Искусство
Языки
Языкознание
Вычислительная техника
Информатика
Финансы
Экономика
Биология
Сельское хозяйство
Психология
Ветеринария
Медицина
Юриспруденция
Право
Физика
История
Экология
Промышленность
Энергетика
Этика
Связь
Автоматика
Математика
Электротехника
Философия
Религия
Логика
Химия
Социология
Политология
Геология
СЕМИНАР 3. Бинарнаяоперация закон композиции
 Скачать 0.82 Mb.
|
|
СЕМИНАР 3 Числовые множества, группы и поля. Вводная информация Числовые множества Определение. Скажем, что на множестве определена бинарнаяоперация (закон композиции), если всяким двум элементам(различным или одинаковым) множества , взятым в определенном порядке, ставится в соответствие вполне определенный элемент этого же множества, т.е. бинарная операция – это отображение . Число – основное понятие математики, сложившееся в ходе ее длительного развития. Практическая деятельность человека с одной стороны, внутренняя потребность математики – с другой стороны определили формирование этого понятия. I. Множествонатуральныхчисел. Потребность счета привела к возникновению понятия натурального числа. На множестве натуральных чисел определены две бинарные операции: сложение( ) и умножение( или просто ). Обе эти операции коммутативны ( ) и ассоциативны ( , ). II. Множествоцелыхчисел. Проведение математических расчетов с натуральными числами потребовало расширения этого множества. К нему были добавлены новые элементы «0» и «-n», которые обладали свойствами: и . Ноль и элементы вида «-n» - отрицательные числа долгое время не считались числами, равноправными натуральным числам. Но математическая практика доказала необходимость их введения, что привело к формированию множества целых чисел , на котором введены те же две бинарные операции сложения и умножения. Сложение с отрицательным числом стали называть вычитанием. III. Множестворациональныхчисел. Понятие рационального числа основано на понятии простой (обыкновенной) дроби , где . На множестве простых дробей также введены две бинарные операции правилами: и . Рассмотрим две дроби и , для которых выполняется равенство . Дроби, которые удовлетворяют этому равенству, назовем эквивалентными дробями и будем писать . Введенное отношение будет отношением эквивалентности. Действительно, имеют место
Введенное отношение эквивалентности позволяет разбить множество обыкновенных дробей на взаимно непересекающиеся классы. Рациональнымчисломбудем называть класс всех эквивалентных дробей. При работе с рациональными числами можно взять любого представителя из класса, соответствующего данному рациональному числу (например, или , или и т. д.). При проведении вычислений с рациональными числами наиболее удобно брать дроби , где и взаимно простые числа. Такую запись рационального числа будем называть записью в виде несократимой дроби. IV. Действительныечисла. Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь вида , где из двух знаков « » берется какой-либо один: плюс – для положительных чисел (обычно не пишется), минус – для отрицательных чисел. Здесь - некоторое натуральное число или ноль, а - одна из цифр . Рациональные числа задаются десятичными дробями с повторяющимися цифрами или конечными десятичными дробями. Пример 1. а) - чистаяпериодическаядробь; б) - смешаннаяпериодическаядробь; в) (ноль в периоде обычно отбрасывают). Бесконечные десятичные дроби с неповторяющимися числами называются иррациональными числами. Пример 2. а) ; б) . На множестве действительных чисел также вводятся две бинарные операции: сложение и умножение. Очевидно, . На множестве действительных чисел также введено отношениепорядка. А) Два числа и называются равными, если они имеют одинаковые знаки и справедливы равенства . Б) Если и - положительные неравные числа, то или же при невыполнении этого неравенства существует такое натуральное число , что ( ) и . Будем считать, что , если или же . В) Если - положительное число, - отрицательное число, положим . С) Если и - отрицательные числа, будем считать, что при условии , и при условии . Целою частью числа называется наибольшее целое число, меньшее . Дробной частью числа называется разность . Теорема 1. Для любых двух вещественных чисел и найдется рациональное число такое, что . Теорема 2. Для любых двух вещественных чисел и найдется иррациональное число такое, что . Следовательно, между двумя любыми не равными друг другу действительными числами можно вставить бесконечное число как рациональных, так и иррациональных чисел. Множество является всюдуплотныммножеством. Пусть - непустое подмножество . Определение. Множество называется ограниченнымсверху (снизу), если существует число такое, что выполняется неравенство . Число называется верхнейгранью множества , а - его нижнейгранью. Определение. Число называется точной верхнейгранью ограниченного сверху множества , если: 1) ; 2) . Определение. Число называется точной нижнейгранью ограниченного снизу множества , если: 1) ; 2) . Точная верхняя грань обозначается , нижняя - . Определение. Элемент называется наибольшимилимаксимальным(наименьшимилиминимальным) элементом множества , если ( ). Эти числа соответственно обозначаются и . Согласно данным определениям точная верхняя грань множества – его наименьшая верхняя грань, точная нижняя грань множества – его наибольшая верхняя грань. Определение. Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Если множество не ограничено сверху (снизу), то пишут . Группы I. Определение группы. При определении бинарных операций на множествах произвольной природы удобно сохранить термины умножениеи произведениеи записывать бинарную операцию в виде или же (в некоторых случаях) сложениеисумма и использовать аддитивную запись: . Определение. Множество называется группой, если выполнены следующие условия:
;
Пример 3. Пусть . В качестве бинарной операции на множестве целых чисел рассмотрим обычное сложение. Эта операция удовлетворяет всем трем необходимым условиям группы:
Следовательно, множество целых чисел является группой с бинарной операцией – сложение. Определение. Два элемента и группы коммутируютдруг с другом, если . Определение. Если все элементы группы коммутируют друг с другом, то такая группа называетсякоммутативнойили абелевой. Если какие-либо элементы группы не коммутируют друг с другом, то такая группа называется неабелевой. Определение. Число элементов в группе называется порядкомэтой группы. Определение. Если число элементов в группе конечно, то такая группа называется конечнойгруппой. Если же группа содержит счетное число элементов, то ее называют бесконечнойдискретнойгруппой (например, ). Наряду с дискретными группами в современной физике часто рассматриваются непрерывныегруппы(топологическиегруппыили группыЛи). Определение. Если все элементы группы (включая единичный элемент) представимы в виде степени одного элемента, то группа называется циклическойи обозначается , где - порядок группы. Группа может быть реализована вращениями вокруг своего центра многоугольника в его плоскости, совмещающими многоугольник с самим с собой. Обозначим элемент группы (вращение на угол ) через . Закон композиции в группе введем правилом . Очевидно, что - единичный элемент группы, а элемент является обратным элементом к элементу . Любое рассматриваемое вращение многоугольника представимо в виде некоторой степени вращения на угол , где - число углов рассматриваемого многоугольника, т.е. . Определение. Симметрическойгруппойстепени называется группа перестановок множества из элементов. Под перестановкой же понимается взаимно однозначное отображение множества на себя, при этом элементы множества меняются местами (или именами). Поскольку для перестановки не важна природа элементов множества, а только их порядок (или их номера) перестановку можно задать таблицей. Например, перестановка, заданная таблицей , говорит нам, что первый элемент становится третьим, второй – четвертым, третий – вторым, а четвертый – первым. Закон композиции в симметрической группе задается следующим образом. Пусть заданы две перестановки и . Переставим столбцы таблицы, соответствующей второй перестановке, так, чтобы ее верхняя строчка совпала бы с нижней строчкой таблицы первой перестановки . Тогда . Заметим, что перестановка столбцов таблицы, не меняет саму перестановку. Пример 4. Пусть и . Тогда . II. Таблица умножения группы. Для задания той или иной группы достаточно построить ее таблицуумножения. Она похожа на привычную арифметическую таблицу умножения. Элементы группы располагаются в верхней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы, а внутри нее размещаются произведения элементов Пример 5. Рассмотрим симметрическую группу , элементами которой являются перестановки: - тождественная перестановка (единичный элемент группы), , , , , . Таблица умножения этой группы имеет вид . Отметим основные свойства таблицы умножения любой группы (для группы их легко увидеть в приведенном выше примере):
Определение. Пусть и . Порядкомэлемента называется наименьшее положительное число , удовлетворяющее условию . Очевидно, что для циклических групп порядок элемента равен порядку группы. Определение. Если - множество элементов, принадлежащих группе , таких, что все элементы группы могут быть выражены в виде произведений элементов из (и их обратных), то множество называется системойобразующихгруппы (сами же элементы множества называются образующимигруппы ). Поскольку каждый элемент циклической группы представляется степенью одного элемента этой группы, то эта группа имеет одну образующую. Симметрическая группа имеет две образующие, например, . Определение. Множество называется подгруппойгруппы , если
