Искусство
Языки
Языкознание
Вычислительная техника
Информатика
Финансы
Экономика
Биология
Сельское хозяйство
Психология
Ветеринария
Медицина
Юриспруденция
Право
Физика
История
Экология
Промышленность
Энергетика
Этика
Связь
Автоматика
Математика
Электротехника
Философия
Религия
Логика
Химия
Социология
Политология
Геология
Вектором геометрическим вектором
 Скачать 0.67 Mb.
|
|
СЕМИНАР 9 Операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Вводная информация I. Геометрический вектор. Определение. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если  - начало вектора, а  - его конец, то вектор обозначается символом  или  . Вектор  ( ) называется противоположным вектору .Длиной вектора или его модулем называется длина отрезка и обозначается  . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается  . Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом этого вектора и обозначается  .Векторы и  называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.Для коллинеарных векторов принято обозначение  . Два вектора называются равными ( ), если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.II. Операции над векторами. На множестве векторов вводится бинарная операция, которая называется сложением векторов. Эту операцию можно определить либо правилом параллелограмма (если векторы и  , являются сторонами параллелограмма, то их суммой будет вектор  , где  - четвертая вершина параллелограмма), либо правилом треугольника (если векторы и  являются сторонами треугольника, то их суммой называют вектор ).Легко убедиться в следующих свойствах этой бинарной операции на множестве векторов: 1)  ;2)  ;3)  ;4)  .Следовательно, относительно сложения множество векторов образует абелеву группу. Произведением вектора на число  называется вектор  , который имеет длину  и направление вектора , если  ; направление противоположного вектора к , если  . Отметим, что  .Произведение вектора на число обладает свойствами: 1)  ;2)  ;3)  .Множество геометрических векторов  с введенными на нем операциями называется векторным пространством.III. Координаты вектора. Рассмотрим пространство  с введенной на нем декартовой системой координат. Пусть  и  - три единичных вектора, исходящих из начала координат в направлениях соответственно декартовых осей  и  . Эти векторы называются ортами координатных осей. Пусть вектор имеет начало также в точке  (начале координат). Спроектируем конец вектора на координатные оси. Полученные проекции можно записать в виде  и  , где  и  - углы, которые образует вектор соответственно с координатными осями и . Числа  и  называются направляющими косинусами вектора . Вектор и его проекции на координатные оси удовлетворяют равенству .Тройка векторов  называется базисом векторного пространства , а написанное выше равенство – разложением вектора по базису . При этом числа  носят название координат вектора относительно базиса . Поскольку координаты вектора относительно данного базиса являются проекциями этого вектора на координатные оси, длина вектора и его координаты связаны формулой .Подставляя в эту формулу координаты вектора, выраженные через направляющие косинусы, легко получить равенство  ,которому удовлетворяют направляющие косинусы любого вектора. Заметим, что направляющие косинусы являются координатами орта вектора .Поскольку координаты вектора полностью его определяют, можно ввести обозначение  и заменить введенные операции над векторами операциями над их координатами. Так сложение векторов  можно заменить сложением их координат:  , т.е.  ,а умножение вектора на число - умножением координат на это число:  или  .Равенство векторов на координатном языке предполагает равенство их координат  , а коллинеарность - пропорциональность их координат  .Пусть имеются две точки  и  . Тогда вектор можно записать в виде  или  . В частности, для радиус-вектора точки  имеем формулы  или  .IV. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов и называется число, равное  , где  - угол между векторами. Это произведение обозначают разными способами .Отметим свойства введенного скалярного произведения. 1)  (симметричность);2)  (линейность);3)  , причем  тогда и только тогда, когда  .Векторное пространство с таким скалярным произведением называется евклидовым пространством. В этом пространстве можно ввести норму (длину) вектора правилом  . Для евклидового пространства справедливы следующие теоремы.Для любых двух векторов и евклидового пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского .Для любых двух векторов и евклидового пространства с нормой вектора справедливо неравенство треугольника .Неравенство Коши-Буняковского позволяет ввести понятие угла между векторами в евклидовом пространстве, для которого  .Два вектора и называются ортогональными, если  . В евклидовом пространстве угол между такими векторами равен  . Попарно ортогональны орты координатных осей . Поскольку длины этих векторов считаются равными единице (например,  ), базис, состоящий из подобных векторов, называется ортонормированным базисом. Учитывая единичную нормировку таких базисных векторов и их попарную ортогональность, легко показать, что и  .Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из точки в точку под действием постоянной силы  , образующей угол с вектором  .Работа этой силы при перемещении точки на расстояние  равна произведению проекции этой силы на направление перемещения на величину перемещения:  . Таким образом, скалярное произведение векторов и равно работе силы при перемещении точки на вектор , т.е. .Эта формула отражает физическое приложение скалярного произведения. V. Векторное произведение векторов.Рассмотрим два вектора и . Векторным произведением этих векторов называется вектор  ,
Отметим основные свойства векторного произведения. 1.  (антисимметричность).2.  (линейность).К геометрическим свойствам векторного произведения относят определение коллинеарности векторов и нахождение площади параллелограмма (треугольника). 1. Если векторное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы коллинеарны (и наоборот).2. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна длине их векторного произведения:  , а площадь соответствующего треугольника - половине его длины:  .В качестве физических приложений можно привести: 1) момент силы относительно точки  ;2) момент импульса относительно точки  ;3) линейная скорость вращения  .Используя свойство линейности векторного произведения и учитывая, что  , несложно получить формулу векторного произведения через координаты векторов .VI. Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением векторов называют произведение вида  ,т.е. смешанное произведение векторов является числом (скаляром). Отметим основные свойства смешанного произведения векторов. 1. Смешанное произведение векторов не меняется при их циклической перестановке  .2. Смешанное произведение векторов не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения  .Последнее свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде  (без знаков векторного и скалярного произведений).3. Смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух векторов, входящих в смешанное произведение, например,  .Используя определение смешанного произведения векторов, не составляет труда получить формулу  ,позволяющую вычислить это произведение через координаты векторов. Перечислим основные геометрические приложения смешанного произведение векторов.
