механика 2. Динамика твердого тела. Работа. Мощность. Энергия

Скачать 1.47 Mb.

Название	Динамика твердого тела. Работа. Мощность. Энергия
Анкор	механика 2.doc
Дата	24.04.2017
Размер	1.47 Mb.
Формат файла
Имя файла	механика 2.doc
Тип	Методические указания #2215
страница	1 из 3

1 2 3

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ростовская-на-Дону государственная академия

сельскохозяйственного машиностроения

Кафедра «Электротехника и техническая кибернетика»
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА.

РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ

Методические указания к практическим занятиям по физике

для студентов 1-го курса технических специальностей

всех форм обучения

Ростов-на-Дону

2010
Составители:

кандидат физико-математических наук, доцент

кандидат физико-математических наук, доцент

кандидат физико-математических наук, доцент

В.В. Шегай

Н.В. Дорохова

В.П.Сафронов

УДК 537.8

Динамика твердого тела. Работа. Мощность. Энергия. Метод. указания к практическим занятиям по физике /РГАСХМ ГОУ, Ростов н/Д, 2010. — 28 с.

Методические указания представляют собой руководство для проведения практических занятий и выполнения самостоятельных работ в 1-ой части курса физики по темам: динамика вращательного движения, закон сохранения момента импульса, работа и мощность при поступательном и вращательном движениях, энергия, законы изменения и сохранения механической энергии

Дается необходимый справочный материал, приведены примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения.

Указания предназначены для студентов 1-го курса РГАСХМ технических специальностей.

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии

Научный редактор

кандидат физико-математических наук, доцент

В. В. Шегай

Ó	Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, 2010

Оглавление

1.	Краткие теоретические сведения	3
2.	Примеры решения задач	6
3.	Задачи для самостоятельного решения	14
4.	Варианты заданий для самостоятельной работы	26
5.	Обозначения и единицы физических величин в СИ	27
6.	Литература	27

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. Момент силы

относительно выбранной оси вращения характеризует силовое взаимодействие тел при вращательном движении. По модулю равен произведению силы F на плечо

,

где h — плечо силы — кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения). Моменты, вращающие тело против часовой стрелки, считаются положительными, по — отрицательными. Вектор момента силы совпадает с осью вращения.

Момент инерции I мера инертности тел во вращательном движении и зависит от массы тела и ее распределения относительно оси вращения.

Частные случаи.

Момент инерции материальной точки массой m:

,

где r — расстояние от точки до оси вращения.

Момент инерции системы N материальных точек:

.

Моменты инерции тел массой m и радиусом Rотносительно оси симметрии:

обод (тонкостенный цилиндр):

,

сплошной однородный цилиндр или диск:

,

однородный шар:

.
Однородный стержень длиной l (ось вращения проходит перпендикулярно середине стержня):

.

1.3. Момент инерции тела относительно смещенной оси вращения (теорема Штейнера):

,

где I₀ — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; d — расстояние между осями вращения.

1.4. Основной закон динамики вращательного движения :

,

где M — алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело;

— угловое ускорение.

1.5. Момент импульса телаL относительно неподвижной оси вращения:

,

где ω угловая скорость тела. Моменты импульсов тел, вращающихся, по часовой стрелке считаются отрицательными, против — положительными.

1.6. Закон сохранения момента импульса (для неподвижной оси).

Если сумма моментов всех внешних сил равна нулю, то алгебраическая сумма моментов импульсов тел не меняется:

2. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА, МОЩНОСТЬ И ЭНЕРГИЯ

2.1. При поступательном движении элементарная работа dA силы при элементарном перемещении на

равна скалярному произведению:

.

При конечном перемещении тела из точки (1) в точку (2) механическая работа:

.

В частном случае

, получаем

,

где S₁₂ — путь, пройденный под действием силы .

При вращательном движении:

,

где M— момент сил; dφ— элементарный поворот тела.

В частном случае M = const:

2.2. Мощность N— скорость совершения работы.

