. е. существует обратная матрица то из уравнения (5.13) найдем (5.14) где — передаточная матрица системы (матричный интегро-дифференциальный оператор), вычисляемая как Легко видеть, что в рассматриваемом случае передаточная матрица является диагональной, т. е. Теперь рассмотрим многосвязную систему, т. е. многоканальную систему со связанными каналами, описываемую системой операторных уравнений Система приводится к векторно-матричной форме (5.13), где и форме (5.14), где передаточная матрица W(p) определяется выражением Модель (5.14) можно также записать в скалярном виде: Отметим, что диагональные операторы относятся к основным каналам, а остальные передаточные функции , , характеризуют перекрестные связи многоканальной системы. Для двухканальной многосвязной системы получаем: где (p) — передаточные функции основных каналов системы, a, , — передаточные функции перекрестных связей. Модели возмущенных систем Возмущающее воздействие , характеризующее влияние на объект управления внешней среды, рассматривается как дополнительный входной сигнал. Тогда линейная модель одноканальной динамической системы принимает вид (5.15) где — коэффициенты, определяющие влияние на процессы в системе возмущения f(t) и его производных ,. После подстановки операторов дифференцирования и соответствующих преобразований получаем операторную форму модели (5.15): (5.16) где используется дифференциальный оператор и форму (5.17) где -передаточная функция no возмущающему воздействию f(t). Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход Переходные процессы Процессы автономных систем Вынужденное движение Установившееся движение Статический режим Элементарные звенья Простейшие соединения блоков Передаточные функции систем управления МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВХОД-СОСТОЯНИЕ-ВЫХОД В этом разделе рассматриваются непрерывные линейные модели, описывающие связи входов и выходов управляемого объекта (динамической системы) в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка (системы в форме Коши) с использованием промежуточных переменных - переменных состояния. Понятие пространства состояний и модели состояние-выход Переменные состояния Рассмотрим автономную динамическую систему с выходом y(t), где . Отметим, что для автономной системы решение у = y(t) содержит только свободную составляющую Введем в рассмотрение некоторые переменные определенные при и имеющие начальные значения . Переменными состояния автономной динамической системы с выходом у называются независимые переменные такие, что значение выходной переменной y(t) в произвольный момент времени однозначно определяется числами . Состояние системы в момент времени характеризуется полным набором переменных состояния , а начальное состояние - числами .По определению, зная начальное состояние системы, можно единственным образом отыскать значение выходной переменной у в любой момент времени : Процедура нахождения значений некоторой функции y(t) для будущих моментов времени называется прогнозированием, или предсказанием. Возможность предсказания является естественным требованием качественного управления, что определяет важность введенного понятия для рассматриваемых неавтономных (управляемых) систем. При этом отличительной особенностью переменных состояния является то, что для предсказания поведения системы в любой момент времени (и управления неавтономной системой) достаточно информации о переменных состояния в момент и не требуется знание предыстории процессов, т. е. информации о функциях при . Последнее служит основанием для построения процедур (алгоритмов) прогнозирования, а также алгоритмов управления динамическими системами по текущим значениям переменных состояния. С другой стороны, для неавтономных систем с помощью переменных состояния устанавливается однозначное соответствие между входными и выходными воздействиями. Модели состояние-выход и переходные процессы Свойства моделей состояние-выход Модели управляемых систем Модели вход-состояние-выход Передаточная функция(матрица) и структурные схемы моделей ВСВ Статический режим Фазовые траектории автономной системы второго порядка Эквивалентные преобразования Канонические представления моделей ВСВ ЛИТЕРАТУРА Мирошник И.В. «Теория автоматического управления» С-П 2005 Коршунов Ю.М. «Математические основы кибернетики» Москва, «Энергия» 1980г.