механика 7. Лабораторная работа 7 маятник обербека. Принадлежности

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

МАЯТНИК ОБЕРБЕКА.

Принадлежности: лабораторная установка маятника Обербека, секундомер, грузы фиксированной массы, штан-

генциркуль.

Цель работы:изучение динамики вращательного движения, оцен­ ка влияния трения на точность результатов про­ ведённых измерений, проверка второго закона Ньютона для вращательного движения.

I. Теория маятника Обербека.

В работе изучается динамика вращательного движения. В част­ности, экспериментально проверяется уравнение моментов для враще­ния вокруг неподвижной оси

Je = М_внеш (1)

где J - момент инерции тела; e - угловое ускорение;

М_внеш - сумма проекций на ось вращения моментов внешних сил.

На рис.1. схематически показан прибор, с помощью которого удобно исследовать уравнение (1). Он называется маятником Обербе-

ка. Маятник состоит из четырёх стержней, укреплённых на втулке

под прямым углом друг к другу. Втулка и два шкива различных ради­усов (r₁ и r₂) насажены на общую ось. Ось закреплена в подшипни­ках, так что вся система может свободно вращаться вокруг горизон­тальной оси. Момент инерции прибора можно менять, передвигая зак­репленные на стержнях цилиндрические грузы известной массы. Один конец нити прикреплён к шкиву, а ко второму концу, переброшенному через блок, подвешена платформа известной массы.

Если, намотав нить на шкив, приподнять платформу с грузом Р на высоту h, а затем отпустить, позволив ей свободно падать, то на маховик начнёт действовать вращающий момент М.

М = T*d / 2 (2)

Рис.1.



где d - диаметр шкива, Т - натяжение нити.

Под действием этого постоянного момента маховик начинает вра­щаться с угловым ускорением e. Очевидно, что вращение маховика и поступательное движение платформы с грузом происходит за счёт потен-

циальной энергии нагруженной платформы. Если не учитывать потерю

энергии вследствие трения в подшипниках осей маховика и блока, то

можно считать, что потенциальная энергия W полностью переходит в

кинетическую энергию поступательного движения платформы с грузом Wк'

и кинетическую энергию вращения маховика Wк". В момент, когда

платформа опустится с высоты h

Wn = Wк' + Wк"
(3)

где J - момент инерции маховика,

m_г - масса платформы с грузом,

g - ускорение свободного падения,

V - скорость поступательного движения платформы ( скорость на поверхности шкива).

w - угловая скорость вращения маховика (шкива).

Формулу (3) можно преобразовать, пользуясь связью между уг­ловой и линейной скоростями:
(4)

Подставляя (4) в (3), находим:

(5)

откуда

(6

Движение платформы с грузом равноускоренное и, следователь­но,



где а - ускорение платформы с грузом .

Подставив последнее выражение в формулу (6), получаем окон­чательную расчётную формулу для определения момента инерции маят­ника:

(7)
Чтобы вывести формулу для вычисления момента силы М, запишем второй закон Ньютона для груза Р (платформа с грузом):

m_гa = Р - Т (8)

где m - масса платформы с грузом, a - её ускорение.

Из уравнений (2) и (8) получаем, что момент силы натяжения нити

М = Тr = m_г(g - a)r. (9)

Ускорение a связано с угловым ускорением e соотношением

e = a/r (10)

Кроме того на маятник действует момент сил трения в оси М_тр. С учётом этого уравнения (1) имеет вид

m_г(g - a)r - M_тр = Ja/r. (11)

Формула (11) дает связь между ускорением а, которое можно измерить опытным путем, и моментом инерции J. В уравнение (11)

входит ускорение a платформы. Это ускорение можно довольно просто

определить.

Действительно, измеряя время t, в течении которого платформа с грузом опускается на расстояние h, можно найти ускорение a:

a = 2h/t² (12)

Тогда

(13)

В формулу (13) входит неизвестная величина - момент силы трения М_тр. Хотя, интуитивно понятно, что момент силы трения мал,

тем не менее он не настолько мал, чтобы им в формуле (9) можно

было пренебречь. Если положить М_тр = 0, то можно убедиться, что

результаты опыта будут отличаться от зависимости (9). Можно по

порядку величины экспериментально определить М_тр и это нужно, ко­нечно, сделать в начале работы. Для этого, с помощью нескольких грузов увеличивая силы натяжения Т нити, найдите минимальное зна­чение m_ог, при которой маятник начнёт вращаться. Дальнейшие изме­рения нужно проводить с грузами массой m_г > 10m_ог. На первый взгляд относительную роль момента силы трения можно уменьшить, если взять грузы массой m_г >> m_ог, допустим, груз m = 10²m_ог. Од­нако это не так по двум причинам. Первая - увеличение массы груза приводит к увеличению силы давления N на ось, а значит и к росту момента силы трения

М_тр = f*N*r,

где f - коэффициент трения,

r - плечо силы трения.

Вторая причина состоит в том,что увеличение m уменьшает вре­мя падения t, а значит, ухудшает точность измерения ускорения a.

По найденным значениям моментов инерции J₁ и J₂ и моментов сил М₁ и М₂ можно, исходя из основного уравнения вращательного движения , найти соответствующее значение угловых ускорений e₁ и e₂.

С другой стороны угловые ускорения e₁ и e₂ можно найти и

другим путём, исходя из чисто кинематических соображений, а имен­но, из (10) и (12)

(14)

Найденные опытным путём значения моментов инерции маховика можно сравнивать с их значениями, вычисленные по общеизвестным

формулам.

Момент инерции маховика равен сумме моментов составных час­тей - крестовины, состоящей из четырех стержней, и насаженных на неё четырёх цилиндров:

J = J_крест + 4J_цил = 4J_cт + 4J_цил



где: b - расстояние от риски, нанесённой на стержне крестовины до

оси вращения,

Н - высота цилиндра,

r₁- внешний радиус цилиндра,

r₂- внутренний радиус цилиндра .

