Задачи_Чертов_3. Закон Кулона

Скачать 0.63 Mb. Название Закон Кулона Анкор Задачи_Чертов_3.doc Дата 28.04.2017 Размер 0.63 Mb. Формат файла Имя файла Задачи_Чертов_3.doc Тип Закон #4588 страница 1 из 4

1   2   3   4 Электростатика. Постоянный электрический ток. Основные формулы Закон Кулона где F -сила взаимодействия точечных зарядов Q1 и Q2 ; r— расстояние между зарядами;  - диэлектри ческая проницаемость; 0 -электрическая постоянная. Напряженность электрического поля и потенциал где П — потенциальная энергия точечного положите льного заряда Q, находящегося в данной точке поля при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю). Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей), где - напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i-м зарядом. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, где r — расстояние от заряда Q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал. Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы: где Q – заряд сферы. Линейная плотность заряда Поверхностная плотность заряда Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами. Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью т, то на линии выделяется малый участок длиной dl c зарядом dQ = rdl.Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы где r — радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке , в которой вычисляется напряженность. Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряженность Е и потенциал поля, создаваемого распределенным зарядом: Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии (см. примеры 5 и 8). Напряженность поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром, где r — расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой определяется. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, Связь потенциала с напряженностью: в общем случае; в случае однородного поля; в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией. Электрический момент диполя где Q — заряд; 1 — плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоя нию между зарядами). Работа сил поля по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом 1 в точку с потенциалом 2 Электроемкость где  — потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потен циал проводника принимается равным нулю); U — разность потенциа лов пластин конденсатора. Электроемкость плоского конденсатора где S — площадь пластины (одной) конденсатора; d — расстояние между пластинами. Электроемкость батареи конденсаторов: при последовательном соединении; при параллельном соединении, где N — число конденсаторов в батарее. Энергия заряженного конденсатора: Сила постоянного тока где Q - заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t. Плотность тока где S — площадь поперечного сечения проводника. Связь плотности тока со средней скоростью   направленного движения заряженных частиц. где Q — заряд частицы; n — концентрация заряженных частиц. Закон Ома: для участка цепи, не содержащего ЭДС , где 12=U-разность потенциалов (напряжение) на ко нцах участка цепи; R — сопротивление участка; для участка цепи, содержащего ЭДС, где — ЭДС источника тока; R — полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений) ; лля замкнутой (полной) цепи, где R—внешнее сопроти- вление цепи; Ri — внутреннее сопротивление цепи. Законы Кирхгофа: -первый закон; -второй закон, где Ii — алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; Ii Ri — алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участ ков;  i — алгебраическая сумма ЭДС. Сопротивление R и проводимость G проводника где p — удельное сопротивление;  — удельная проводимость; l - длина проводника; S — площадь поперечного сечения проводника. Сопротивление системы проводников: при последовательном соединении при параллельном соединении, где Ri -сопротивление i-го проводника. Работа тока: Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две — для участка, не содержащего ЭДС. Мощность тока: Закон Джоуля—Ленца Закон Ома в дифференциальной форме \где  — удельная проводимость; — напряженность электрического поля; j — плотность тока. Связь удельной проводимости  с подвижностью b заряженных частиц (ионов) где Q — заряд иона; п — концентрация ионов; b+ и b- — подвижности положительных и отрицательных ионов. Примеры решения задач Пример 1. Два точечных заряда 9Q и —Q закреплены на расстоянии l = 50 см друг от друга. Третий заряд Q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q1 при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заря да Q1 равновесие будет устойчивым? Решение. Заряд Q1 находится в равновесии в том случае, если геоме трическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это значит, что на заряд Q1 должны действовать две силы, равные по модулю и противо положные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков /, //, III (рис. 10) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд Q1 — положительный Рис. 10 На участке / (рис. 10, а) на заряд Q1 будут действовать две противополо- жно направленные силы: F1 и F2. Сила F1 , действующая со стороны за- ряда 9Q, в любой точке этого участка больше силы F2, действующей со стороны заряда — Q, так как больший заряд 9Q находится всегда ближе к заряду Q1 ,чем меньший (по модулю) заряд — Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно. На участке // (рис. 10, б) обе силы F1и F2 направлены в одну сторону — к заряду — Q . Следовательно, и на втором участке равновесие невоз- можно. На участке /// (рис. 10, в) силы F1 и F2 направлены в противополож- ные стороны, так же как и на участке /, но в отличие от него меньший заряд — Q всегда находится