Главная страница
Навигация по странице:

Ответы по численным методам-1. 1. Абсолютная и относительная погрешности числа(определения, предельные погрешности, примеры) Абсолютная и относительная погрешность числа
Скачать 1.6 Mb.
Название 1. Абсолютная и относительная погрешности числа(определения, предельные погрешности, примеры) Абсолютная и относительная погрешность числа
Анкор Ответы по численным методам-1.doc
Дата 22.04.2017
Размер 1.6 Mb.
Формат файла doc
Имя файла Ответы по численным методам-1.doc
Тип Документы
#1390
страница 3 из 4
1   2   3   4

Алгоритм


  1. Задается начальное приближение .

  2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: .




  1. Метод простых итераций для численного решения алгебраических или трансцендентных уравнений. (Суть метода и геометрическая интерпретация).


Суть метода:

f(х)=0 (1) непрерывная функция заменим эквивалентным уравнением (2).

Выберем каким либо способом грубое приближение корня и обозначим его х0.

Подставим х0 в правую часть уравнения (2), получим х1= , х2= ….. хn= (3)

Если последовательность окажется сходящейся то

Переходя к пределу в равенстве (3), получим Стало быть является корнем уравнения (2) и уравнения (1).








  1. Достаточные условия сходимости метода простой итерации (теоремы, оценки погрешностей).


Теорема сходимости:

Пусть существует функция определена и дифференцируема на отрезке [a,b]. Причем все значения функции принадлежат отрезку [a,b], тогда если существует правильная дробь 0 для где n=0,1,2… сходятся независимо от начального приближения , причем предельное значение и этот корень единственный.

Доказательство:

приводя к эквивалентному виду







Обозначим за q=sup



Последовательность приближений хn есть частичные суммы Sn+1 ряда 4

S2=x1

S3=x2……

Sn+1=xn

Члены ряда 4 по абсолютной величине начиная с 3, меньше членов арифметической прогрессии со значениями 02;q3;…;qn.

Геометрическая прогрессия является сходящейся, значит существует

В силу непрерывности можно записать , значит этот корень уравнения (2).

Докажем единственность:

Пусть существует которая является корнем (2)

, найдем

с- внутренняя точка отрезка [a,b].


Замечание 1:

  1. Константа q – носит название константы Липшиця.

  2. Наша теорема справедлива, если функция будет определена и дифференцируема на интервале (-, +), но лишь в том случае, когда константа Липшиця .

  3. В условиях теоремы метод итерации сходится для любого х0[a,b] благодаря чему он является самоисправляющийся, т.е. отдельные ошибки в вычислениях не влияют на результат.

Оценка приближений

Рассмотрим модуль разности известно, что модуль суммы Процесс итерации сходится тем быстрее чем меньше q.

При желании можно вывести

Замечание: Если q=1\2, то

Процесс итерации следует продолжать до тех пор пока 2 последующих приближений не будет удовлетворять условию

Докажем, что каждое из приближений xn располагается ближе к корню.



т.е. последовательность приближений изменяется монотонно и каждое последующее приближение nрасполагается ближе к корню .

Теорема сходимости 2:

Пусть определена и дифференцируема на некотором отрезке [a,b], причем х= имеет корень лежащий в более узком отрезке , где тогда если:



  2. , то все последующие приближения будут принадлежать интервалу [a,b], и процесс итерации будет сходится к единственному корню уравнения х=, причем будет выполняться оценка (5).

  1. Конечные разности различных порядков. Таблицы разностей.


Конечные разности различных порядков

y=f(x) обозначим , h- фиксированная величина приращения аргумента функции или шаг.

Найдем приращение функции

  1. Называется 1-й конечной разностью, n-я конечная разность вычисляется по формуле:



Пусть y=x3 x=1



Пусть f(х)есть многочлен n-й степени



Свойства конечных разностей:

  1. Конечная разность





Выразим конечные разности через функции



Пусть функция y=f(x) имеет n-ю производную на отрезке , тогда можно записать, что n-я производная функции

Таблица конечных разностей

Приходится рассматривать функция заданную таблично где



Конечные разности последовательности yi определяется соотношением



Вспомним бином Ньютона, можно показать что n-я конечная разность yi может быть представлена как сумма

Данные конечные разности удобно располагать виде таблиц:

  1. Горизонтальная

  2. Диагональная

Чаще на практике используется горизонтальная таблица она имеет вид:

x
y
y
2y
3y

x0
y0
y0
2 y0
3 y0

x1
y1
y1
2y1
3y1

x2
y2
y2
2 y2
3 y2

…
…
..
…
…

xn
yn
yn
2 yn
3 yn


Диагональная

x
y
y
2y
3y

x0
y0

y0






x1
y1



2 y0



x2



y1

2y1
3 y0




  1. Постановка задач аппроксимации функции, общей задачи интерполирования, простейшей задачи интерполирования.


Обобщенная степень

Обобщенной n степенью числа х называется произведение n сомножителей первой из которых является х, а каждый следующий сомножитель , на h меньше предыдущего.

Х[n]- обозначение.


Найдем конечную разность для обобщенной степени.

f(x)=x[n], тогда

Постановка задачи интерполирования

Простейшие задачи интерполирования заключаются в следующем:

Пусть на отрезке [a,b] задана n+1 точка x0,x1,x2….xn.

Эти точки называются узлами интерполирования, для этих узлов интерполирования известно значение некоторых функций y=f(x)

Требуется построить функцию y=F(x) такую что F(x0)=y0, F(x1)=y1, F(x2)=y2….F(xn)=yn

Функция F(x) называется интерполирующей .

Аналитическое выражение f(x) очень сложное или неизвестное.
Геометрически это означает, что надо найти y=F(x) с некоторыми дополнительными свойствами в частности F(x) проходит через точку (xi,yi), yi=f(xi) i=1,n



Задача в такой постановке может иметь бесконечное множество решений.

Задача становится однозначно решаемой, если в качестве функции y=f(x) рассматривать полином y=Pn(x) степени не выше n, которая удовлетворяет условию Pn(xi)=yi i=0,n.

n- количество точек. Полученная интерполирующая функция часто используется для приближенного вычисления значений функции y=f(x) в точках не совпадающих с узлами интерполяции

Такая операция называется интерполированием функции f(x).

Различают интерполирование в узком смысле и в широком . Данная операция носит название экстраполированием.


  1. Первая интерполяционная формула Ньютона (общая формула и формулы для линейного и квадратичного интерполирования).


Пусть y=f(x) задана своими точками yi=f(xi) i=0,n, причем xi=x0+ih. h - шаг интерполирования.

Рассмотрим многочлен степени y=Pn(x) обладающий условием Pn(xi)=yi (1)

Условие (1) равносильно равенству:



Полагая в равенстве (3) x=x0 получим, что Pn(x0)=a0 следовательно a0=y0.

Вычисляя 1-ю конечную разность полинома Pn(x) (см (2)) и полагая, что x=x0 мы получаем, что

Находя вторую конечную разность и пологая что x=x0 , продолжая процесс мы получим, что i=0,n.

Подставляя в равенство (3) зная коэффициент ai, получим:

- первый полином Ньютона.

Обычно первый полином Ньютона записывается в более удобном виде:



Формула (4) неудобная для практического применения. Поэтому был введен второй интерполяционный полином Ньютона:




  1. Интерполяционный многочлен Лагранжа (вывод, доказательство единственности).

Стоит задача построить алгебраический многочлен ln(x) обл. двумя свойствами.

  1. Степень многочлена h

  2. Значение многочлена в ключевых точках hn(xi)=f(xi)

Предложено построить вспомогательный полином pi(x), i=0,n со свойствами



Первое равенство в формуле (1) позволяет на основании теоремы Безу записать



Ci- константа.

На основании (2) равенства в формуле (1)

Выражая из формулы (3) ci и подставляя в (2) окончательно получим



Тогда искомый полином Ln(x) запишется

  1. Вычисление лагранжевых коэффициентов. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.




Проверим выполнение первого преобразования:

  1. Степень полинома ln(x) не превышает n поскольку линейная комбинация полинома в степени не превышает n имеет такую же степень



Иногда используют другую формулу полинома Лагранжа:



Используя представленные выше формулы запишем формулу Лагранжа.

Ln(x)=Пn+1(x)

Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

Поскольку полином Лагранжа является объектом приближения, то совершенно обязательно получить оценку погрешности метода.

Rn(x)=f(x)-Ln(x) в x=x* x[a,b] можно получить





Получим оценку метода интерполирования полинома Лагранжа



x-точка интерполирования

f[n+1]- конечные разности.

Покажем единственность построенного полинома (по исходной информации) предложим противное, что существует удовлетворяющее тем же свойствам 1 и 2.

Рассмотрим полином их разности Qn(x)=Ln(x)-

Очевидно что степень полинома Q не выше n.

Qn(xi)=Ln(xi)-=f(xi)-f(xi)=0

Получим противоречие имеет n+1 корень.

Выход из противоречия возможно их случай
15. Постановка задачи численного интегрирования.

Если функция f(x) непрерывна на ab и мы знаем первообразную, то (1)

Но очень часто первообразная f(x) не может быть найдена с помощью элементарных средств она сложная и через интеграл вычислить затруднительно или невозможно. Кроме того подынтегральная функция бывает задана таблично тогда само понятие первообразная теряет смысл. Поэтому, важное значение, имеет приближенное вычисление численных интегралов. Задачи численного интегрирования заключается на основе ряда значений от интегральных функций.
16. Вывод квадратурных формул Ньютона - Котеса.
Пусть для данной функции y=f(x) определенной на [a,b] нужно вычислить определенный интеграл для этого необходимо выбрать шаг и разбить [a,b] на n равных частей. x0=a, x1=h, x2=h, …, xn=b.

Будем представлять, что знаем значение функции в этих точках yi=f(xi).

Для вычисления интеграла необходимо представить виде квадратичной формулы

(2) Формула Ньютона – Котеса Ai- некоторый коэффициент формулы.

Выпишем интегральный полином Лагранжа для функции f(x) с учетом узлов сетки.

получим, что
17. Формула трапеции и ее остаточный член(вывод основной и общей формулы, запись остаточного члена, оценка шага интегрирования)



  1. n=1




Оценка:



Интегрируя выражение по h и воспользовавшись теоремой о среднем получим


18. Формула Симпсона и ее остаточный член (вывод основной и обобщенной формул, запись остаточного члена, оценка шага интегрирования)

Формула получается при n=2 из формулы Ньютона – Котеса



Оценка:

Разбивая промежуток на равных частей точками , и применяя формулу (71)

(71)

к каждому из частичных промежутков длины , получаем обобщенную формулу Симпсона:



Оценка погрешности этой формулы следует из  (72)

следует

 (74)
19. Постановка задачи численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

П ОДУ 1-ого порядка наз-ся уравнение вида y’=f(x) (1)

Рассмотрим основную задачу для ОДУ Задача Коши.

Она состоит в том что бы найти решение в ур 1 удовлетворяющее начальному условию y=f(x) (2)

У0=у(х0) (3)можно найти ед. интегрированную кривую которая бы удовлетворяла условию (3). Если правая часть ур (1) непрерывна в некоторой области R={|x-x0|

|f(x,y)-f(x,)|≤N|| - условие

N-константа зависит от области R.

Если ф-ция имеет ограниченную производную по y,то логично N=max||, для любого х,у

Для дисперсного ур n-ого порядка задача коши будет иметь вид

(4)

В приложениях часто встречаются ОДУ . Если ограничиться только рассмотрением только нормальной системы n-ого порядка

(5)
x-независимая переменная

у1- исходная ф-ция

Если система диф.ур содержит производные высших порядков и разряжена относительно старших производных, то путем введения новых переменных ф-ции мы систему (**) можем свести к виду (5)



Обозначения:





f(x,y1,y2,…,yn-1)

При решении системы ОДУ можно воспользоваться векторным обозначением ф-ции


Тогда система 5 в векторном виде (6)

20.Метод Эйлера для решения скалярной задачи Коши (вывод расчетной формулы, геометрический смысл) и его недостатки.
Задача Коши состоит в том , что бы найти решение , которое бы удовлетворяла системе (5) или соответствующему векторному уравнению(6) или условию (7)

Х0- фиксированное значение,

-значение yi в х0



Геометрически это значит, что требуется отыскать интегральную кривую . Которая проходит через заданную точку


Для системы ОДУ можно сформулировать теорему о существовании и единственности решения.

Теорема: Пусть в некоторой окрестности начального значения



Система (5)обладает след.свойствами

1.Правые части (5)определены и непрерывны в облаcти U

2. Ф-циия fi в окресности U должны удовлетворять условию Липнинца (); (y1,y2,…,yn)
|f()-fi(x,y1,y2,…,yn) (8)
Условие (8) гарантирует существование единственного решения, которое определено в окрестности точки |x-x0|</1>
1   2   3   4
написать администратору сайта