Для поступательного движения:

,

где v— скорость тела; α — угол между векторами силы и скорости.

Для вращательного движения:

,

где ω— угловая скорость.

2.3. Энергия — способность тела совершать работу.

Кинетическая энергия E_к — энергия, связанная с движением тел.

Для поступательного движения:

,

где ь— масса; v— скорость тела.

Для вращательного движения

,

где I— момент инерции; ω— угловая скорость тела.

2.4. Потенциальная энергия Е_п — энергия, связанная с взаимодействием тел.

Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью земли:

,

где g — ускорение свободного падения.

Потенциальная энергия упругой деформированной пружины

,

где k — коэффициент жесткости; Δx — удлинение (сжатие) пружины.
2.5. Теорема об изменении кинетической энергии.

Изменение кинетической энергии тела

равно работе A равнодействующей силы:

.

2.6. Работа потенциальных сил при перемещении материальной точки равна убыли ее потенциальной энергии:

Закон сохранения механической энергии.

Если в замкнутой системе действуют только потенциальные силы, то
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Маховик, имеющий форму диска массой m = 5 кг и радиусом R = 0,2 м, свободно вращается с частотой n = 720 об/мин. При торможении маховик движется равнозамедленно и полностью останавливается через t = 20 с. Определить тормозящий момент М и число оборотов маховика N до полной остановки.

Дано:

кг,

м,

с^–1 ,

с.

Определить: M,N.

Р

ЕШЕНИЕ

Определим момент силы трения M.

Торможение маховика происходит под действием момента сил трения M (рис.1). По основному закону динамики вращательного движения

. (1)

Момент инерции диска

(2)

В нашем случае при равнозамедленном вращении угловая скорость

меняется по закону:

, где

(3)

Подставляя (2) и (З) в (1), получаем:

Нּм.

Знак (–) указывает, что угловое ускорение и момент силы трения направлены против начальной угловой скорости.

Определим число оборотов N. При равнозамедленном движении угол поворота маховика до остановки:

.

Учитывая (3) и то, что

, получаем:

.

Ответ: M = 0.38 Нּм: N = 120 оборотов.

2. Диск радиусом

м и массой

кг вращается вокруг вертикальной оси с частотой

об/мин. В центре диска стоит человек массой

кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край диска? Человека считать материальной точкой.

Дано:

м,

кг,

с^–1 .

Определить:

.

Р

ЕШЕНИЕ

По закону сохранения момента импульса

, (1)

где

— момент инерции диска;и

—моменты инерции человека в центре и на краю диска, соответственно;

угловые скорости диска с человеком, стоящим в центре и на краю диска, соответственно (см. рис. 2). Связь линейной и угловой скорости

. (2)

Выразив

из уравнения (1) и подставив его в формулу (2), получим

.

Момент инерции диска равен

.

Момент инерции материальной точки (человека) равен

Угловая скорость диска до перехода человека

Подставив в (3) выражения для

, получим

.

Численный расчет

(м/с).

Ответ:

м/с.

3

. Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы

кг и

кг. Массаблока

кг . Считая блок однородным диском, найти линейное ускорение системы

.

Дано:

кг,

кг .

Определить:

.

РЕШЕНИЕ

Расставим действующие на тела силы и моменты сил (рис.3).

На первое тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити . На второе тело, аналогично, и .

На блок действуют момент силы :

,
и момент силы

:

,

где

— радиус блока.

После расстановки сил и их моментов к каждому телу можно применить основное уравнение динамики. Для первого тела в проекциях на направление движения:

, (1)

для второго тела

, (2)

для блока

или

. (3)

Решаем уравнения (1), (2) и (З) совместно относительно

, учитывая, что

.

Численный расчет

м/с².

Ответ:

м/с².

4. Найти кинетическую энергию

велосипедиста, едущего со скоростью

м/с. Масса велосипедиста вместе с велосипедом , причем на колеса приходится масса

кг. Колеса велосипеда считать обручами.

