ОТВЕТЫ 1-15. Систематические

Скачать 0.79 Mb.

Название	Систематические
Анкор	ОТВЕТЫ 1-15.doc
Дата	05.05.2017
Размер	0.79 Mb.
Формат файла
Имя файла	ОТВЕТЫ 1-15.doc
Тип	Документы #8121
страница	1 из 5

1 2 3 4 5

1. Одной из основных операций в экспериментах является проведение измерений. Измерения разделяют на прямые и косвенные. При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или с помощью измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. К этим измерениям относятся измерения длины линейкой, температуры с помощью термометра, времени с помощью секундомера, скорости с помощью спидометра.

При косвенных измерениях измеряемая величина вычисляется по результатам прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Примером косвенных измерений являются определение скорости движения с помощью измерения длины пути и времени, определение плотности тела по измерению массы и объема и т.д.

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Его результат всегда содержит некоторую ошибку, то есть дает лишь приближенную оценку истинной величины. Обычно стараются произвести измерения с наибольшей достижимой точностью, то есть сделать погрешность измерения по возможности минимальной. Но достижение высокой точности измерения требует применения более сложных и дорогих приборов, обеспечения более строгих условий к окружающей среде (поддержание заданной температуры с помощью термостатов, устранение вибраций с помощью специальных фундаментов и т.д.). Такие меры связаны с увеличением затрат на организацию измерений, поэтому не следует требовать более высокой точности, чем действительно необходимо по существу задачи. При изготовлении участка врезки трубы в системе водоснабжения достаточна точность в 1-2 мм, при изготовлении сверхзвукового сопла газового эжектора диаметр критического сечения должен быть выполнен с точностью ± 0,1 мм.

Ошибки эксперимента можно разделить на три класса: систематические ошибки, случайные ошибки и грубые промахи. Суммарная ошибка любого измерения состоит из ошибок этих классов. Систематические ошибки вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Они связаны с ограниченной точностью изготовления прибора (погрешностью прибора), неправильным выбором метода измерения, неправильной установкой прибора.

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных величин, действие которых в каждом измерении различно и не может быть заранее учтено. Типичный пример – ошибка параллакса. Случайные погрешности вызываются также сотрясением фундамента здания, влиянием колебаний температуры воздуха. Случайными также являются давление и скорость в точке при турбулентном движении жидкости.

Промахи появляются при ошибках экспериментатора, нарушениях режима работы установки или неисправности измерительной системы.

2. Систематические ошибки вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Они связаны с ограниченной точностью изготовления прибора (погрешностью прибора), неправильным выбором метода измерения, неправильной установкой прибора. Классификация систематических ошибок:

1.) Погрешности метода, или теоретические погрешности, проистекающие от ошибочности или недостаточной разработки принятой теории метода измерений в целом или от допущенных упрощений при проведении измерений.

2.) Инструментальные погрешности, зависящие от погрешностей применяемых средств измерений. Среди инструментальных погрешностей в отдельную группу выделяются погрешности схемы, не связанные с неточностью изготовления средств измерения и обязанные своим происхождением самой структурной схеме средств измерений. Исследование инструментальных погрешностей является предметом специальной дисциплины - теории точности измерительных устройств.
3.) Погрешности, обусловленные неправильной установкой и взаимным расположением средств измерения, являющихся частью единого комплекса, несогласованностью их характеристик, влиянием внешних температурных, гравитационных, радиационных и других полей, нестабильностью источников питания, несогласованностью входных и выходных параметров электрических цепей приборов и так далее.
4.) Личные погрешности, обусловленные индивидуальными особенностями наблюдателя. Такого рода погрешности вызываются, например, запаздыванием или опережением при регистрации сигнала, неправильным отсчетом десятых долей деления шкалы, асимметрией, возникающей при установке штриха посередине между двумя рисками.
По характеру своего поведения в процессе измерения систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.
Постоянные систематические погрешности возникают, например, при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке и юстировке средств измерения и остаются постоянными при всех повторных наблюдениях. Поэтому, если уж они возникли, их очень трудно обнаружить в результатах наблюдений.
Среди переменных систематических погрешностей принято выделять прогрессивные и периодические.
Прогрессивная погрешность возникает, например, при взвешивании, когда одно из коромысел весов находится ближе к источнику тепла, чем другое, поэтому быстрее нагревается и удлиняется. Это приводит к систематическому сдвигу начала отсчета и к монотонному изменению показаний весов.
Периодическая погрешность присуща измерительным приборам с круговой шкалой, если ось вращения указателя не совпадает с осью шкалы.
3. Случайные погрешности вызываются большим числом случайных величин, действие которых в каждом измерении различно и не может быть заранее учтено. Типичный пример – ошибка параллакса. Случайные погрешности вызываются также сотрясением фундамента здания, влиянием колебаний температуры воздуха. Случайными также являются давление и скорость в точке при турбулентном движении жидкости.

Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений позволяет уменьшить влияние этих погрешностей на результат измерений.

4 . В природе нет ни одного физического явления, в котором бы ни присутствовали бы элементы случайности. Случайные отклонения вызываются наличием каких-то второстепенных факторов, влияющих на исход опыта, но не заданных в числе основных условий. Основные условия опыта сохраняются неизменными; второстепенные – меняются от опыта к опыту и вносят случайные различия в результаты. Практика показывает, что наблюдая массы однородных случайных явлений, мы обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, свойственные именно массовым случайным явлениям. Методы теории вероятностей по своей природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений. Они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но могут определить средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, конкретный исход которого является случайным.

Рассматривая случайные события, видим, что каждое из событий обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Чтобы количественно сравнить эти степени возможностей, с каждым событием связывают определённое число, которое называется ВЕРОЯТНОСТЬЮ СОБЫТИЯ.

Теорема Бернулли: согласно ней при увеличении числа опытов n частота события Х<�х-итое для любого х-итого сходится по вероятности к вероятности этого события. Следовательно, при увеличении n статистическая функция распределения будет приближаться к подлинной функции распределения F(х-итое) случайной величины Х. Если Х – непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений n число скачков функции F*(х-итое) будет увеличиваться, а сами скачки уменьшаться. График функции F*(х-итое) приблизится к плавной кривой F(x).

5. Все события в природе могут быть разделены на достоверные, которые обязательно произойдут, невозможные, которые не могут произойти и случайные, которые могут произойти или не произойти. Вероятность имеет практический смысл: на основании опыта считаем более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными –которые почти не происходят.

В качестве единицы измерения вероятности принимается вероятность достоверного события. Условились принимать вероятность достоверного события равной единице.

. Все другие события, возможные, но не достоверные, будут иметь вероятность меньше единицы. Невозможному событию соответствует вероятность, равная нулю.

. Таким образом, диапазон вероятностей случайного события

.

Вероятность – чисто математическое понятие. Это число, тем большее, чем более возможно событие. С понятием вероятности связано понятие частоты события, называемое также статистической вероятностью. Частота события равна отношению числа опытов m, в которых произошло данное событие, к общему числу проведенных опытов n.

. При небольшом числе опытов частота событий в значительной степени случайна и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частота событий все более теряет свой случайный характер. Случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, взаимно погашаются и частота стабилизируется, приближаясь с некоторыми колебаниями к некоторой средней величине

Вероятность невозможного события, равная нулю, и вероятность достоверного события, равная единице, занимают крайние положения на шкале вероятностей. На практике часто приходится иметь дело не с невозможными и достоверными событиями, а с так называемыми практически невозможными и практически достоверными. Практически невозможным событием называется событие, вероятность которого не точно равна нулю, но весьма близка к нулю. Практически достоверным называется событие, вероятность которого не в точности равна единице, но весьма близка к единице.

