Ответы по численным методам-1. 1. Абсолютная и относительная погрешности числа(определения, предельные погрешности, примеры) Абсолютная и относительная погрешность числа

Скачать 1.6 Mb. Название 1. Абсолютная и относительная погрешности числа(определения, предельные погрешности, примеры) Абсолютная и относительная погрешность числа Анкор Ответы по численным методам-1.doc Дата 22.04.2017 Размер 1.6 Mb. Формат файла Имя файла Ответы по численным методам-1.doc Тип Документы #1390 страница 1 из 4

1   2   3   4 1. Абсолютная и относительная погрешности числа(определения, предельные погрешности, примеры) Абсолютная и относительная погрешность числа. В качестве характеристик точности приближенных величин любого происхождения вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности этих величин. Обозначим через а приближение к точному числу А. Определени. Величина называется погрешностью приближенного числа а. Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется величина . Практически точное число А обычно неизвестно, но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность. Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется наименьшая из верхних границ для величины , которую можно найти при данном способе получения числа а. На практике в качестве выбирают одну из верхних границ для , достаточно близкую к наименьшей. Поскольку , то . Иногда пишут: . Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения и истинным (действительным) значениемизмеряемой величины. Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не достаточны для характеристики точности измерения или вычисления. Качественно более существенна величина относительной погрешности. Определение. Относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину: Определение. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину Так как . Таким образом, относительная погрешность определяет фактически величину абсолютной погрешности, приходящейся на единицу измеряемого или вычисляемого приближенного числа а. Пример. Округляя точные числа А до трех значащих цифр, определить абсолютную D и относительную δ погрешности полученных приближенных чисел. Дано: А=-13,327 Найти: ∆-абсолютная погрешность δ –относительная погрешность Решение: =|А-а| А=а±. a=-13.3 =|-13.327-(-13.3)|=0.027 , a0 *100%=0.203% Ответ: =0,027; δ=0.203% 2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков). Верные знаки числа. Определение. Значащей цифрой приближенного числа а называется всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он расположен между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Например, в числе 0,00507 = имеем 3 значащие цифры, а в числе 0,005070= значащие цифры, т.е. нуль справа, сохраняя десятичный разряд, является значащим. Условимся впредь нули справа записывать, если только они являются значащими. Тогда, иначе говоря, значащими являются все цифры числа а, кроме нулей слева. В десятичной системе счисления всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы (десятичной дроби): где , - первая значащая цифра, m - целое число, называемое старшим десятичным разрядом числа а. Например, 518,3 =, m=2. Пользуясь записью , введем понятие о верных десятичных знаках (в значащих цифрах) приближенно- го числа. Определение. Говорят, что в приближенном числе а формы n - первых значащих цифр , где i= m, m-1,..., m-n+1 являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой: В противном случае последняя цифра называется сомнительной. При записи приближенного числа без указания его погрешности требуют, чтобы все записанные цифры были верными. Это требование соблюдено во всех математических таблицах. Термин “n верных знаков” характеризует лишь степень точности приближенного числа и его не следует понимать так, что n первых значащих цифр приближенного числа а совпадает с соответствующими цифрами точного числа А. Например, у чисел А=10, а=9,997 все значащие цифры различны, но число а имеет 3 верных значащих цифры. Действительно, здесь m=0 и n=3 (находим подбором). На практике отыскание n из при известных и m требует решения нелинейного неравенства, что составляет непростую задачу. Правильный выбор n возможен из тривиального линейного равенства по следующей методике. Величину записываем в виде , где 0,05 неравенство для коэффициентов выполняется (d≤1/2), основания степеней справа и слева одинаковы , поэтому можем приравнять показатели степеней: s=m-n+1, поэтому n=m-s+1. ТЕОРЕМА 1 . Если положительное приближенное число а имеет n верных десятичных знаков, то для относительной погрешности этого числа справедлива оценка: где - первая значащая цифра числа а. Доказательство. Пусть число а определено формулой со знаком + перед скобкой. По условию а имеет n верных знаков, следовательно Тогда Следствие. В качестве предельной относительной погрешности числа а можно принять 3.Погрешность суммы и разности(вывод абсолютной и относительной погрешности из общих формул решения основной задачи теории погрешности). 4. Погрешности произведения и частного(вывод относительной и абсолютной погрешности из общих формул решения основной задачи теории погрешности). Ответ в файле pdf с названием Теория погрешности параграф 6 6. 5. Метод Гаусса(прямой и обратный ход), условия применимости метода. Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.   1   2   3   4