Проверка факта, что подмножество , является подгруппой группы , сводится к проверке трех условий:
Любая группа имеет две тривиальные подгруппы – единичный элемент и сама группа . Эти две подгруппы называются несобственнымиподгруппамигруппы , остальные ее подгруппы (если они существуют) называются собственнымиподгруппами. Пример 6. Множества и являются собственными подгруппами симметрической группы . III. Отображения групп. Теорема Кэли. Определение. Пусть мы имеем две группы и , а также отображение группы на группу . Если это отображение сохраняет групповую операцию – образпроизведениядвухэлементовравенпроизведениюихобразов, т. е. , то отображение называется гомоморфнымотображениемили гомоморфизмом. Пример 7. Рассмотрим две циклические группы и . Гомоморфизмом будет отображение , заданное правилом . Определение. Взаимно однозначное гомоморфное отображение одной группы на другую называется изоморфнымотображениемили изоморфизмом. Сами группы при этом называют изоморфными. Изоморфные группы имеют одинаковое число элементов и одинаковую групповую структуру. Пример 8. Группа вращений пятиугольника изоморфна группе , в которой закон композиции – сложение по модулю пять. Таблица умножения такой группы имеет вид . Изоморфизмом является отображение , заданное правилом . Симметрические группы играют особую роль в теории групп, о чем говорит теорема Кэли. ТеоремаКэли. Всякая группа порядка изоморфна некоторой подгруппе симметрической группе . Следовательно, задачу изучения структуры всех конечных групп можно перевести в плоскость изучения подгрупп симметрических групп. IV. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Рассмотрим группу порядка , которая имеет собственную подгруппу порядка . Пусть состоит из элементов . Так как , то в группе найдется элемент , не принадлежащий подгруппе . Образуем множество произведений элемента со всеми элементами подгруппы : . Все элементы множества различны и не принадлежат подгруппе . Если в группе найдется элемент , не принадлежащий множествам и , то образуем множество . Все элементы множества различны и не принадлежат множествам и . Повторяем эту процедуру до тех пор, пока на исчерпаем все элементы группы . Пусть последним мы образовали множество . Множества вида (включая саму подгруппу ) называют левымисмежнымиклассами подгруппы в группе . При этом справедливо равенство . Более точно левые смежные классы образуют разбиение группы . Следовательно, . Это равенство формулируется в виде теоремы. ТеоремаЛагранжа. Порядок подгруппы конечной группы есть делитель порядка группы. Пример 9. Рассмотрим симметрическую группу с ее отмеченной выше подгруппой . Образуем левый смежный класс . Классы и полностью исчерпывают группу. Следовательно, . Возможен другой вариант . Аналогичным образом можно построить правыесмежныеклассы . В общем случае . Если порядок группы – простое число, то она не имеет собственных подгрупп. Все группы такого порядка – циклические группы. V. Инвариантные подгруппы. Факторгруппа. Определение. Говорят, что элемент группы сопряженэлементу , если в группе можно найти элемент такой, что . Поскольку понятие сопряжения является отношением эквивалентности, группа разбивается на классы эквивалентности. Пример 10. Симметрическая группа разбивается на три класса эквивалентности . Пусть - подгруппа группы . Заметим, что для любого элемента группы множество вида также является группой, называемой сопряженнойподгруппой подгруппе в группе . Определение. Если для всех элементов выполняется равенство , то подгруппа называется инвариантнойподгруппой(самосопряженнойподгруппой или нормальнымделителем) группы . Для такой подгруппы , т.е. левые и правые смежные классы совпадают. Пример 11. Инвариантной подгруппой симметрической группы является подгруппа . Определение. Единичный элемент и вся группа называются тривиальнымиинвариантными подгруппами группы . Определение. Группа, которая не имеет инвариантных собственных подгрупп, называется простойгруппой. Определение. Группа называется полупростой, если ни одна из ее инвариантных подгрупп не является абелевой. Определение. Группа смежных классов инвариантной подгруппы называется факторгруппойи обозначается . Закон композиции в такой группе вводится правилом . Пример 12. Факторгруппа состоит из двух элементов с таблицей умножения . Можно задать гомоморфное отображение группы на факторгруппу правилом: каждому элементу ставится в соответствие смежный класс , его содержащий. Поля. Определение. Множество называется полем, если на нем определены две бинарные операции (сложение и умножение ) и выполняются следующие условия: 1. - абелева группа относительно сложения. Единичный элемент этой группы будем обозначать через «0», а элемент, обратный к элементу - через « ». 