СЕМИНАР 11. Семинар 11 Кривые второго порядка на плоскости

Скачать 0.54 Mb. Название Семинар 11 Кривые второго порядка на плоскости Анкор СЕМИНАР 11.doc Дата 05.05.2017 Размер 0.54 Mb. Формат файла Имя файла СЕМИНАР 11.doc Тип Семинар #8130

СЕМИНАР 11 Кривые второго порядка на плоскости. Вводная информация Уравнение линии на плоскости. Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости в декартовой системе координат называется уравнение , где - функция двух переменных и . В полярной системе координат уравнение линии имеет вид . Если уравнение разрешимо относительно переменной , то уравнение линии можно записать в виде . Так как координаты точки, находящейся на линии связаны уравнением, то линия является одномерным геометрическим объектом. Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и , сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными: Линию на плоскости можно также задать параметрическим образом с помощью двух уравнений где и - координаты точки, лежащей на линии, а - переменная, называемая параметром. Приведем примеры некоторых линий. окружность радиуса с центром в начале координат. Уравнения такой окружности имеют вид: а) - в декартовой системе координат; б) - в полярной системе координат; в) - в параметрическом виде. 2) циклоида. В параметрическом виде уравнение циклоиды имеет вид Такую кривую описывает точка на окружности радиуса , которая катится без скольжения по неподвижной прямой. астроида. Астроида задается уравнениями: а) - в декартовой системе координат; б) - в параметрическом виде. Такую кривую описывает точка на окружности радиуса , которая катится без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса . кардиоида. Уравнение кардиоиды в полярной системе координат имеет вид . Эту кривую описывает точка окружности радиуса , катящаяся по окружности такого же радиуса с внешней стороны. улитка Паскаля. Уравнение кардиоиды является частным случаем () уравнения улитки Паскаля . лемниската Бернулли. Лемниската Бернулли задается уравнениями: а) - в декартовой системе координат; б) - в полярной системе координат. Произведение расстояний каждой точки лемнискаты Бернулли до двух данных точек и равно квадрату расстояния между точками и . 7) декартов лист. Декартов лист задается уравнениями: а) - в декартовой системе координат; б) - в параметрическом виде. 8) эвольвента (развертка) окружности. В параметрическом виде эта кривая задается уравнениями 9) трехлепестковая роза. В полярной системе координат эта кривая задается уравнением 10) четырехлепестковая роза. Ее уравнение имеет вид . 11) спираль Архимеда. Эта кривая в полярной системе координат описывается уравнением 12) логарифмическая спираль. Ее уравнение имеет вид 13) гиперболическая спираль. Эта кривая задается уравнением вида Общее уравнение кривой второго порядка и приведение его к каноническому виду. Общее уравнение линии второго порядка имеет вид . (1) При этом считается, что . В таком общем виде трудно понять, с какой кривой мы имеем дело. Поэтому при исследовании кривой, заданной этим уравнением, следует, вначале, привести данное уравнение с помощью координатных преобразований к каноническому (простейшему) виду. Параллельный перенос начала координат. Новую (штрихованную) систему координат введем с помощью соотношений В новой системе координат уравнение (1) принимает вид Выбирая в качестве постоянных величин и решение системы уравнений (2) мы можем исключить из уравнения кривой слагаемые с первой степенью переменных и . Таким образом, в декартовой системе координат с новым центром уравнение кривой второго порядка будет иметь вид (3) где . При решении системы уравнений (2) возможны случаи: 1) . Система имеет единственное решение, точка называется центром кривой, а сама кривая называется центральной кривой. Центральными кривыми являются а) - эллипсы; б) - гиперболы. 2) . Возможны случаи: а) система уравнений не имеет решения, кривые не имеют центра и называются параболами; б) система уравнений имеет бесконечное множество решений, кривая называется вырожденной параболой (пара параллельных прямых или мнимое место точек). Далее рассмотрим подробней случай центральных кривых. Сделаем поворот координатных осей на угол вокруг центра Уравнение кривой (3) примет вид , где Выберем угол поворота координатных осей , удовлетворяющий равенству или, что эквивалентно, равенству . Такой угол поворота выбирается из условия . Следовательно, уравнение кривой в системе координат примет канонический вид . (1) Пример 1. Приведем к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, для которой . Найдем координаты центра кривой из системы уравнений . В штрихованной системе координат уравнение кривой примет вид . Заметим, что для рассматриваемой кривой , т.