Если известно, что вероятность некоторого события в опыте равна 0,3 , то мы не можем предсказать результат опыта, произойдет данное событие или нет при однократном испытании. Но если вероятность события в опыте близка к единице или ничтожно мала, то в первом случае будем считать, что событие появится, а во втором не будем его ожидать. Здесь действует принцип практической уверенности: Принцип практической уверенности не может быть доказан математическими средствами. Он подтверждается всем опытом человечества.

ПРИНЦИП ПРАКТИЧЕСКОЙ УВЕРЕННОСТИ: если вероятность некоторого события А в опыте достаточно мала, то можно быть практически уверенным, что в единичном опыте это событие не произойдёт и доказать это математически нельзя!

6 Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины могут быть дискретными, то есть принимать строго фиксированные значения, или непрерывными, принимать любые значения внутри ограниченного или неограниченного интервала. Будем обозначать случайные величины большими буквами X, Y, Z, а их возможные значения – малыми.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями и соответствующими вероятностями их появления. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, в которой перечисляются возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

Х	х₁	х₂	…	х_n
Р	p₁	p₂	…	p_n

Такая таблица называется рядом распределения случайной величины. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, используют графическое представление. По оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения.

7. Представление закона распределения в виде таблицы или многоугольника распределения возможно только для дискретной случайной величины. Для непрерывной величины такой характеристики построить нельзя, поскольку она имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток. Для количественной характеристики этого распределения используют не вероятность события Х=х₀, а вероятность события Х<x₀., где x₀. – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события зависит от x₀. и является функцией от x₀. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(x).

. (3.2)

Функцию распределения F(x) называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для дискретных и непрерывных величин. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения и является одной из форм закона распределения. Основные свойства функции распределения:

Функция распределения – неубывающая величина,

При х₂>x₁ F(x₂)³F(x₁).

На «минус бесконечности» функция распределения равна нулю.
.
На «плюс бесконечности» функция распределения равна единице.

.

Это означает, что случайная величина Х может принимать значение
«-

» с вероятностью, равной нулю. Значение случайной величины Х с вероятностью 1 находятся в пределах

.

8. Рассмотрим отношение вероятности попадания случайной величины Х на участок от х до х+Dх к длине этого участка, то есть среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке. При стремлении Dх к нулю в пределе получим производную от функции распределения

. (3.5)

Функция f(x) характеризует плотность, с которой распределены значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения случайной величины Х. Ее также называют плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения. Вид кривой распределения изображен на рис.3.2.

Вероятность попадания случайной величины Х на элементарный участок шириной x, x+dx равна f(x)dx. Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx.
Вероятность попадания величины X на отрезок от a до b равна сумме элементов вероятности на этом участке, то есть интегралу

. (3.6)

Основные свойства плотности распределения:

Плотность распределения есть неотрицательная функция, f(x)³0.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице

9 Параметрами, определяющими положение случайной величины на числовой оси, служат характеристики положения. Главной из них является математическое ожидание случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений. Это средневзвешенное значение случайной величины или теоретическое среднее арифметическое всех возможных значений. Для дискретной случайной величины математическое ожидание определяется по формуле

, (3.8)

для непрерывной – по формуле

. (3.9)

Следующей характеристикой положения случайной величины является мода, соответствующая наиболее вероятному значению случайной величины. Величину моды легко найти по кривой распределения, выбрав значение случайной величины, имеющее максимальную плотность распределения.

Довольно часто применяется в качестве характеристики положения медиана случайной величины. Ее значение определяется из условия, что вероятности появления значений случайной величины больше и меньше медианы равны 0,5. Математически это условие можно записать в виде

Медиана делит площадь под кривой распределения пополам, Значение функции распределения от медианы равно 0,5.

Следующие параметры относятся к характеристикам рассеивания случайной величины относительно математического ожидания.

Наиболее важной характеристикой рассеивания случайной величины является дисперсия случайной величины, равная математическому ожиданию разности квадратов случайной величины и ее математического ожидания. Для вычисления дисперсии используются формулы:

для дискретной случайной величины

, (3.10)

для непрерывной

. (3.11)

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величины.

