УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТА_1. Учебнометодическое пособие для подготовки к интернетэкзамену по математике для студентов технических специальностей спо
 Скачать 3.85 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Выксунский филиал ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕСИИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ СПО Выкса 2012 год Составлено в соответствии с требованиями ФГОС по специальности 140613 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электротехнического оборудования» Одобрено цикловой комиссией математических и естественно-научных дисциплин протокол № 2 от 10.10.2012 Председатель комиссии___________ Осипова В.М Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» предназначено для студентов очного и очно-заочного отделений технических специальностей среднего профессионального образования. Целью данного пособия является оказание помощи студентам при самоподготовке к Интернет-экзамену в сфере профессионального образования. Пособие содержит теоретический материал, изложенный в доступной для восприятия форме, практические задачи с разбором решений, а так же достаточное количество заданий для самостоятельного решения. Составитель: Кулева О.И., преподаватель математики Выксунского филиала НИТУ «МИСиС» Рецензент: Конухина Г.М, преподаватель математики Выксунского филиала НИТУ «МИСиС» СОДЕРЖАНИЕ стр Раздел 1 Элементы линейной алгебры Матрицы. Действия над матрицами. Умножение матриц.5Определители. Вычисление определителей второго и третьего порядка.12Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса19Раздел 2 Элементы аналитической геометрии Координаты точек на плоскости и в пространстве33Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.38Линии и их уравнения на плоскости. Уравнение прямой на плоскости.46Кривые второго порядка54Раздел 3 Дифференциальное исчисление Правила дифференцирования Производная сложной функции. Производная функции в точке55Экстремум функции Наибольшее и наименьшее значения функции76Дифференциал функции85Раздел 4 Интегральное исчисление Неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенных интегралов88Определенный интеграл. Формула Ньютона ЁC Лейбница. Свойства определенного интеграла99Геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла.105Раздел 5 Основы теории вероятностей и математической статистики Элементы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Математическое ожидание дискретной случайной величины.111Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Объем выборки119Раздел 6 Основы теории комплексных чисел Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Решение квадратных уравнений125Сопряженные комплексные числа. Модуль комплексного числа131Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.135Раздел 7 Пределы и последовательности Способы задания числовых последовательностей Предел функции в точке.142Раскрытие неопределенности вида "ноль деленное на ноль" Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность".147Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.54МОИМ ДОРОГИМ СТУДЕНТАМ Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Дай мне действовать самому, И я научусь Конфуций Нагромождение страшных формул, пособия по математике, которые откроешь и тут же закроешь, мучительные поиски решения казалось бы совсем простой задачиЎK. Подобная ситуация не редкость, особенно когда учебник по математике последний раз открывался в далеком 7-ом классе. А между тем учебные планы многих специальностей предусматривают изучение всеми любимой математики. И в этой ситуации нередко ощущаешь себя полным «чайником» перед нагромождением ужасной математической абракадабры. Причем, похожая ситуация может сложиться при изучении любого предмета, особенно из цикла естественных наук. Что делать? Впереди предстоит Интернет - экзамен, а там уже придется решать определители, пределы и производные САМОСТОЯТЕЛЬНО. На зачетах, экзаменах по точным и естественным наукам ОЧЕНЬ ВАЖНО ХОТЬ ЧТО-ТО ПОНИМАТЬ. Запомните, ХОТЬ ЧТО-ТО. Полное отсутствие мыслительных процессов сразу вызывает недоверие у преподавателя, мне известны случаи, когда студентов «заворачивали» по 5-6 раз. Помнится, один молодой человек сдавал контрольную работу 4 раза, и после каждой пересдачи обращался ко мне за бесплатной гарантийной консультацией. В конце концов, я заметила, что в ответе он вместо буквы «пи» писал букву «пэ», за что и последовали жесткие санкции со стороны преподавателя. Студент ДАЖЕ НЕ ХОТЕЛ ВНИКАТЬ в задание, которое он небрежно переписал Можно быть полным чайником в матанализе, но крайне желательно знать, что производная константы равна нулю. Если Вы ответите какую-нибудь глупость на элементарный вопрос, то велика вероятность того, что на этом учеба для Вас закончится. Преподаватели гораздо благосклоннее относятся к тому студенту, который ХОТЯ БЫ ПЫТАЕТСЯ разобраться в предмете, к тому, кто, пусть и ошибочно, но пробует что-либо решить, объяснить или доказать. И это утверждение справедливо для всех дисциплин. Поэтому следует решительно отмести позицию «я ничего не знаю, я ничего не понимаю». Второй важный совет ЁC ПОСЕЩАТЬ ЛЕКЦИИ, даже если их немного. Кроме того, в курсе высшей математики некоторые вещи самостоятельно освоить весьма трудно, нужно именно «живое» объяснение. Тем не менее, в определенных типах задач и примеров вполне можно разобраться самостоятельно, и, цель данного пособия ЁC научить Вас решать типовые примеры и задачи, которые практически всегда встречаются на экзаменах. Дело в том, что для ряда заданий существуют «жёсткие» алгоритмы объяснения, где от правильного решения Вам «никуда не деться». И здесь я готова Вам помочь, при условии, если Вы четко для себя уясните три вещи: 1. Знания по математике прямо пропорциональны количеству решенных задач. 2. Всю работу выполнять самостоятельно и вовремя, чтобы избежать пресловутого «снежного кома» 3. Вникать и неустанно делать попытку понимать. Начнем разгребать математические абракадабры РАЗДЕЛ 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ТЕМА 1 МАТРИЦЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ КОНСПЕКТ 1 1.1 МАТРИЦА Матрица ЁC это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ ЁC это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться. Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами Пример: рассмотрим матрицу «два на три»: Данная матрица состоит из шести элементов: Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя! Рассматриваемая матрица имеет две строки: и три столбца: СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом ЁC количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три». Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: ЁC матрица «три на три». 1.2 ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу). Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит. Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль ЁC он и в Африке ноль. Обратный пример: . Выглядит безобразно. Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому-что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов ЁC тем больше путаницы и ошибок. Действие второе. Умножение матрицы на число. Пример 1 Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае ЁC на тройку. Действие третье. Сумма (разность) матриц. НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ. Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой! Пример 2 Сложить матрицы и Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы: Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов. Пример 3 Найти разность матриц , А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу : Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание ЁC это частный случай сложения. 1.3 УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры. Какие матрицы можно умножать? Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу необходимо, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы . Пример 4 Можно ли умножить матрицу на матрицу ? , значит, умножать данные матрицы можно. А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно! , следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла Как умножить матрицы? Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей. Начнем с самого простого: Пример 5 Умножить матрицу на матрицу Я буду сразу приводить формулу для каждого случая: ЁC попытайтесь сразу уловить закономерность. Пример 6 Умножить матрицу на матрицу Формула: В результате получена так называемая нулевая матрица. Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ). Обратите внимание, что ! Это почти всегда так! Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя! ПРАКТИКУМ 1 ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Действия над матрицами Даны матрицы и Вычислить Решение: Для нахождения матрицы необходимо каждый элемент матрицы B умножить на 2. Получим Каждый элемент разности матриц и равен разности соответствующих элементов матриц. Значит, ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Действия над матрицами Даны матрицы и тогда ЎK Решение: Напоминаем, что для нахождения матрицы необходимо каждый элемент матрицы A умножить на 3. Получим Каждый элемент разности матриц и равен разности соответствующих элементов этих матриц. Значит, ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Умножение матриц Даны матрицы и . Тогда матрица равна ЎK Решение: Напоминаем, что если то элемент матрицы равен сумме произведений элементов iЃ|ой строки матрицы A и соответствующих элементов jЃ|го столбца матрицы В. Тогда ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Умножение матриц Даны матрицы и . Тогда матрица равна ЎK Решение: Напоминаем, что если , то элемент матрицы равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы В. Тогда ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Умножение матриц Даны матрицы и . Тогда матрица равна ЎK Решение: Напоминаем, что если , то элемент матрицы равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы В. Тогда САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1 ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Действия над матрицами Даны матрицы и тогда ЎK ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Действия над матрицами Даны матрицы и тогда ЎK ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Действия над матрицами Даны матрицы и тогда ЎK ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Действия над матрицами Даны матрицы и тогда ЎK Варианты ответов: 1. 2. 3. 4. ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Умножение матриц Даны матрицы и . Тогда матрица равна ЎK ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Умножение матриц Даны матрицы и . Тогда матрица равна ЎK ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Умножение матриц Даны матрицы и . Тогда матрица равна ЎK ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Умножение матриц Даны матрицы и . Тогда матрица равна ЎK ТЕМА 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ КОНСПЕКТ 2 2.1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице ) называется число Пример1: Вычислим определитель матрицы Пример 2. Вычислить определители второго порядка: µ §2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7 µ §= µ § 2.2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Пусть дана квадратная матрица третьего порядка: А = µ § Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называют число µ § µ § det A =µ § = Пример 3 Первый способ решения: Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок». Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии: Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс». Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус: Пример 3 Второй способ решения: Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше. Пример 4 Вычислить определитель третьего порядка: µ § Пример 5 Вычислить определитель третьего порядка µ § ПРАКТИКУМ 2 ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка , то ЎK Решение: Так как определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу: то По условию , тогда ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка , то ЎK Решение: Напоминаем, что определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу: В нашем случае имеем По условию , тогда ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка , то ЎK Решение: Так как определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу: то По условию , тогда ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка , то ЎK Решение: Напоминаем, что определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу: В нашем случае имеем По условию , тогда ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках. Тогда определитель равен ЎK Решение: Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, из которых три берутся со знаком «+» и три ЁC со знаком «Ѓ|». Правило вычисления слагаемых