Дано: ,

кг,

м/с.

Определить:

.

РЕШЕНИЕ

Движение твердого тела можно представить, как поступательное движение центра инерции с кинетической энергией и вращательное движение тела вокруг оси, проходящей через центр инерции, с кинетической энергией . В нашем случае вращаются только колеса, поэтому

Связь линейной и угловой скоростей

,

где R — радиус колеса. Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через его центр

Подставляя это выражение в (1), получаем

Численный расчет:

(Дж).

Ответ:

Дж.

5. По ободу шкива, насаженного на общую ось с колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой . На какое расстояние h должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом вращалось с частотой

об/мин? Момент инерции колеса

кгּм², радиус шкива

м.

Д

ано: ,

с^–1,

кгּм²,

м.

Определить: h.

РЕШЕНИЕ

В начальный момент система обладала только потенциальной энергией

(рис.4). Когда груз, опустился на высоту h, энергия системы складывается из кинетической энергии вращения колеса

и кинетической энергии груза

.

Если пренебречь силами трения, то в системе выполняется закон сохранения механической энергии

Учитывая связь линейной и угловой скоростей:

,

получаем:

.

Отсюда:

.
Численный расчет:

(м).

Ответ: h= 0,86 м.

С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный диск. Найти силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту , масса диска m.

Дано: m, α.

Определить:

.

РЕШЕНИЕ

Н

а тело действуют три силы: сила тяжести

, сила реакции опоры

и сила трения

(рис.5), но только сила трения имеет отличный от нуля момент относительно оси вращения O. При отсутствии диск соскальзывал бы с наклонной плоскости, не вращаясь.

Основной закон динамики (для поступательного движения) в проекциях на ось X будет

(1)

Для вращательного движения диска

Учитывая, что

получаем

.

Для диска :

,

поэтому:

. (2)

Решая (1) и (2) совместно, получаем:

.

Ответ:

.

7. Какую работу совершает человек, поднимая тело массой m на высоту h с ускорением

?

РЕШЕНИЕ
Дано:m,h.g.

Определить: A.
Р

абота при прямолинейном движении под действием постоянной силы:

В нашем случае

(рис. 6).

По второму закону Ньютона (в проекциях на направлении ускорения)^

.

Таким образом,

.

Ответ: .

8. Найти работу A, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела массой m от до на пути . На всем пути действует сила трения .

Дано:

.

Определить: A.

РЕШЕНИЕ

И

зменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело (рис. 7):

.

На тело действует две силы: сила тяги, совершающая положительную работу A, и сила трения, совершающая отрицательную работу

, поэтому:

.

Отсюда :

.

Ответ:

.

9. Найти скорость

вылета пули массой m из пружинного пистолета
при выстреле вверх, если жесткость пружины k, а сжатие

. На какую высоту h поднимется пуля ?

Дано:, m, k, x.

О

пределить: v, h.

РЕШЕНИЕ

До выстрела энергия была сосредоточена в сжатой пружине (рис. 8)

Так как диссипативных взаимодействий нет, то по закону сохранения полной механической энергии в момент вылета пули из пистолета ее энергия складывается из потенциальной энергии гравитационного взаимодействия и кинетической энергии пули :

,
отсюда

.

В высшей точке подъема

, поэтому

.

Таким образом,

.

Ответ:

.

10. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули , масса шара

, скорость пули . При каком наибольшем расстоянии от центра шара до точки подвеса шар поднимется до верхней точки окружности?

Дано:

.

Определить:

.

Р

ЕШЕНИЕ

По закону сохранения механической энергии, кинетическая энергия шара с пулей должна быть равна их потенциальной энергии в точке максимального подъема (рис. 9):

(1)

При неупругом соударении пули с шаром выполняется только закон сохранения импульса:

.

Отсюда :

. (2)

Подставляя (2) в (1), получаем

Ответ:

1 2 3