Ответы по численным методам-1. 1. Абсолютная и относительная погрешности числа(определения, предельные погрешности, примеры) Абсолютная и относительная погрешность числа
 Скачать 1.6 Mb.
|
Описание методаПусть исходная система выглядит следующим образом  Матрица называется основной матрицей системы, — столбцом свободных членов. Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):  При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных . Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными. Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна. Пусть для любых . Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (  , где — номер строки): ,где  Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают. Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной. Условие совместностиУпомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности: Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны). АлгоритмОписаниеАлгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.Метод Гаусса требует порядка действий.6. Способ пропорциональных частей(метод хорд) для уточнения изолированного корня алгебраического или трансцендентного уравнения. Оценка погрешности. Если уравнение достаточно сложно, то его очень редко удается решить точно, кроме того в уравнении могут быть коэффициенты которые получены экспериментально то есть являются приближенными сама задача о получении точного решения теряет смысл, по этому важное значение приобретает способы нахождения приближенного решения степень точности этого решения. f(x)=0 (1), где f(x) – определена и непрерывна в некотором конечном интервале (a,b) или (  ) в дальнейшем потребуется существование и непрерывность первой производной f,(x) или f,,(x).Всякое значение  которая обобщает функцию в 0, называют корнем уравнения (1).Будет представлять, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность не содержащая других корней. Приближенное нахождение изолированных корней (действительных) корней обычно состоит из 2-х этапов:
Т.1. Если непрерывная f(x) принимает значение разных знаков на отрезке [  ], f( )*f( )<0 то внутри отрезка [] найдется хотя бы один корень т.е. Будет существовать   f,(x) существует и сохраняет при этом свой знак на отрезке [ ].Для определения корней часто бывает достаточно провести процесс половинного деления, примерно деля отрезок на 2,4,6 равных интервалов. И определение знака функции f(х) в точке деления. Следует помнить, что алгебраическое уравнение n-й степени имеет не более n-корней. Для оценки погрешности приближенного значения корня, справедлива теорема. Т.2. Пусть точный корень уравнения (1) а  приближенный корень уравнения, ,  , причем  , тогда  , абсолютная погрешность не превосходит значения  (2)Доказательство: Воспользуемся формулой Лагранжа   это модуль всегда ли-но  Графическое решение уравнения f(x)=0. Действительные корни уравнения (1) можно определить как абцису точки пересечения с осью ох, но иногда удобней уравнение (1) привести к виду  в этом случае искомые корни мы найдем через пересечение 2-х прямых. Метод хорд f(x)=0  , произведение f(a)*f(b)<0. Разделим отрезок [a,b] - тогда x1=a+h1  Точки A(a,f(x)) B(b,f(b)) следовательно  Положим f(x)=0, получим, что x=x1 следовательно  пусть вторая производная f(x)>0Рассмотрим
   Данная последовательность приближений ограничена сверху и возрастает, следовательно существует предел последовательности    Данная последовательность приближений ограничена снизу и убывает, следовательно существует предел последовательности Обобщим:
В любом случае каждое следующее значение xn ближе к , поэтому как только  (Е- предельная абсолютная погрешность), (0
 m1- наименьшее значение  на [a,b] наименьшее значениеf(x)=0 (1). 7.Метод Ньютона (метод касательных прямых) для уточнения изолированного корня алгебраического или трансцендентного уравнения. f(x)=0 (1) пусть является корнем решения (1) этот корень отделен на отрезке  причем  не прерывна и сохраняет опред. знаки на отрезке [a,b] найдем какой-либо способ  (n-е приближение) к корню.Тогда точное решение уравнение (1) можно записать как существование некоторого приближения  уточним  так как функция f(x) не прерывна на отрезке [a,b], то с учетом равенства (2) можно записать  к данному равенству применим формулу Тейлора: Тогда с учетом равенства (3)+(2) следует:  Геометрически это означает замену небольшой дуги кривой касательной проведенный к некоторой точке кривой по этому метод ньютона называют метод касательных.  Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция , нуль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения ). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближение лучше предыдущего . Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность. Пусть  — определённая на отрезке и дифференцируемая. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом: где — угол наклона касательной в точке . Следовательно искомое выражение для имеет вид:  Если За  взять 0, то точка будет лежать вне отрезка [a,b] за начальное приближение берется та точка значение функции в которой совпадает со значением второй производной этой функции в любой точки отрезка [a,b].</0> |