со знаком «+» схематически указано на рис. 1. Одно из слагаемых равно произведению элементов определителя, лежащих на главной диагонали. Каждое из двух других находится как произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла определителя. Слагаемые со знаком «Ѓ|» получаются таким же образом, но относительно второй диагонали (рис. 2). Тогда ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках. Тогда определитель равен ЎK Решение: Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, из которых три берутся со знаком «+» и три ЁC со знаком «Ѓ|». Правило вычисления слагаемых со знаком «+» схематически указано на рис. 1. Одно из слагаемых равно произведению элементов определителя, лежащих на главной диагонали. Каждое из двух других находится как произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла определителя. Слагаемые со знаком «Ѓ|» получаются таким же образом, но относительно второй диагонали (рис. 2). Тогда САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2 ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка , то ЎK ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка , то ЎK ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка , то ЎK ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках. Тогда определитель равен ЎK ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках. Тогда определитель равен ЎK ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках. Тогда определитель равен ЎK ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках. Тогда определитель равен ЎK ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Определители третьего порядка Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя «правило треугольников», которое схематически указано на рисунках. Тогда определитель равен ЎK ТЕМА 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПРАВИЛА КРАМЕРА. МЕТОД ГАУССА КОНСПЕКТ 3 3.1 ПРАВИЛО КРАМЕРА Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? ЁC Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения! Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание ЁC решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая ЁC системы трех уравнений с тремя неизвестными, которые ждут вас в электротехнике на 2 курсе! Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера! Теорема Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов. µ § µ § ЎK µ §µ § Рассмотрим систему уравнений На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы. Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя: и На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой . Корни уравнения находим по формулам: , Пример 1 Решить систему уравнений: µ § Решение Составим и вычислим определитель µ §: µ § - система имеет одно решение, можно применить теорему Крамера 2) Составим и вычислим определитель µ §: µ § Составим и вычислим определитель µ §: µ § Найдем значения x и y по формулам Крамера µ § µ § Ответ: (3; -1) Пример 2 Решить систему линейных уравнений Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая ЁC довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему мы взяли из эконометрической задачи. Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби. Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера. , значит, система имеет единственное решение. ; ; Ответ: , 3.2 МЕТОД ГАУССА Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА. Необходимо уметь складывать и умножать! Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного ЁC всё дело в методике, постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода. Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может: 1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной). Вернемся к простейшей системе и решим ее методом Гаусса. На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы: . По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла ЁC это просто отчеркивание для удобства оформления. Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы ЁC это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы ЁC это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей. После того, как расширенная матрица система записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями. Существуют следующие элементарные преобразования: 1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки: 2) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на ЁC3, а вторую строку ЁC умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы. 3) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на ЁC2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на ЁC2: . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на ЁC2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ ЁC не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ. На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче: Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на ЁC2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой: «Переписываю матрицу и переписываю первую строку: » «Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на ЁC2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (ЁC2) = 0. Записываю результат во вторую строку: » «Теперь второй столбец. Вверху ЁC1 умножаю на ЁC2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: » «И третий столбец. Вверху ЁC5 умножаю на ЁC2: . Ко второй строке прибавляю первую: ЁC7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: » Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем. Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений ! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя! Вернемся к нашей системе . Она уже почти решена. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на ЁC2. Кстати, почему первую строку умножаем именно на ЁC2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке. (2) Делим вторую строку на 3. Цель элементарных преобразований ЁC привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений: Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении ЁC снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса. В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: . Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»: Ответ: Пример 1 Решить методом Гаусса систему уравнений: Запишем расширенную матрицу системы: Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения: И повторюсь, наша цель ЁC с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия? Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и ЁC1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец ЁC готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки: Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче. Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах: Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, ЁC1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на ЁC2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на ЁC2: (ЁC2, ЁC4, 2, ЁC18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на ЁC2: Результат записываем во вторую строку: Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, ЁC5, ЁC1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на ЁC3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на ЁC3: (ЁC3, ЁC6, 3, ЁC27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на ЁC3: Результат записываем в третью строку: На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг: Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку ЁC ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО: Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»: В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на ЁC5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на ЁC2, ведь чем меньше числа, тем проще решение: На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь: Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на ЁC2: Попробуйте разобрать это действие самостоятельно ЁC мысленно умножьте вторую строку на ЁC2 и проведите сложение. Последнее выполненное действие ЁC причёска результата, делим третью строку на 3. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений: Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх. В третьем уравнении у нас уже готовый результат: Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом: И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым: Ответ: ПРАКТИКУМ 3 ЗАДАНИЕ N 1 Систему решают по правилу Крамера. Установите соответствие между названиями величин и их значениями. 1) 2) 3) x 4) y Решение: Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера находится по формулам и , где . Здесь ЁC главный определитель системы, в котором первый столбец состоит из коэффициентов при x, а второй столбец ЁC из коэффициентов при y. В нашем случае Если , то правило Крамера для решения системы уравнений не применяют. ЁC это определитель, который получается из главного определителя системы путем замены столбца, состоящего из коэффициентов при x на столбец, состоящий из соответствующих свободных членов. Имеем , тогда Аналогично ЁC это определитель, который получается из главного определителя системы путем замены столбца, состоящего из коэффициентов при y, на столбец, состоящий из соответствующих свободных членов. Получим , тогда ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Правило Крамера Систему решают по правилу Крамера. Установите соответствие между названиями величин и их значениями. 1) 2) 3) 4) y Решение: Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера находится по формулам и , где . Здесь ЁC главный определитель системы, в котором первый столбец состоит из коэффициентов при x, а второй столбец ЁC из коэффициентов при y. В нашем случае Если , то правило Крамера для решения системы уравнений не применяют. ЁC это определитель, который получается из главного определителя системы путем замены столбца, состоящего из коэффициентов при x на столбец, состоящий из соответствующих свободных членов. Имеем Аналогично ЁC это определитель, который получается из главного определителя системы путем замены столбца, состоящего из коэффициентов при y, на столбец, состоящий из соответствующих свободных членов. Получим , тогда ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений имеет решение ЎK Решение: Из третьего уравнения системы найдем Из второго уравнения легко получить, что Зная значения y и z, из первого уравнения системы получим Решение данной системы: ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений имеет решение ЎK Решение: Из третьего уравнения системы найдем, что Из второго уравнения системы получим Зная значения y и z, из первого уравнения системы найдем Решение данной системы: ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений имеет решение ЎK Решение: Найдем сумму первого и второго уравнений системы, получим , тогда Найдем y из первого или второго уравнений системы, получим Из третьего уравнения имеем Решение данной системы: ЗАДАНИЕ 6 Тема: Системы линейных уравнений Решить систему по формулам Крамера. Решение: Решим систему по формулам Крамера. , значит, система имеет единственное решение. Ответ: . ЗАДАНИЕ 7 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на ЁC1. То есть, мысленно умножили вторую строку на ЁC1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась. Теперь слева вверху ЁC1, что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на ЁC1 (сменить у неё знак). Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее: (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. (3) Первую строку умножили на ЁC1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица. (4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2. (5) Третью строку разделили на 3. Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже ЁC об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований. Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх: Да тут подарок получился: Ответ: . САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 3 ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Правило Крамера Систему решают по правилу Крамера. Вычислите: 1) 2) 3) 4) x ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Правило Крамера Систему решают по правилу Крамера. Вычислите: 1) 2) 3) x 4) y ЗАДАНИЕ N 3 Правило Крамера Систему решают по правилу Крамера. Установите соответствие между названиями величин и их значениями. 1) 2) 3) x 4) y 12345- 1414- 2 21 ЗАДАНИЕ N 4 Правило Крамера Систему решают по правилу Крамера. Установите соответствие между названиями величин и их значениями. 1) 2) 3) 4) x 12345- 12- 2 41 ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений имеет решение ЎK ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений имеет решение ЎK ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений имеет решение ЎK ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений имеет решение ЎK ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений имеет решение ЎK ЗАДАНИЕ N 10 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса |