Ответы по численным методам-1. 1. Абсолютная и относительная погрешности числа(определения, предельные погрешности, примеры) Абсолютная и относительная погрешность числа
 Скачать 1.6 Mb.
|
|
0 При выполнении условия (1),(2),(3) Y’=f(x,y); y=y(x) (2) y0=y(x0) (3) Задача Коши разрешима и имеет единственное решение, т.е через точку М0 проходит единственная интегральная кривая. Замечание: вместо условия Липшица достаточно потребовать ограничения производных  , I,j-=1,n. Тогда за N можно взять  Однако для линейных ф-ций f(x,y) как правило общее решение ОДУ не удается найти , поэтому возникают потребности в создании большого числа приближенных методов решения дифференциальных уравнений. Все эти методы можно разделить на 3 группы: 1.Аналитические методы, которые дают приближенные решения в виде аналитических выражений. 2. Графические методы, которые дают приближенное решение в виде графика 3. Численные методы , которые достигаются приближенным решением в виде таблиц. Среди численных методов можно выделить и рассмотреть:
21.Метод Эйлера для систем дифференциальных уравнений.  Выбрав достаточно малый шаг h построим систему равностоящих точек Xi=x+ih (io=1,2,…) {xi=xi-1 + h} Что бы решить задачу Коши 1 и 2 нужно найти интегрированную кривую, которая проходит через точку М0(х0,у0). В методе Эйлера искомую кривую заменяют ломанной MiMi+1 – прямолинейные отрезки расположены между прямыми x=xi; x=xi+1, причем эти отрезки имеют наклон, который равен   Угловой коэффициент  через М0 проводим отрезок =  , через М1 проводим отрезок = и параллельно проводим отрезок =  отсюда следует М2(х2,у2) построим ломанную , которая проходит через начальную точку и yi+1= yi+ ;  *f(xi,yi)=h*yi’Метод Эйлера явл простейшим численным методом интегрирования дифференциального уравнения. Недостатком этого метода является
Можно доказать что если правая часть F(x,y) (1) непрерывна , то последовательность ломанных Эйлера при h->0 на достаточно малом отрезке например [x0,x0+h ] будет стремиться к искомой интегральной кривой у=у(х). Этот метод легко распространяется на систему ДУ. Пример: пусть дана задача Коши  Отрезок  i-номер итеррации х-аргумент у-ф-ция  Аналог.Решение y=   Метод Эйлера обладает малой точностью и дает удовлетворительный результат лишь при малых значениях h, это понятно, т.к по существу находя последующее значение интегральной ф-ции двумя членами ряда Тейлора на каждом частичном [xi,xi+1] Yi+1=yi+hyi’ мы получаем погрешность порядка  . Кроме того при вычислении на следующем отрезке исходные данные не явл точными, поэтому есть смысл рассмотреть модификацию метода Эйлера.Усовершенствованный метод Эйлера. Сначала вычисляются промежуточные значения хi+1/2= xi+h/2 yi+1/2=h/2f(xi,yi) и находят значения направления угловых коэффициентов поля S –ных кривых в средней точке тогда yi+1= yi+hf(xi+1/2, yi+1/2) (1) Модифицированный метод Эйлера Коши. Состоит в следующем: Сначала находим грубое приближение F(xi+1,  =  |