2. Множество - абелева группа относительно умножения. Единичный элемент этой группы будем обозначать через «1», а элемент, обратный к элементу - через « ». Заметим, что . 3. Операция умножения является дистрибутивнойотносительно операции сложения: для любых , и , принадлежащих . Приведем примеры полей. 1. Множество рациональных чисел . 2. Множество действительных чисел . 3. . Таблицу сложения по модулю 5 мы ввели ранее, дополним ее таблицей умножения по модулю 5. . Получим поле Галуа . В общем случае поле Галуа обозначают , где - простое число. ЗАДАЧИ 1. Задачи удовлетворительного уровня сложности. Записать обыкновенные дроби в виде десятичных дробей. 3.1. . 3.2. . 3.3. . Записать десятичные дроби в виде обыкновенных дробей. 3.4. . 3.5. . 3.6. . 3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . Сравнить указанные числа. 3.11. . 3.12. . 3.13. . 3.14. . 3.15. . Найти и , если они существуют. 3.16. . 3.17. . 3.18. . 3.19. . 3.20. . 3.21. . 3.22. Дана таблица умножения группы eabcabcebceaceabПоказать, что эта таблица – таблица умножения циклической группы . Найти собственные подгруппы этой группы. 3.23. Является ли циклической группой четверная группа Клейна , заданная таблицей умножения eabcaecbbceacbae Перечислить все подгруппы данной группы. Изоморфны ли группы и ? Построить левые смежные классы подгруппы в группе . Какие из этих классов являются группами? Является ли подгруппа инвариантной подгруппой? В случае положительного ответа построить факторгруппу , задав ее таблицей умножения, и найти ее порядок. Определить гомоморфное отображение группы на факторгруппу . 3.24. Рассмотрим подмножество множества рациональных чисел вида , где . Образует ли это подмножество подгруппу группы с групповой операцией – умножение? В случае положительного ответа найти смежные классы . Какие из этих смежных классов являются подгруппами группы ? 3.25. Построить таблицу умножения симметрической группы . Найти все сопряженные подгруппы подгруппе группы , образованной циклическими перестановками , и . Является ли подгруппа самосопряженной? 3.26. Докажите, что совокупность элементов , где - подгруппа группы и . 3.27. Построить таблицу умножения группы диэдра . Эту группу можно рассматривать как группу симметрии равностороннего треугольника относительно его поворотов на углы вокруг оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его центр, а также поворота треугольника на угол относительно одной из его высот. Найти подгруппы этой группы. Найти левые и правые смежные классы по этим подгруппам. Построить факторгруппу , доказав инвариантность , где - подгруппа третьего порядка. Изоморфна ли группа диэдра симметрической группе ? 3.28. Доказать, что отношение сопряжения элементов в группе является отношением эквивалентности. 3.29. Образует ли поле множество , если наряду со сложением по ввести на множестве операцию умножения по ? 3.30. Составить таблицы сложения и умножения поля Галуа . 2. Задачи повышенного уровня сложности. 3.31. Доказать, что любое рациональное число можно записать в виде десятичной периодической дроби. Доказать, что следующие числа иррациональны. 3.32. . 3.33. . 3.34. . 3.35. Доказать, что для любых вещественных чисел найдется рациональное число такое, что . 3.36. Доказать, что для любых вещественных чисел найдется иррациональное число такое, что . 3.37. Каков порядок подгрупп групп 7-го и 10-го порядков? Построить таблицу умножения группы седьмого порядка. 3.38. Построить таблицу умножения группы диэдра . Эту группу можно рассматривать как группу симметрии квадрата относительно его поворотов на углы вокруг оси, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через его центр, а также поворота квадрата на угол относительно оси, лежащей в плоскости квадрата, проходящей через его центр и параллельной стороне квадрата. Найти подгруппы этой группы. Построить факторгруппу , доказав предварительно инвариантность , где - подгруппа четвертого порядка. Построить гомоморфизм на . Какой подгруппе симметрической группы изоморфна группа диэдра ? 3.39. Построить таблицу умножения группы кватернионов , содержащей элементы . Учесть, что . Найти левые и правые смежные классы подгруппы в группе кватернионов. Является ли эта подгруппа инвариантной? В случае положительного ответа построить факторгруппу , задав ее таблицей умножения. Какие еще подгруппы имеет группа кватернионов? 3.40. Найти все собственные подгруппы группы кватернионов . Описать все сопряженные подгруппы подгруппе в группе . Доказать, что подгруппа является нормальным делителем и найти факторгруппу с ее таблицей умножения. |