Поскольку вывод формулы (7) производился в предположении что потеря энергии на преодоление сил трения пренебрежимо мала, зна-

чение моментов инерции, найденных на опыте, несколько превышает

расчётные, J_эксп > J_расч.

(15)

где

b - расстояние от оси вращения до грузов на крестовине;

m_ц - масса одного груза на крестовине;

L_ст - длина стержня крестовины;

R_ст - радиус стержня;

m_ст - масса стержня без груза;

r_ц - радиус цилиндрического груза на крестовине;

l_ц - образующая цилиндрического груза;

d - диаметр втулки;
II. Порядок измерений.

- с помощью регулируемых ножек основания привести колонну прибора к вертикальному положению. Проверить, не толкают ли грузы в корпус верхнего и нижнего фотоэлектрических датчиков;

- сдвинуть подвижный кронштейн на выбранную высоту, и так установить, чтобы грузы падая проходили через середину рабочего окна фотоэлектрических датчиков;

- соединить фотоэлектрические датчики 1 и 2 соответственно с гнездами 1 и 2 миллисекундомера;

- произвести заземление прибора;

- включить сетевой шнур измерителя в сеть питания;

- нажать клавишу (СЕТЬ), проверяя, показывают ли все индика­торы обоих фотоэлектрических датчиков;

- переместить грузы в верхнее положение и проверить, нахо­дится ли схема в состоянии покоя;

- нажать клавишу (ПУСК) и проверить, произошло ли движение схемы, миллисекундомер измерил время прохождения мути торможения

схемы;

- нажать клавишу (СБРОС) и проверить, произошло ли обнуление показаний измерителя и освобождение блокировки электромагнитом;

- перенести грузы в верхнее положение, отжать клавишу (ПУСК) и проверить, произошла ли повторная блокировка схемы.

III. Измерение.

Представляет интерес экспериментально исследовать две зави­симости.

Первая - зависимость углового ускорения e от момента внешней силы М_внеш = mgr при условии, что момент инерции J остаётся пос­тоянным.

Если на оси ординат откладывать угловое ускорение e, а на

оси абсцисс - m *g*r, то, согласно (10), экспериментальные точки

должны ложиться на прямую. Из (11) видно, что наклон этой прямой

равен 1/J, а точка пересечения с осью абсцисс даёт М_тр.

Если экспериментальные данные подтверждают линейную зависи­мость e от mgr, то, можно приступить к изучению второй зависимос­ти - зависимости момента инерции J от расстояния R грузов m_ц до оси вращения маятника (рис.18).

Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера

J(R) = J₀ + 4m_цR²

Выясним, как проверить эту зависимость экспериментально. Для этого преобразуем соотношение (11), пренебрегая в нём малой вели­чиной (моментом силы трения М_тр) по сравнению с моментом m*g*r. Из (10) и (11) имеем

(16)

Следовательно

(17)

Из (17) понятно, как экспериментально проверить зависимость (17): нужно, выбрав постоянную массу m_г груза, измерять ускорение a при различных положениях R грузов m_ц на спицах. Результаты из­мерений удобно изобразить в виде точек на координатной плоскости

XOY, где х = (R/r)², y = g/a.

Если экспериментальные точки в пределах точности измерений ложатся на прямую, то это подтверждает зависимость (17), а зна-

чит и формулу

J(R) = J₀ + 4m_ц*R²

Отметим, что при выводе формулы (17) мы пренебрегли моментом сил трения, т.е. считали, что М_тр << mgr. Значение Мтр получено из графика зависимости e от (mgr) при R = const. Это и позволяет выбрать массу перегрузка так, что неравенство mgr >> Мтр заведомо выполняется.

Роль момента сил трения можно оценить и иначе. Для этого за­метим, что если маятник в начальный момент вращается с угловой скоростью w_o, то к моменту остановки он повернётся на угол f, оп­ределяемый из соотношения
J*w_o²/2 = A_тр = M_тр*f (18)
где Jw_o²/2 - начальная кинетическая энергия вращающегося маятни­ка, А_тр - работа сил трения. В (18) предполагается, что момент сил трения является постоянной величиной и связан с угловым уско­рением соотношением

J*e_o = М_тр (19)

где e_o - ускорение, определяемое только моментом сил трения.

Из (18) и (19) находим

w_o² = 2e_o*f (20)

Пусть n - полное число оборотов, которое делает маятник до остановки, а T_o - период вращения маятника в начале движения. Тогда f = 2pn, w_o = 2p/T_o и из (20) получаем

e_o = p/(n*T_o²) (21)

Отсюда ясно, как на опыте определить e_o: нужно измерить вре-

мя T_o, за которое совершается первый оборот, и полное число n

оборотов маятника до остановки. Во всех дальнейших измерениях

нужно следить, чтобы выполнялось неравенство e_o << e.

IV. Задание.

1. Устанавливаем два груза на одинаковом расстоянии R₁, на двух взаимно перпендикулярых спицах. Одну из спиц приводим в го­ризонтальное положение и, перемещая груз на противоположной спи­це, добиваемся равновесия, не меняя расстояния R₁. Поворачиваем крестовину на 90^o и добиваемся равновесия на других спицах. Убеж­даемся, что крестовина уравновешена в любом положении грузов (по­ворачивая крестовину).

Полезно несколько раз привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться. Подумайте, как на основа-

нии этих опытов определить, хорошо ли сбалансирован маятник.

2. Определите приближённо минимальную массу m_о, при которой маятник начинает вращаться, и оцените момент сил трения из соот­ношения

М_тр*Ё