Если  , то векторы  и  образуют правую тройку (буравчик двигается в направлении вектора , если его ручка поворачивается от вектора к вектору ). Если же  , то векторы и образуют левую тройку векторов.
Ненулевые векторы и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:=0.
Объем параллелепипеда, построенного на векторах и , равен модулю их смешанного произведения, т.е.  .
Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах и , равен  .VII. Символ Кронекера и символ Леви-Чивита. При вычислении различных произведений векторов удобно использовать символы, сокращающие объем вычислений. К таким символам относятся символ Кронекера и символ Леви-Чивита. Символ Кронекера обозначается   и определяется следующим образом Так если ввести новые обозначения для базисных векторов  , то условие ортонормированности базиса запишется в виде .Если к этому переобозначить компоненты вектора  , то разложение вектора по базису примет вид .Можно и эту запись упростить, если договорится, что по повторяющимся индексам подразумевается суммирование (если это не противоречит сути формулы)  .В новых обозначениях скалярное произведение векторов запишется в виде  .Заметим, что в силу своего определения символ Кронекера «снимает» сумму, например,  .Символ Леви-Чивита имеет три индекса и обозначается через  , при этом полагается, по определению, что  . Этот символ является полностью антисимметричным, т.е. при перестановке местами любых двух индексов он меняет знак, например,  . Используя это свойство, можно найти значения этого символа при любых индексах, не равных друг другу ( ). Условие антисимметричности символа Леви-Чивита также приводит к результату: если какие-либо два индекса равны у этого символа, то он равен нулю, например,  .С помощью символа Леви-Чивита  -ая координата векторного произведения векторов и представима в виде ,где, как говорилось выше, по индексам  и  берется двойная сумма. Например,   , т.е.  .Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле  .Заметим, что повторяющиеся индексы, по которым проводится суммирование, называются связанными индексами, а индексы, по которым не проводится суммирование, - свободными индексами. В начале расчета и в его конце свободные индексы должны совпадать. При вычислениях полезны формулы  , .Если встречается двойная сумма  , где объект  симметричный по индексам  , а объект  антисимметричный  , то указанная выше сумма равна нулю. Рассмотрим пример расчета с помощью введенных символов.Пример. Показать, что  .  .Замечание. Определитель третьего порядка также можно записать через символ Леви-Чивита  .ЗАДАЧИ 1. Задачи удовлетворительного уровня сложности. 1. По данным векторам  и  построить векторы:9.1  . 9.2  . 9.3  .2. Решить задачи. 9.4. При каких значениях  векторы  и   имеют одинаковое направление?9.5. Найти  , если  .9.6. Даны две точки  и  . Найти координаты вектора .9.7. Даны три последовательные вершины параллелограмма:  ,  ,  . Найти его четвертую вершину.9.8. Найти координаты вектора , если известно, что он направлен в противоположную сторону к вектору  , и его модуль равен 5.9.9. Вектор составляет с осями  и  углы  и  . Найти его координаты, если  .9.10. Разложить вектор  по векторам  и  .9.11. Дана сила  . Найти величину и направление этой силы.9.12. Векторы и образуют угол  . Учитывая, что  и  , вычислить  .9.13. Найти модуль вектора  , если  ,  , угол между векторами и равен  .9.14. Могут ли векторы  ,  быть ребрами куба? В случае положительного ответа найти третье ребро куба.9.15. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах  и  .9.16. Даны три вершины треугольника ,  и  . Найти: а) внутренний угол при вершине  ; б)  .9.17. Единичные векторы  ,  и  удовлетворяют условию  . Найти  .9.18. Какую работу производит сила  , когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки в точку  .9.19. Пусть , и  - ненулевые векторы. При каком их взаимном расположении справедливо равенство  .9.20. Даны два вектора и , для которых  . Найти:а)  ; б)  , если угол между векторами равен  .9.21. Найти координаты вектора  , если  ,  .11.22. Найти площадь треугольника с вершинами  , и  .9.23. Дана сила  и точка ее приложения . Найти момент силы относительно точки  .9.24. Три силы  ,  и  приложены к точке  . Найти величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки  .9.25. Три ненулевых вектора , и связаны соотношениями  ,  ,  . Найти длины этих векторов и углы между ними.3. Проверить компланарны ли данные векторы. 9.26.  .  ,  . 9.27  ,  ,  .9.28. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах  ,  ,  , опущенную на грань, построенную на векторах и .9.29. Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах  ,  ,  .9.30. Вычислить произведение  .4. Какую тройку образуют векторы? 9.31.  ,  ,  . 9.32.  ,  ,  .2. Задачи повышенного уровня сложности. 9.33. Точка  является центром тяжести (точка пересечения медиан) треугольника  . Доказать, что  .9.34. Найти вектор  , зная, что  ,  ,  ,  , проекция вектора  на вектор  равна 1.9.35. Зная, что  , найти соотношение между векторами и , не содержащее коэффициентов  и  .9.36. Показать, что  . Каков геометрический смысл этого равенства?9.37. Векторы , и удовлетворяют условию  . Доказать, что эти три вектора компланарны.9.38. Найти площадь треугольника с вершинами в точках  ,  ,  .9.39. Найти объем пирамиды с вершинами в точках , , ,  .9.40. Вычислить произведение  .
|
, где