ближе к заряду Q1 , чем больший заряд 9Q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы F1 и F2 бу дут одинаковы по модулю, т. е. Пусть x и l + х - расстояние от меньшего и большего зарядов до заря да Q1 . Выражая в равенстве (1) F1 и F2 в соответствии с законом Кулона, получим или откуда Корень х2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F1 и F2 хотя и равны по модулю, но сонаправлены). Определим знак заряда Q1, при котором равновесие будет устойчвым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от поло- жения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение рав- новесия. Рассмотрим смещение заряда Q1 в двух случаях: когда заряд по- ложителен и отрицателен. Если заряд Q1 положителен, то при смещении его влево обе силы F1 и F2 возрастают. Так как сила F1 возрастает медленнее, то результирую- щая сила, действующая на заряд Q1 , будет направлена в ту же сторону, в которую смещен этот заряд, т. е. влево. Под действием этой силы заряд Q1 будет удаляться от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда Q1 вправо. Сила F2 убывает быстрее, чем F1 геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е.удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым. Если заряд Q1 отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличе- ние сил F1 и F2, но сила F1 возрастает медленнее, чем F2, т. е. |F2| > |F1| . Результирующая сила будет направлена вправо. Под ее действием заряд Q1 возвращается к положению равновесия. При смещении Q1 вправо сила F2 убывает быстрее, чем F1 , т. е. | F1 | > | F2 |, ре- зультирующая сила направлена влево и заряд Q1 опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрица-тельном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда Q1 несущественна. Пример 2. Три точечных заряда Q1 = Q2= Q3 = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии ? Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например Q1 , находился в равновесии. Заряд Q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис. II): где F2 , F3 , F4 — силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q1 заряды Q2 , Q3 , Q4 ; F — равнодействующая сил F2 и F3 . Рис. 11 Так как силы F и F4 направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным: F-F4=0, откуда F4=F. Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что F3 = F2, получим Применив закон Кулона и имея в виду, что Q2 = Q3 = Q1 , найдем откуда Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что С учетом этого формула (2) примет вид: Произведем вычисления Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым Пример 3. На тонком стержне длиной l= 20 см находится равномер- но распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а= 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q1 = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F= 6 мкН. Определить линейную плотность  заряда на стержне. Решение. Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q1 зависит от линейной плотности т заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить т. При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому за кон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим из стержня (рис. 12) малый участок dr с зарядом dQ = dr. Этот заряд можнорассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона, Интегрируя это выражение в пределах от а до а + l , получаем Рис. 12 откуда Проверим, дает ли расчетная формула единицу линейной плотности электрического заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы: Найденная единица является единицей линейной плотности заряда. Произведем вычисления: Пример 4. Два точечных электрических заряда Q1 = 1 нКл и Q2 = -2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность Е и потенциал (  поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда Q1 на расстояние r1 = 9 см и от заряда Q2 на r2 = 7 см. Рис. 13 Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей , каж- дый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве дру -гих зарядов. Поэтому напряженность Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей Е1 и Е2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: Е = Е1 + Е2. Напряженности электрического поля, создаваемого в воздухе ( =1) зарядами Q1 и Q2 Вектор Е1 (рис. 13) направлен по силовой линии от заряда Q1 так как этот заряд положителен; вектор Е2 направлен также по силовой линии, но к заряду Q2 ,так как этот заряд отрицателен. Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов: где  — угол между векторами Е1 и Е2 , который может быть найден из треугольника со сторонами r1 , r2 и d: В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos вычислить отдельно: Подставляя выражение Е1 из (1) и Е2 из (2) в (3) и вынося общий множитель 1/(40) за знак корня, получаем В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал  результирующего поля, создаваемого двумя зарядами Q1 и Q2 , равен алгебраической сумме потенциалов; Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим Рис. 14 или Произведемвычисления: Пример 5 . По тонкому кольцу равномерно распределен заряд Q = 40 нКл с линейной плотностью  = = 50 нКл /м . Определить напряженность Е электрическо го поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей на оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса. Решение. Совместим координатную плоскость хОу с плоскостью кольца, а ось Oz — с осью кольца (рис. 14). На кольце выделим малый участок длиной d/. Так как заряд dQ = dl, находящийся на этом участке, можно считать точечным, то напряженность dЕ электрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть записана в виде где   1   2   3   4