. (3.12)

Математическое ожидание mx и дисперсия Dx или среднее квадратичное отклонение sх характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Довольно часто ограничиваются только этими двумя показателями.

Для характеристики асимметрии применяется коэффициент асимметрии, рассчитываемый по формулам

или

Для характеристики крутости распределения используется эксцесс, рассчитываемый по формулам

или

.

Число 3 вычитается из отношения математического ожидания отклонений четвертой степени к среднему квадратичному потому, что для нормального закона распределения, наиболее распространенного в природе, это отношение равно 3.

10. Для любой случайной величины Х, непрерывной или дискретной, существует закон ее распределения. Для того, чтобы проводить прогностические расчеты, необходимо иметь аналитическую запись этих законов в виде определенных математических формул. Вид математического описания выбирается исходя из теоретических представлений о распределении случайной величины или на основании экспериментальных данных. Соответствие аналитических зависимостей и экспериментальных данных достигается путем подбора численных значений коэффициентов, входящих в аппроксимирующие формулы. Эти коэффициенты называются параметрами распределения случайной величины.

11 . Для непрерывных случайных величин наиболее простым является равномерное (прямоугольное) распределение с двумя параметрами {a, b}, соответствующим границам интервала, внутри которого может находиться случайная величина. Это распределение встречается в основном в двух типовых ситуациях: во-первых, когда в некотором интервале все значения случайной величины равновозможны и, во-вторых, при аппроксимации других непрерывных распределений в относительно малых интервалах.

Равномерное распределение на интервале [a, b] задается плотностью

. (4.1)

Функция распределения на этом интервале

. (4.2)

Математическое ожидание соответствует середине интервала:

. (4.3)

Дисперсия распределения

. (4.4)

Графики функции и плотности распределения показаны на рис.4.1.

Некоторые случайные величины имеют экспоненциальное распределение с одним параметром ₀>0.

Функция распределения

. (4.5)

Плотность распределения

. (4.6)

Закон определен для случайной величины x 0. Математическое ожидание случайной величины

, (4.7)

дисперсия

. (4.8)

По этому закону, как правило, распределяется случайная величина – продолжительность работы оборудования до отказа, если его отказы не связаны со старением, т.е. износом оборудования, ухудшением определяющих его работоспособность характеристик. Это распределение наблюдается, когда отказы вызываются случайными внешними факторами, например, колебаниями тепловой, электрической или механической нагрузок, изменением качества топлива, особенностями работы различных операторов или другими случайными воздействиями.

Графики функции и плотности экспоненциального распределения показаны на рис.4.2.

Наиболее общим является распределение Гаусса или нормальное распределение. Этот закон занимает особое положение. Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону распределения. По этой причине нормальный закон распределения наиболее часто встречается в природе.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности:

. (4.9)

Кривая плотности распределения по нормальному закону, приведенная на рис.4.3, имеет симметричный холмообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная

, соответствует точке x=m. По мере удаления от точки x=m плотность распределения падает и при x   кривая асимптотически прижимается к оси х.

Параметрами распределения являются коэффициенты m и . Величина m здесь соответствует математическому ожиданию случайной величины; - среднее квадратичное отклонение величины х.

Если изменить величину m, то кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя своей формы. Центр рассеивания характеризует положение распределения на оси абсцисс.

Параметр  характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. Это характеристика рассеяния. Наибольшая ордината кривой обратно пропорциональна величине , чем больше , тем ниже максимальное значение f(x). Влияние этих параметров показано на рис.4.4.

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, необходимо определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал [,]:

.

Здесь F(x) – функция распределения величины Х:

. (4.10)

Вычисление значения функции распределения требует в каждом случае численного интегрирования. Чтобы избежать этого, используется нормированное нормальное распределение с m=0 и =1. Для этого вводится новая переменная u:

1 2 3 4 5