е. кривая является эллипсом. Повернем координатные оси на угол , который найдем из уравнения . Это уравнение имеет два решения: . Поскольку , полученные два решения соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому, замена одного угла на другой приводит только к замене оси на ось (или наоборот). Остановимся на первом решении . Учитывая, что и , находим и , а также коэффициенты и . Напомним, что нахождение угла поворота координатных осей осуществлялось из равенства . Таким образом, уравнение кривой в новой системе координат приобретает вид . Мы получили каноническое уравнение эллипса с полуосями . Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Окружность. Вернемся к уравнению (1). Пусть . В этом случае в координатах и получаем уравнение окружности радиуса с центром в начале координат. Уравнение окружности того же радиуса с центром в точке имеет вид . С геометрической точки зрения окружность – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от некоторой точки (центра окружности). Если , то окружность вырождается в точку. Наконец, если , то уравнение не определяет какой-либо кривой на плоскости (мнимая окружность). 2. Эллипс. Запишем полученное уравнение (1) центральной кривой в виде . Пусть , получим каноническое уравнение эллипса . Оси и называются осями симметрии эллипса, а точки - вершинами эллипса. Пусть . Отрезок называется большой осью эллипса ( - большой полуосью эллипса), а отрезок - малой осью эллипса ( - малой полуосью эллипса). Эллипс имеет два фокуса , где . Расстояние между фокусами равно . Форма эллипса зависит от отношения . При эллипс превращается в окружность. Отклонение от окружности (сплющенность) эллипса характеризуется параметром , который называется эксцентриситетом эллипса. Для окружности , для эллипса . При эллипс вырождается в отрезок (). Справедливость этих утверждений легко увидеть из соотношения . Рассмотрим точку , лежащую на эллипсе. Длины и соответственно отрезков и называются фокальными радиусами эллипса. Заметим, что . Приведем соотношения, связывающие фокальные радиусы с эксцентриситетом эллипса: . Прямые и называются директрисами эллипса. Рассмотрим правую директрису и правый же фокус эллипса . Точка , лежащая на эллипсе, находится на расстоянии от рассматриваемой директрисы. Преобразуя это равенство и замечая, что , получим формулу (отношение фокального радиуса любой точки эллипса к расстоянию между этой точкой и соответствующей директрисой есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса). Аналогичное соотношение можно получить для другого фокуса и другой директрисы. Приведем геометрическое определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами (, ). Заметим, что если , то мы имеем мнимый эллипс. Гипербола. Вернемся к тому же каноническому виду кривой второго порядка , но предположим, что знаменатели имеют разные знаки. Пусть для определенности . Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Точки пересечения гиперболы с координатной осью и называются вершинами гиперболы, а отрезок - действительной осью гиперболы ( - действительной полуосью гиперболы). Точки и , лежащие на координатной оси , можно назвать мнимыми вершинами гиперболы, а отрезок - мнимой осью гиперболы ( - мнимой полуосью гиперболы). Прямоугольник со сторонами и , на которых лежат вершины гиперболы, называют основным прямоугольником гиперболы. Прямые (частями которых являются диагонали прямоугольника гиперболы) носят название асимптот гиперболы. Построение гиперболы удобно начинать с построения прямоугольника и асимптот гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней, ее уравнение имеет вид . Различают правую ветвь гиперболы (проходит через вершину ) и левую ветвь гиперболы (проходит через вершину ). Гипербола имеет два фокуса , где . Отношение называется эксцентриситетом гиперболы и характеризует степень сжатости гиперболы. Заметим, что . Отношение полуосей гиперболы является функцией эксцентриситета . При гипербола сжимается до двух лучей. При росте эксцентриситета гипербола «расправляется» и ее ветви стремятся к прямым . Фокальные радиусы и для точек правой ветви гиперболы имеют вид и , а для левой - и . Прямые называются директрисами гиперболы. Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса. Гиперболы и , имеющие разные действительные и мнимые оси, но одинаковые асимптоты, называются сопряженными гиперболами. Приведем геометрическое определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами (, ). Парабола. Каноническим уравнением параболы называется уравнение вида , где - параметр параболы. Парабола не является центральной кривой. Вершина параболы находится в начале координат, а фокус – в точке . Уравнение директрисы имеет вид . Ось является осью симметрии параболы. Фокальный радиус любой точки параболы равен ее расстоянию до директрисы, т.е. . Об этом равенстве говорит геометрическое определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Возможны три других случая расположения параболы на плоскости: . Замечание 1. При выводе канонического уравнения параболы следует первым сделать поворот координатных осей. Поскольку для параболы или , новые коэффициенты можно записать в виде: . Выбирая угол из уравнения , можно обратить коэффициент в нуль (если взять угол , то обратится в нуль ). В обоих случаях станет нулевым и коэффициент . Далее совершая параллельный перенос осей координат, можно найти координаты вершины параболы и ее уравнение. Замечание 2. Если совершить поворот координатных осей до их параллельного переноса с выбором угла поворота, обращающего в нуль коэффициент , то общее уравнение кривой второго порядка примет вид . Это уравнение всегда определяет кривые: 1) окружность при ; 2) эллипс при ; 3) гиперболу при ; 4) параболу при . При этом возможны случаи вырождения: окружности в точку или мнимую окружность ; эллипса в точку или в мнимый эллипс ; гиперболы в пару пересекающихся прямых ; параболы в пару параллельных прямых . Замечание 3. Кривые второго порядка имеют следующие «оптические» свойства: луч света, испущенный из одного фокуса эллипса и отраженный эллипсом, попадает в его второй фокус; 2) луч света, испущенный из одного фокуса гиперболы и отраженный гиперболой, пойдет по прямой линии, проходящей через второй фокус гиперболы; 3) луч света, испущенный из фокуса параболы и отраженный параболой, пойдет по прямой линии, параллельной оси симметрии параболы. Замечание 4. Четыре кривые: окружность, эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями, поскольку эти кривые являются сечениями кругового конуса плоскостями. ЗАДАЧИ 1. Задачи удовлетворительного уровня сложности. Найти координаты центров и радиусы окружностей. 11.1. . 11.2. . 11.3 . 11.4 . 11.5. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку . 11.6. Найти уравнение окружности с центром на прямой , касающейся оси абсцисс в точке . 11.7. Написать уравнения касательных к окружности , проведенных из точки . 11.8. Найти расстояние между центрами окружностей и . 11.9. Найти уравнение прямой, проходящей через центры окружностей и . 11.10. Написать уравнение окружности, проходящей через точки: , , . 11.11. Определить как расположена прямая относительно окружности - пересекает, касается или проходит вне ее. 11.12. Показать, что уравнение определяет эллипс. Найти его оси, координаты центра и эксцентриситет. 11.13. Дано уравнение эллипса . Найти: а) длины его полуосей; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет эллипса; г) уравнения директрис и расстояние между ними; д) точки эллипса, расстояние которых до левого фокуса равно 12. 11.14. Написать уравнение эллипса, проходящего через точки и . Написать канонические уравнения эллипсов, фокусы которых расположены на оси симметрично относительно начала координат, если: 11.15. Задана точка эллипса и его малая полуось равна 2. 11.16. Заданы две точки эллипса и . 11.17. Расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26. 11.18. Эксцентриситет равен и заданы фокусы . 11.19. Найти уравнение касательной к эллипсу , перпендикулярной прямой . 11.20. Определить траекторию перемещения точки , которая при своем движении остается вдвое ближе к точке , чем к прямой . 11.21. Дано уравнение гиперболы . Найти: а) длины ее полуосей; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет гиперболы; г) уравнения директрис и асимптот; д) фокальные радиусы точки . 11.22. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси , расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 8. Написать канонические уравнения следующих гипербол. 11.23. , уравнения асимптот . 11.24., а расстояние между директрисами равно . 11.25. и точка лежит на гиперболе. 11.26. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2. 11.27. Дана парабола . Найти координаты ее фокуса, уравнение директрисы, длину фокального радиуса точки . 11.28. Найти вершину, фокус и директрису параболы . Построить график этой параболы. 11.29. Найти уравнение линии, все точки которой одинаково удалены от точки и от прямой . 11.30. Найти уравнение касательной к параболе , проведенной из точки . 2. Задачи повышенного уровня сложности. Построить кривые второго порядка, приведя их уравнения к каноническому виду. 11.31 . 11.32. . 11.33. . 11.34. . 11.35. . 11.36. . 11.37. . 11.38. . 11.39. . 11.40. .